2023中考数学练习 08 圆与几何综合问题（学生版+解析版）

专题08圆与几何综合问题

一、【知识回顾】

【思维导图】

圆的定义,弦、直径,弧、半圆、等圆、等弧的定义

垂径定理及K推论

24.1圆

一网心向的定义及网心角定理,弦心距的定义及弦心距定理

一圈周角的定义及网周角定理,网内接多边形的定义及恻内接多边形性质

点和圆的L点在I如内,点在圆上.点在口!外

位置关系"ʌ―外接网及外心

直线和网相交,直线和网相切.

宜线和网相离

24.2点、直线'直线和圆的

圆和圆的位置关系位置关系切线的性质定理

内切圆及内心

第二十四章

圆和圆的两圆外离,两圆外切,两圆内切.

IMI位置关系两圈相交,两圆内含

L正多边形的定义

JE多边形的中心,正多边形的半径,正多边形的中心角.

24.3正多边形和圆正多边形的边心距的概念

正多边形的性质

I=喘公式）

―毋Im=R’=：］R（扇形面积公式）

24.4弧长和扇形面积补3602

二、【考点类型】

考点1：切线的判定

典例1:（2023•广西柳州•统考模拟预测）如图，在，ABC中，AB=AC,以A3为直径的O分别交3C、AC

边于点D、F.过点。作。E_LC尸于点E

⑴求证：DE是。的切线；

⑵若。半径为5,且AF-Z）E=2,求EF的长.

【变式1】(2023秋・河南信阳•九年级统考期末)如图，AB是回。的直径，四边形ABC。内接手回。，。是4C

的中点，DEJ_BC交BC的延长线于点E.

⑴求证：3E是田。的切线；

⑵若AB=10,BC=8,求EC的长.

【变式2](2021•辽宁锦州•统考中考真题)如图，四边形ZBCD内接于回O,48为回。的直径，过点C作CE^AD

交4。的延长线于点E,延长EC,AB交于点F,0ECO=0SCF.

(1)求证：CE为回。的切线；

(2)若DE=1,CD=3,求回。的半径.

【变式3］（2023•四川泸州•统考一模）如图，已知ΔA3C内接于O,A3是。的直径，的平分线

交BC于点£>,交O于点E,连接£B,作N8EF=NC4E,EF交AB的延长线于点尸.

⑴求证：BC//EF-,

⑵求证：EF是:。的切线；

（3）若BF=IO,EF=20,求。的半径和Ao的长.

考点2：与线段有关的问题

典例2：（辽宁省大连市金普新区2022-2023学年九年级上学期数学期末试卷）如图，以ABC的边AB为直

径作。交AC于。且Q£）〃8C,O交BC于点、E.

⑴求证：CD=DE;

⑵若Λβ=12,4)=4,求CE的长度.

【变式1］（2023秋•山东滨州•九年级统考期末）如图，PA,PB是。的切线，A,B为切点,AC是O

的直径，连接CB、OP,OP交AB于点D.

求证：

(I)OP//CB；

{2}2OA2=OPBC.

【变式2］（2022,江西萍乡•校考模拟预测）如图，。是ABC的外接圆，ZA=75o,ZACB=45。，尸是BC

上的一动点.

图1图2

⑴当NBoP的度数为多少时，PC//AB；

⑵若以动点P为切点的切线为PM,那么当/BOP的度数为多少时，切线PM与A5C一边平行？

【变式31(2023春・安徽合肥•九年级合肥寿春中学校考阶段练习)如图,在。中，直径为MN,正方形ABCD

的四个顶点分别在半径。W、OP以及。上，并且NPaW=45。.

v

λz⅛CO-----T

(1)若AB=2,求尸。的长度；

(2)若半径是5,求正方形ABC。的边长.

考点3：与角度有关的问题

典例3：(2022・北京・统考中考真题)如图，AB是。的直径，C。是一。的一条弦，ABLCD,连接4C,OD

⑴求证：ΛBOD=2AA-

(2)连接DB,过点C作CELO氏交的延长线于点E,延长交AC于点尸，若F为AC的中点，求证:

直线CE为。的切线.

【变式1］（2022•四川成都•统考中考真题）如图，在RtAABC中，NAC3=90。，以BC为直径作回。，交AB

边于点O,在CD上取一点E，使BE=C。，连接OE,作射线CE交48边于点尸.

(1)求证：ZA=ZACF5

4

(2)若AC=8,cosZACF=-,求8F及DE的长.

