概率啦啦啦啦啦统计

1、第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 为了更好的揭示随机现象的规律性并利用数学工具描述其规律，引入随机变量来描述随机试验的不同结果例例 电话总机某段时间内接到的电话次数.例例 抛掷一枚硬币可能出现的两个结果S=正面,反面，可以用一个变量来描述反面向上正面向上, 0, 1X, 3 , 2 , 1 , 0eS 此试验的样本空间是 , kX ;, 2 , 1 , 0, kke定义当2.1 随机变量的概念随机变量的概念定义 设E是一随机试验，S 是它的样本空间，则称 S 上的单值实值函数 X ( )为随机变量随机变量一般用 X, Y , Z ,或小写希腊字母, , 表示)(XS实数按一定法则

2、若 随机变量的概念随机变量的概念随机变量是RS上的映射，这个映射具有如下的特点： 定义域 : S 随机性 : 随机变量X 的可能取值不止一个， 试验前只能预知它的可能的取值但不能预知 取哪个值 概率特性 : X 以一定的概率取某个值或某些 值 引入随机变量后，用随机变量的等式或不 等式表达随机事件 在同一个样本空间可以同时定义多个随机 变量 随机变量的函数一般也是随机变量如，若用X 表示电话总机在9:0010:00接到的电话次数，100X或)100(X 表示“某天9:00 10:00 接到的电话次数超过100次”这一事件则 引入随机变量后，用随机变量的等式或不 等式表达随机事件用随机变量反面向

3、上正面向上, 0, 1)(X描述抛掷一枚硬币可能出现的结果, 则) 1)(X 正面向上也可以用反面向上正面向上, 1, 0)(Y描述这个随机试验的结果 在同一个样本空间可以同时定义多个随机 变量例如，要研究某地区儿童的发育情况，往往需要多个指标，例如，身高、体重、头围等S = 儿童的发育情况 X ( ) 身高Y ( ) 体重Z ( ) 头围各随机变量之间可能有一定的关系，也可能没有关系 即 相互独立随机变量的分类随机变量的分类离散型随机变量非离散型随机变量 其中一种重要的类型为 连续型随机变量定义了一个 x 的实值函数，称为随机变量X 的分布函数，记为F ( x ) ,即定义定义 设 X 为随

4、机变量, 对每个实数 x , 随机事件)(xX 的概率)(xXPxxXPxF),()(随机变量的分布函数随机变量的分布函数注: 分布函数的定义域:x分布函数的性质分布函数的性质(1) F ( x ) 单调不减，即)()(,2121xFxFxx(2)1)(0 xF且0)(lim, 1)(limxFxFxx(3) F ( x ) 右连续，即)()(lim)0(0 xFtFxFxt),()(xF),3() 1 ()(xF上的实函数满足以上条件一定是某随机变量X的分布函数。反之，若定义在则利用分布函数可以计算)()()()()(aFbFaXPbXPbXaP)(1)(1)(aFaXPaXP（ab （)0

5、()()(aFaFaXP)0()(aFbF)()0(aFbF)0()0(aFbF)(bXaP)(bXaP)(bXaP请填空)(lim)0(0tFxFxt只可能取0、1两个值,且根据题意,举例子例1 投掷一颗匀称的骰子,记录其出现的点数.令 当出现偶数点当出现奇数点, 1, 0XXX则是一个随机变量.的分布函数.求X解:,210XP211XP当0 x时, xX0)(xXPxF当10 x时, ,0XxX.210)(XPxXPxF当当1x时, SXXxX101)(xXPxF于是得到随机变量X的分布函数为1, 110 ,210, 0)(xxxxF例2 已知随机变量X的分布函数为(1) 确定常数0, 0

6、0,)(xxbeaxFx;,ba(2) 求,2lnXP1XP解 (1)由分布函数的性质,得abeaxFxxx)(lim)(lim1babeaxFFxxx)(lim)(lim)0(00000所以 1, 1ba(2) 2ln1)2(ln2lneFXP21211) 1 (1111FXPXP11)1 (1ee例3 某人打靶,圆靶半径为1m. 设射击一定中靶,且击中靶上任一与圆靶同心的圆盘的概率与该圆靶的面积成正比.以X表示弹着点至靶心的距离,试求随机变量X的分布函数. 解: 根据题意, X可能取0,1上的任何实数. )(xXPxF当0 x时, xX0)(xXPxF当10 x时,00)(xXPXPxXP

