正弦稳态电路的分析

1、第六章第六章 正弦稳态电路的分析正弦稳态电路的分析 62 正弦信号正弦信号 6. 4 基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式 第六章第六章 正弦稳态电路的分析正弦稳态电路的分析 分析正弦稳态电路通常有两种方法一是时域分析方法,列写微分方程,求方程的特解或稳态解，计算比较复杂；二是相量法分析法。 两种分析法的简单比较对图示电路求解正弦稳态响应的过程如下1.1.两种分析法的简单比较1.用时域分析法列写电路方程co sccsd uR CuUtd t代入微分方程比较系数确定 和( )cos()ccxxu tUt设特解为cxUxsin()cos()coscxxcxxsRCUtUtUt 解正弦函数方

2、程，定出 和 ，再求出cxUx( )cu t2.用相量法 列写电路电压相量方程 解这个代数方程，用复数运算求出 ， 再写出与 相对应的瞬时值 SRCUUUCUCU( ) Cu t 。即求出电路的稳态响应。两种分析法的简单比较6.2.1正弦信号的三个特征量正弦信号的三个特征量 按正弦或余弦规律变化的周期电压、电流、电荷和磁链信号统称为正弦信号。以余弦信号为例，正弦信号的一般表达式为 若表示电路中的电流信号，在选定参考方向下，可表示为 ( )cos()mf tFt( )cos()mii tItmF 2T是正弦信号的振幅或最大值()t是瞬时相位是初相周期T正弦信号每经过一个周期T的时间，相位变化弧度

3、( )cos()mf tFt 表示正弦信号单位时间内变化的弧度数，单位为 弧度 /s tf(t)00(a) 22fTtf(t)00(b)为角频率或1fT表示每秒钟正弦波变化的次数，单位为赫兹（HZ）。 正弦量的振幅正弦量的振幅 ，频率，频率 （或角频率（或角频率 ），），初相初相 称为正弦量的三个特征量。称为正弦量的三个特征量。这三个这三个特征量确定了，正弦量的变化规律就唯一特征量确定了，正弦量的变化规律就唯一地确定了。地确定了。 mFf5AmI，173rad/s，rad6，( )5 cos(173)A6i tt 例如，已知一个正弦电流则则相位差相位差 , 规定规定 180设两个同频率的正弦信

4、号设两个同频率的正弦信号波形如图波形如图623所示所示 |( )cos()muu tUt( )cos()mii tIt6.2.2相位差相位差 与 的相位差， 同频正弦信号的相位差即是它们的初相之差。 ui() ()uitt ui0uiuiui0uiui讨论相位差说明 超前于 度；u滞后于 i 度或i趋前于 u 度6.2.2相位差相位差 ，表示 与 同相； ,表示 与 反相；，表示 与 正交。例例621 已知，求 与 的相位差？解：解： 说明 趋前 240。由于规定 180 0ui ui120 ui90ui ui( )3cos(140 )u tt( )8cos(100 )i ttuiui|180

5、ui 6.2.2相位差相位差240)100(140iu 周期电流i 流过电阻R在一个周期T 内作功与直流电流I 流过同样电阻R 在同样时间T 内所作功相等，称直流电流量I为此周期性电流i的有效值。 周期电流 i流过电阻R在一个周期T内所作功为 200( )( )TTwp t dtRi t dt6.2.3有效值有效值 直流电流 流过 在 内所作功为 两者相等即 上式表明，周期性电流的有效值，等于周上式表明，周期性电流的有效值，等于周期性电流瞬时值的平方在一个周期内的平期性电流瞬时值的平方在一个周期内的平均值再取平方根，因此有效值又称为方均均值再取平方根，因此有效值又称为方均根值根值 IRT220

6、TwRI dtRI T220TI RTi Rdt201TIi dtT6.2.3有效值有效值 周期电压的有效值 如果周期信号是正弦电流， 有效值为201( )TUu t dtT( )cos()mii tIt201cos()TmiIItdtT12mTIT2mI0.707mI 6.2.3有效值有效值 同理可得正弦电压的有效值可见,正弦量有效值是最大值的 倍 正弦电流和电压也可用有效值表示2mUU 0.707mU 12( )2 cos()ii tIt( )2cos()uu tUt实际应用中有关交流电流、电压指示值都是有效值，例如电气设备的额定值，仪器仪表的量测值6.2.3有效值有效值6.3正弦信号的相