【变式2】（2021•北京•统考中考真题）如图，。是A8C的外接圆，AO是。的直径，A。工BC于点E.

（1）求证：ZBAD=ZCAD;

（2）连接BO并延长，交AC于点尸，交：。于点G,连接GC.若。的半径为5,OE=3,求GC和。尸的

长.

【变式3](2020•上海•统考中考真题)如图，EWBC中，AB=AC,回。是射BC的外接圆，80的延长交边/C

于点D.

(1)求证：^BAC=2^ABD↑

(2)当05CZ)是等腰三角形时，求鲂CD的大小;

(3)当/£>=2,Ci>=3时，求边BC的长.

考点3：与三角函数有关的计算

典例3：(2022•江苏苏州•苏州市振华中学校校考二模)如图，/8是回。的弦，C为回。上一点，过点C作/8

的垂线与/8的延长线交于点。，连接80并延长，与团。交于点E,连接EC,NABE=2NE.

DC

⑴求证：CZ)是回。的切线：

(2)若tanNE=g,BD=X,求/8的长.

【变式1](2020•广西柳州•统考中考真题)如图，/8为回。的直径，C为团。上的一点，连接/C、BC,OD^BC

于点E,交回。于点。，连接CO、AD,4D与BC交于点F,CG与84的延长线交于点G.

(1)求证：BACDWCFD；

(2)若团CQ4=E1GC4,求证：CG为团。的切线;

(3)若sin@。。=ɪ,求tanl3CD4的值.

【变式2】(2020•北京•统考中考真题)如图，AB为回。的直径，C为BA延长线上一点，CD是回。的切线，D

为切点，。甩AD于点E,交CD于点F.

(1)求证：0ADC=0AOF；

(2)若SinC=BD=8,求EF的长.

【变式3](2022•四川成都•模拟预测)如图，/8是IS。的直径，弦CDa48于点E，点/在弧8C上，4尸与

8交于点G,点〃在。C的延长线上，且HG=HF,延长，/交/8的延长线于点M.

(1)求证：，尸是回。的切线；

4

(2)若SinM=W,BM=I,求N尸的长.

巩固训练

一、单选题

1.（2022秋・江苏徐州•九年级校考阶段练习）如图，O的直径AB与弦CZ）的延长线交于点E,若DE=OB,

ZAOC=84,则NE=（）

A.28B.42C.21D.20

2.（2023春•九年级课时练习）已知。过正方形ABC。顶点A,B,且与CD相切，若正方形边长为2,则

3.（2017•山东青岛•中考真题）如图，AB是回0的直径，点C,D,E在回。上，若图AED=20。，贝帼BCD的度数

为（）

A.100oB.IlOoC.115oD.120°

4.（2022秋•江苏无锡•九年级校考阶段练习）如图，已知直线孙交田。于48两点，/E是回。的直径，点

C为回。上一点，且ZC平分码E,过C作CQfa以，垂足为。.且DC+D4=12,回。的直径为20,贝∣J/8

的长等于（）

A.8B.12C.16D.18

5.（2018秋・湖北武汉•九年级统考期中）如图，0J8C内接于回。，/8是回。的直径，CE平分回/C8交回。于E,

。，交于点。，连接则的比值为（）

S丸£=3048/E,SJOCavjOE

E

BCD1

AY∙T∙T∙

6.（2022春•九年级课时练习）如图，圆。的两条弦AB、CO相交于点E,AC和OB的延长线交于点P,下

列结论中成立的是（）

A.PCCA=PB-BDB.CEAE^BE-ED

C.CECD=BEBAD.PBPD=PCpA

7.（2020秋广东汕尾•九年级校考阶段练习）如图，ΛBC内接于：0,若：O的半径为6,ZA=60,贝IJBC

的长为（）

A.3√3B.6√3C.2历D.√27

8.（2022秋,北京西城•九年级北京四中校考期中）如图，O的半径是1,点P是直线y=-x+2上一动点,

过点P作（O的切线，切点为4连接。A,OP,则AP的最小值为（）.