7、xF20kxxXP在 2)(kxxF中, 令, 1x得;) 1 (kF又由题设知 1X是必然事件, 故 ; 11) 1 (XPFk当1x时,SxX 是必然事件,故 1)(xXPxF随机变量X的分布函数为1, 110 ,0, 0)(2xxxxxF2.3 离散型随机变量及其概率分布离散型随机变量及其概率分布定义 若随机变量 X 的可能取值是有限多个或 无穷可列多个，则称 X 为离散型随机变量描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率分布或分布律，即, 2 , 1,)(kpxXPkk概率分布的性质离散型随机变量的概念离散型随机变量的概念q , 2 , 1, 0kpk非负性q 11kkp规范性 F( x

8、) 是分段阶梯函数，在 X 的可能取值 xk 处发生间断，间断点为第一类跳跃间断点，在间断点处有跃度 pk离散型随机变量的分布函数离散型随机变量的分布函数)()()(1kkkkxFxFxXPp) )()()(xxkkxXPxXPxFxxkxxkkkpxXP)(例例1 设一汽车在开往目的地的途中需经过 4 盏 信号灯，每盏信号灯独立地以概率 p 允许 汽车通过。令 X 表示首次停下时已通过的 信号灯的盏数，求 X 的概率分布与 p = 0.4 时的分布函数。出发地目的地3 , 2 , 1 , 0),1 ()(kppkXPk解解4,)4(4kpXP01234xx, 4 . 06 . 06 . 02

9、1 x, 6 . 010 x, 00 x,4 . 06 . 04 . 06 . 06 . 0232 x),4 . 04 . 04 . 01 (6 . 03243 x14x)(xF kpk 0 1 2 3 40.60.40.60.420.60.430.60.44当4 . 0p 01234xF( x)oo1ooo概率分布或分布函数可用来计算有关事件的概率例例2 在上例中，分别用概率分布与分布函数计算下述事件的概率：)2(),2(),2(),31 (),31 (XPXPXPXPXP1344. 06 . 04 . 06 . 04 . 0321344. 06 . 04 . 06 . 04 . 032)3

10、1 ( XP)3()2(XPXP解解)31 ( XP) 1 ()3(FF或)31 ( XP)3()2() 1(XPXPXP3744. 0)4 . 04 . 04 . 0(6 . 032) 1() 1 ()3(XPFF3744. 04 . 06 . 06 . 04 . 06 . 04 . 032)01 () 1 () 1 ()3(FFFF)01 ()3(FF)31 ( XP或) 1()31 (XPXP16. 084. 01) 1()0(1)2(1)2(XPXPXPXP16. 084. 01)02(1)2()2(1)2(1)2(FXPXPXPXP或此式应理解为极限)(lim02xFx064. 09

11、36. 01)2() 1()0(1)2(1)2(XPXPXPXPXP对离散型随机变量用概率分布比用分布函数计算这些概率更方便064. 0936. 01)2(1)2(1)2(FXPXP或096. 0)02()2()2(FFXP096. 0)2(XP或例例3 一门大炮对目标进行轰击，假定此目标必须 被击中r 次才能被摧毁。若每次击中目标的 概率为p (0 p 1), 且各次轰击相互独立， 一次一次地轰击直到摧毁目标为止。求所需 轰击次数 X 的概率分布。解解P ( X = k ) = P ( 前 k 1次击中 r 1次， 第 k 次击中目标)pppCrkrrk)1 (111rkrrkppC)1 (