7、量表示正弦信号的相量表示6.1 复数及其运算法则复数及其运算法则一、复数的表示一、复数的表示 设复数 式中 ，是虚数单位。a为复数的实部，b为复数的虚部， a,b 都为实数 Aajb1j Re aAIm bA 复数可用复平面上的一点来表示，该点在实轴上的坐标是a，在虚轴上的坐标是b。复数还可用从原点指向点（ a，b）的向量来表示，如图所示。该向量的长度称为复数的模，记作22|Aab6.1 复数及其运算法则复数及其运算法则 复数A的向量与实轴正向间的夹角称为的辐角，记作 复数直角坐标与极坐标的表示为barctga|cosaA|sinbA或 |AA6.1 复数及其运算法则复数及其运算法则 复数的三

8、角表示为 由欧拉公式 复数的指数表示|(cossin )AAjcossinjej|jAA e6.1 复数及其运算法则复数及其运算法则二、复数的代数运算 设复数 复数的加、减运算111Aajb222Aajb12AA1122()()ajbajb1212()()aaj bb6.1 复数及其运算法则复数及其运算法则复数的乘除运算采用极复数的乘除运算采用极坐标形式坐标形式11111| _/AajbA22222| _/AajbA121212|/A AAA111222|/|AAAA6.1 复数及其运算法则复数及其运算法则共轭复数的性质= 实部相同,虚部符号相反的两个复数称为共轭复数,例如复数A,其共轭复数记

9、作6.1 复数及其运算法则复数及其运算法则 用直角坐标形式和极坐标形式表示式 的结果。解例例63j)j)(2(2) j52)(j43(3.31j-0.46 93.9734. 382.878.0615.06-26.93 j81j7263j)j)(2(2) j52)(j43(用相量法分析正弦稳态电路，先讨论用相量表示正弦量。 由欧拉公式6.3.2 正弦量的相量表示正弦量的相量表示设正弦电流用复数表示 6-3-1其中 称为电流的振幅相量 6.3.2 正弦量的相量表示正弦量的相量表示称为电流的有效值相量 是复常量，它们的模是正弦电流的最大幅度或有效值幅度，幅角是正弦电流的初相角。6.3.2 正弦量的相

10、量表示正弦量的相量表示在同一电路里，各正弦稳态响应都与激励同频率，因此，用振幅（或有效值）与初相就能确定正弦响应中的电流。所以 或 是能够表征正弦电流 的复数。在式(6-3-1)中， , 相量 与 相乘，幅角 是时间 t 的函数，随着时间的推移，相量 以原点为中心，以角速 度作周期性旋转。因此 称为旋转相量，其中 称为旋转因子6.3.2 正弦量的相量表示正弦量的相量表示（）求 对应的相量并画出相 量图；（）求相位差。 解：（） 对应的振幅相量为例例6 已知已知正弦电流和电压对应 的有效值相量对应的 相量相量图为 （2） 与 的相位差 电流滞后电压40 解题时注意，相量与正弦量（或瞬时值）是对应

11、关系不是相等关系 已知正弦电路某三支路电压的相量分别为 画出相量图，写出对应的正弦电压表达式。 解：为了表示统一，将三支路电压相量 表示成标准的振幅相量形式例例6相量图为所对应的正弦电压为或者6.4 基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫电流定律(KCL)时域表示当电路处于正弦稳态时,各支路电流都是同频率正弦电流,于是上式可表示为因 ，或所以tjtjieIe ItIti)2Re( )2(Re )cos(2)(KCL相量形式表明，正弦稳态电路中，任一节点上各支路电流相量代数和为零。6.4 基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式KCL相量形式注意，电流相量的代数和为零，意味着节

12、点上各支路电流的瞬时值代数和为零，而不是电流振幅值或有效值代数和为零，即 它表明，正弦稳态电路中，沿着任一回路的所有支路电压相量的代数和为零。6.4 基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫电压定律的相量形式注意，电压相量的代数和为零，意味着回路中各支路电压的瞬时值代数和为零，而不是电压的振幅值或有效值代数和为零，即某电路节点电流为 如6-4-1图所示，求 并画出电路相量图。解：先将电流换算成同一函数形式，写出已知电流的相量。例例641由KCL得对应的相量图6.5 电阻、电感、电容元件伏安关系的相量形式电阻、电感、电容元件伏安关系的相量形式一、电阻元件伏安关系的相量形式 设流过电阻

13、R的电流为由欧姆定律得对应的相量形式或比较得 电阻电压的有效值等于电阻电流有效值与电阻乘积，电压与电流相位相同。电阻元件相量模型图如851所示，电压与电流相量图如852所示。电阻元件相量模型电感电压为二、电感元件伏安关系的相量形式设流过电感元件L的电流为电感元件的伏安关系的相量形式其中 称为感抗，单位是 。或电感电压与电流的有效值关系为电压相位超前电流90度，相量图如图所示或可写为即电感元件相量模型如图所示设电容两端电压为流过电容电流为三、电容元件伏安关系的相量形式比较上两式也可写为电容电压与电流的有效值关系为电压相位滞后电流电容元件的电压电流相量图6.6 阻抗和导纳一阻抗 由R、L、C元件组