9.（2020,江苏徐州•统考中考真题）如图，AB是，0的弦，点C在过点8的切线上，OCLOA,OC交AB

于点P.若NBPC=70°,则245C的度数等于（）

A.75oB.70oC.65oD.60°

10.（2022秋•重庆江北•九年级重庆十八中校考期末）如图，AB是O的直径，点。在54的延长线上，

0OB=OD,OC与。相切于点E,BC与.O相切于点B交JDE的延长线于点C,若（。的半径为1,EC

的长是（）

A.夜+1B.2√2C.√2+2D.2√2+l

11.（2022秋•江苏•九年级专题练习）如图，以48为直径作半圆回O,C是半圆的中点，尸是BC上一点，AB

=5JLPB=I,则PC的长是（）

A.IB.2√2C.∣√2D.3√2

12.（2022春•九年级课时练习）如图，经过/、C两点的回。与C的边BC相切，与边48交于点D,若ELWC

=105o,BC=CD=3,则40的值为()

5√2D.建

A.3√2B.2√2r

22

13.（2022秋・山东临沂・九年级校考期中）以。为中心点的量角器与直角三角板/BC如图所示摆放，直角顶

点3在零刻度线所在直线。E上，且量角器与三角板只有一个公共点尸，若点P的读数为35°,则

的度数是（）

C.35D.25

14.（2022春•九年级课时练习）如图，在回。中，点C在优弧AB上，将弧BC沿8C折叠后刚好经过ZB的

中点。.若回。的半径为石，/8=4,则8C的长是（)

C.4√2D.3√3

15.（2018・四川宜宾・统考中考真题）在AABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立.依

据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4,EF=3,点P在以DE为直径的半圆上运动,

C.34D.10

16.（2021秋•江苏南京•九年级校联考阶段练习）如图，是半回。的直径，点C在半回。上，AB=5cm,AC

=4cm.。是BC上的一个动点，连接过点C作C闻。于E,连接在点。移动的过程中，8E的

最小值为（）

C.2√2-1D.3

17.（2018∙山东泰安•统考中考真题）如图，M的半径为2,圆心M的坐标为（3,4）,点尸是M上的任意

一点，PA±PB,且3、依与X轴分别交于A、B两点，若点A、点8关于原点。对称，则AB的最小值

为（）

A.3B.4C.6D.8

18.（2022春•九年级课时练习）如图，AB是。的直径，C力分别是OAOB的中点，

MCLAB,NDLAB,M,N在。上.下列结论：①MC=ND；②AM=MN=NB;③四边形MCrVV是正

方形；®MN=\AB.其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

19.（2021秋・浙江杭州,九年级期末）如图，点D在半圆。上，半径OB=标，AD=IO,点C在弧BD上

移动，连接AC,H是AC上一点，0DHC=9Oo,连接BH,点C在移动的过程中，BH的最小值是（）

A.5B.6C.7D.8

20.（2021•全国•九年级专题练习）如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E为CD上一点，且DE=

1,F为射线BC上一动点，过点E作EG回AF于点P,交直线AB于点G.则下列结论中：①AF=EG;②若回BAF

=0PCF,则PC=PE;③当回CPF=45°时，BF=I;④PC的最小值为-2.其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题

21.（2022春•九年级课时练习）如图，。的半径为2&,ABC内接于于点

ZA=60。,NC=75。，则0。长度为,

22.（2022春•九年级课时练习）如图，YABC。的边BC与。相切于点8,4D为。的直径，若Ar）=I0,

则CD的长为.

C

23.（2021秋•湖南长沙•九年级校考阶段练习）如图，A∕8C的内切圆回。与8C,CA,ZB分别相切于点，

E.F.且48=5,AC=Xl,SC=13,贝胞。的半径是.

24.（2014・湖南岳阳•统考中考真题）如图，AB是回。的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作回0的

切线，切点为C,连接AC,BC,作团APC的平分线交AC于点D.下列结论正确的是_（写出所有正确结论

的序号）

①一CPD^-DPA；

②若EIA=30°,贝IJPC=GBC；

③若回CPA=30°,则PB=OB;

④无论点P在AB延长线上的位置如何变化，0CDP为定值.

25.（2015秋•河南深河•九年级统考期末）如图，点P在双曲线y='上，以P为圆心的团P与两坐标轴都相切,

X

E为y轴负半轴上的一点，PFOPE交X轴于点F,则OF-OE的值是

26.（2022春•全国•九年级专题练习）EL48C中，/8=4,AC=2,以BC为边在a4BC外作正方形5CDE,BD、

CE交于点O,则线段AO的最大值为.