12、11, 1, rrk注1)1 (11rkrkrrkppC利用幂级数在收敛域内可逐项求导的性质xxkk1111222)1 (1) 1(xxkkk1|x当333)1 (2)2)(1(xxkkkk33321)1 (1xxCkkkrrkrkrkxxC)1 (111归纳地令px1rrrkrkrkpppC1)1 (1 (1)1 (111)1 (11rkrkrrkppC例4 将3个有区别的球随机地逐个放入编号为1，2，3，4的四只盒中（每盒容纳球的个数不限）。设X为有球的盒子的最大号码，试求：; 4 , 3 , 2 , 12|XP（1）随机变量X的分布律与分布函数； （2 )解（1） 随机变量X的可能取值为

13、：64141133XP6474122333XP64194233333XP64374344333XP即随机变量X的分布律为X 1234P64164764376419X的分布函数为4, 143 ,642732 ,64821 ,6411, 0)(xxxxxxXPxFxxkk(2)222|XPXP21XPXP81648647641(1) 0 1 分布分布X = xk 1 0Pk p 1 - p0 p 0 为常数1xF( x)0 xf ( x)0对于任意的 0 a b, babaxeeaFbFxebXaP)()(d)(应用场合应用场合用指数分布描述的实例有：随机服务系统中的服务时间电话问题中的通话时间无

14、线电元件的寿命动物的寿命指数分布常作为各种“寿命”分布的近似例例4 假定一大型设备在任何长为 t 的时间内发生故障的次数 N( t ) 服从参数为t 的Poisson分布, 求相继两次故障的时间间隔 T 的概率分布.解解 )()(tTPtFT0),(10, 0ttTPt)0)()(tNPtTPtteet! 0)(00,10, 0)(tettFt0,0, 0)(tettft即T服从指数分布(3) 正态分布正态分布若X 的概率密度为xexfx222)(21)(则称 X 服从参数为 , 2 的正态分布记作 X N ( , 2 ), 为常数，0N (-3 , 1.2 )-6-5-4-3-2-10.05

15、0.10.150.20.250.33f (x) 的性质的性质：q 图形关于直线 x = 对称: f ( +a ) = f ( - a) 在 x = 时, f (x) 取得最大值21在 x = 时, 曲线 y = f (x) 在对应的点处有拐点曲线 y = f (x) 以x轴为渐近线曲线 y = f (x) 的图形呈单峰状21)()(1)()(XPFFXP-6-5-4-3-2-10.050.10.150.20.250.3q f (x) 的两个参数： 位置参数即固定 , 对于不同的 , 对应的 f (x)的形状不变化，只是位置不同 形状参数固定 ，对于不同的 ，f ( x) 的形状不同.若 1 2

16、 则212121比x = 2 所对应的拐点更靠近直线 x = 附近值的概率更大. x = 1 所对应的拐点前者取 Showfn1,fn3-6-5-4-3-2-10.10.20.30.40.5大小应用场合应用场合 若随机变量 X 受到众多相互独立的随机因素的影响，而每一个别因素的影响都是微小的，且这些影响可以叠加, 则 X 服从正态分布.可用正态变量描述的实例非常之多：各种测量的误差； 人的生理特征；工厂产品的尺寸； 农作物的收获量；海洋波浪的高度； 金属线的抗拉强度；热噪声电流强度； 学生们的考试成绩；一种重要的正态分布一种重要的正态分布：N (0,1) 标准正态分布xexx2221)(它的分

17、布函数记为 (x)，其值有专门的表可查 (x) 是偶函数，其图形关于纵轴对称xtexxtd21)(225 . 0)0()(1)(xx1)(2)|(|aaXP5 . 0)0(-3-2-11230.10.20.30.4-xx)(1)(xx1)(2)|(|aaXP-3-2-11230.10.20.30.4对一般的正态分布 ：X N ( , 2) 其分布函数xttexFd21)(222)(作变量代换tsxxF)(abaFbFbXaP)()()(aaFaXP1)(1)(例例5 设 X N(1,4) , 求 P (0 X 1.6)解解210216 . 1)6 . 10(XP5 . 03 . 05 . 01 3 . 06915. 01 6179. 03094. 0P380 附表3例例6 已知), 2(2NX且 P( 2 X 4 ) = 0.3,求 P ( X 0 ).解一解一20)0(XP2122