14、成的无源二端网络如图所示，电流相量和电压相量为关联参考方向，电压相量与电流相量的比称为二端网络的等效阻抗，即 Z的单位为 。Z为复数其中 是阻抗的模，它是二端网络输入电压和电流的振幅或有效值之比阻抗角 是端电压与电流之间的相位差 阻抗模及阻抗角与电阻和电抗的关系为阻抗三角形阻抗是复量，不是相量，不能代表正弦量。 R、L、C三元件的阻抗求R、L、C串联电路的阻抗。解： 由于例661电路等效阻抗 的值域取决于电路的性质，讨论如下阻与电容的串联。阻与电容的串联。 无源二端网络的阻抗 导纳 二、导纳6.6 阻抗和导纳导纳是阻抗的倒数，也是复量单位为西门子（s），式中G是导纳的实部，称为电导，B是导纳的

15、虚部，称为电纳, 是导 纳的模， 为导纳角。 R、L、C元件的导纳分别为、 与G、B的关系阻抗与导纳的转换模和幅角为 6.6 阻抗和导纳二端网络的阻抗 它可等效 为一个电阻和一个电抗的串联，如 图（a）所示。 二端网络的导纳 ，它可等 效为一个电导和一个电纳元件的并 联，如图（b）所示。 三、阻抗、导纳串并联电路6.6 阻抗和导纳 若干个导纳并联，如图所示。等效导纳为若干个阻抗串联，如图（c）所示。 等效阻抗为 已知图（a)所示电路的电压、电流为 1）求输入阻抗Z，并画出等效电路图。2）求输入导纳Y，并画出等效电路图解： 电压、电流的振幅相量Vttu)6010cos(10)(3例662、Att

16、i)010cos(5)(31）输入阻抗对应的元件值等效电路如图（b）所示。2）输入导纳 对应的元件值等效电路如图（c）所示。图示电路 ，求 ， 与 的相位差。 解： 电路的输入阻抗电流有效值例663 电流电压相量图如图所示。6.7 正弦稳态电路的分析 KCL、KVL和元件的伏安关系是分析电路的基本依据，前面已经定义了这两类约束关系的相量形式，相量形式的电路方程和电阻电路的电路方程一样，也是线性代数方程，所以分析电阻电路的定律、定理、方法和公式等，都适用于相量法分析正弦稳态电路。以下举例说明正弦稳态电路的分析计算。 图（a）电路 ，求电路的戴维南等效电路。例671解： 电路的相量模型如图（b）所

17、示开路电压相量等效阻抗开路电压相量戴维南等效电路如图（c）所示。列写图示电路的节点电压方程和网孔电流方程。解： 选为参考节点，节点电压方程为例672网孔电流方程电路如图所示，求 与 的相位差。解： 为节点电压，列写节点电压方程例673135135353. 02250.353 45353. 0) j1)(2(13j1212 j1j111111sssUUUUUUU滞后6.8 正弦稳态电路的功率6.8.1 瞬时功率一个无源二端网络N，端口电压与电流是关联参考方向，如图所示，网络N在任一瞬时吸收的功率为设端口电压、电流分别为阻抗角二端网络吸收的瞬时功率为第一项 是不随时间变化的恒定值，如波形图虚线所示

18、；第二项是以 为中心线，随时间变化的正弦波。 符号相同时， ， 二端网络从外电路吸收能量。 符号相异时， ，二端网络向外电路释放能量。瞬时功率在一个周期内的平均值称为平均功率，即P也称有功功率，单位是瓦特（w） 。6.8.2 平均功率平均功率dttUIUITPiuTZ)2cos(cos10当二端网络是纯电阻时当二端网络是纯电抗时当二端网络是阻抗时，可以用等效电路表示，如图（a）所示。二端网络吸收的平均功率 ，就是网络中电阻消耗的功率。假设若二端网络中有N个电阻，网络吸收的总平均功率等于各电阻吸收的平均功率之和，即6.8.2 平均功率平均功率NnRnPP1 电感和电容虽然不消耗能量，但却存在与外

19、电路交换能量的过程，这种能量交换用无功功率来计量。6.8.3 无功功率瞬时功率也可另推导如下代表了二端网络中等效电阻所吸收的瞬时功率。 以电源的两倍频作周期变化，它代表了二端网络中等效电抗所吸收的瞬时功率。电抗元件只与外电路进行能量交换。能量交换的最大速度 ，称为二端网络的无功功率， 表示为了区别有功功率，无功功率的单位为乏（Var）。当二端网络等效为纯电阻时，有当二端网络等效为纯电感时，有当二端网络等效为纯电容时，有 二端网络端口电压与电流的有效值乘积称为视在功率，记为 单位为伏安（VA）。 一般电气设备都要规定额定电压和额定电流，工程上用它们的乘积视在功率表示某些电气设备的容量。 二端网络

20、的有功功率与视在功率之比称为功率因数，记为6.8.4 视在功率和功率因数 由于0 1，有0PS，实际中为了提高电气设备的利用率，应尽量提高负载的功率因数。 例如的变压器，额定视在功率是 ，如果所接负载的功率因数=1，它能传输的功率是 ；如果=0.5，它只能传输 了，所以要更充分的利用该电气设备的容量，就应设法提高负载的功率因数。 以上讨论的二端网络是假设无源的网络，对于上述定义的各功率也适用有源二端网络，只要将阻抗角 改为二端口电压与电流的相位差 即可。设二端网络N的输入电压与电流的相量为电流的共轭复数为6.8.5 复功率复功率单位为伏安（VA） 复功率可表述为：复功率等于电压相量与电流相量的

21、共轭复量的乘积。 复功率只是计算用的复量不代表正弦量，因此不能视为相量。 复功率的模为视在功率 复功率的实部是有功功率 复功率的虚部是无功功率6.8.5 复功率 的关系为6.8.5 复功率功率三角形 如图所示复功率具有守恒性，视在功率不守恒。 图示电路， ，求电路消耗的总平均功率；电路功率因数；电源输出的复功率、视在功率、无功功率。 解： 电路的总阻抗为例681电源支路的电流为电路消耗的总平均功率为功率因数电源输出的复功率视在功率 功率因数低造成的影响功率因数低造成的影响: : 1. 1. 发电机的容量不能充分利用发电机的容量不能充分利用; ; 2. 2. 增加输电线上能量损耗增加输电线上能量

22、损耗. .例例: :变电所输出电压变电所输出电压220V,220V,视在功率为视在功率为220kVA220kVA。如向电压为。如向电压为220V220V、功率因数为、功率因数为0.80.8、额定功率为、额定功率为44kW44kW的工厂供电，试问的工厂供电，试问能供几个这样的工厂用电？若功率因数提高到能供几个这样的工厂用电？若功率因数提高到1 1，该变电所，该变电所又能供几个同样的工厂用电？又能供几个同样的工厂用电？解解: :变电所额定电流变电所额定电流: : 30220 101000220SIAAU0.8时, ,工厂所取电流为工厂所取电流为344 10250220 0.8PIAAU010004

23、250InI工厂个数工厂个数1 时, ,工厂所取电流为工厂所取电流为344 10200220 1PIAAU010005200InI工厂个数工厂个数例例: :水电站高压水电站高压U U=22=22万伏万伏, ,P P=24=24万千瓦万千瓦, ,输电线总电阻输电线总电阻10,10,计算功率因数由计算功率因数由0.60.6提高到提高到0.90.9时时, ,输电线在一年中电能损输电线在一年中电能损失减少多少失减少多少? ?解解: :10.6,用户取用电流用户取用电流714124 10181822 100.6PIAAU用户取用电流用户取用电流724224 10121222 100.9PIAAU9 .

24、01一年内输电线上少损耗电能一年内输电线上少损耗电能22221212229()(18181212 ) 10 365 241.6 10WI RtI RtIIRt千瓦小时=1.6亿度 功率因数提高方法功率因数提高方法 （图（图5-19(a) ）图图5-19UILICIaIbIILICIU感性负载并电容，感性负载并电容，I IL由由P = UIcos ，P不变，不变，U不变，不变，I变小，变小， cos 变大！变大！未并联未并联C C时时, ,1cosLPIU垂直分量垂直分量1111sinsintancosaLPPIIUU并联并联C C后后, ,2cosPIU)tan(tan212UPC垂直分量垂直分量又因为又因为, CabCIIIICU所以所以CabIIICUU2222tansincossinUPUPIIb在正弦稳态电路中，电源电压和电源内阻抗一定，怎样的负载才能获得最大的平均功率，这是电力电子技术经常遇到的问题。 电路的等效信号源 和内阻抗 是一定的，负载阻抗 可变，讨论 获得最大的平均功率的条件。6.9 最大功率传输第一种情况，其中 与