27.（2018,山东济南,中考真题）如图，正方形ABCD的边长为2a,E为BC边的中点，AEHE的圆心分别

在边AB、CD±,这两段圆弧在正方形内交于点F,则E、F间的距离为

28.（2022秋•全国•九年级专题练习）如图，尸是矩形N8C。内一点，AB=4,AD=2,APYBP,则当线

段。尸最短时，CP=

29.（2020秋・浙江金华•九年级校考期中）图1是一种推磨工具模型，图2是它的示意图，已知480PQ,ZP

=AQ=20cm,∕8=120cm,点Z在中轴线/上运动，点8在以。为圆心，长为半径的圆上运动，且08

=35cm,

（1）如图3,当点5按逆时针方向运动到8'时，A'B'±OB',则AΛ'=cm.

（2）在点B的运动过程中，点尸与点。之间的最短距离为cm.

图1

30.（2022秋•新疆乌鲁木齐•九年级乌鲁木齐市第九中学校考期中）如图，在明CE中，CA=CE,回。£=30。，

半径为5的由O经过点C,CE是圆。的切线，且圆的直径在线段/E上，设点Z）是线段NC上任意一点

（不含端点），则的最小值为.

三、解答题

31.(2022春•九年级课时练习)如图，线段/8经过。的圆心O,交圆。于点4C,SC=I,4D为,。的

弦，连接BD,ABAD=ZABD=30°,连接。。并延长交。于点E,连接BE交。于点

(1)求证：直线8。是。的切线;

⑵求线段8M的长.

32.(2022•江苏无锡・统考一模)如图，在四边形/88中，0C=0Λ>=9Oo,OC=4,AD=2,AB=BC,以为

直径的圆。交8C于点E.

⑴求圆回的半径;

(2)用无刻度的直尺在QC边上作点使射线平分并求含的值.

33.(2022秋•山东烟台•九年级统考期末)如图，已知直线PA交。于/、8两点，AE是O的直径，点C

为〈。上一点，且AC平分/皿：，过C作CZ)LB4,垂足为。.

⑴求证：8是〈。的切线;

(2)若。C+ZM=12,。的直径为20,求AB的长度.

34.(2023・全国•九年级专题练习)如图，圆内接四边形ΛBEE),Zfi=ZC=90o,点E是边BC上一点，且Z)E

平分ZAEC

⑴求证：DC是。的切线;

(2)若。的半径为5,8=3,求OE的长.

35.（2022・全国•九年级专题练习）如图，AB是半圆。的直径，AE是半圆O的切线（即圆。的切线）.连

接£B,交半圆于点O,连接AO.过点。作直线CO,S.ZEDC=ZDAB.

⑴求证：直线Co是半圆。的切线；

⑵求证：点C是线段AE的中点；

⑶若AB=I0,«£）=8,求线段CE的长.

36.（2022•广西北海•统考一模）如图，在RfjBe中，EWC5=90o,AB=10,NC=6,点。为BC边上的一

个动点，以8为直径的回。交/。于点E,过点C作CE7Z8,交回。于点尸，连接CE、EF.

（1）当回CFE=45。时，求CD的长；

⑵求证：SiBAC=SiCEF;

⑶是否存在点。，使得CFE是以Cr为底的等腰三角形，若存在，求出此时CD的长；若不存在，试说明

理由.

37.(2023秋•广东广州•九年级期末)如图，在RtABC中，ZC=90o,A。平分/54C交BC于点。，。为

AB上一点，经过点力,。的。分别交A8,AC于点E,F.

(1)求证：BC是:。的切线；

(2)若AF=8,CF=I,求。的半径.

38.(2022秋•湖南长沙•九年级校考阶段练习)如图，AB是O的直径，点D、E在：。上，连接AE、ED、

DA,连接BD并延长至点C,使得/D4C=ZA£».

(1)求证：AC是。的切线;

(2)若点E是的中点，AE与BC交于点F,

①求证：CA=CF;

②若。。的半径为3BF=2,求AC的长.

39.(2021春•九年级课时练习)如图，四边形A6C。内接于：O,对角线ACl80,垂足为E,CFlAB于

点F,直线CF与直线8。于点G.

(1)若点G在(。内，如图1,求证：G和。关于直线AC时称；

(2)连接AG,若AG=BC,且AG与。相切，如图2,求/ABC的度数.

40.（2022春•黑龙江哈尔滨•九年级哈尔滨工业大学附属中学校校考开学考试）如图，AABO内接于（。中,

弦BC交4D于点E,连接CD,BGCO交CD的延长线于点G,BG交（O于点、H,ZABC=2NGBD.

⑴如图1,求证：DB平分NGDE；

⑵如图2,CNLAB于点、N,CN=CG,求证：AN=HG;

（3）如图3.在（2）的条件下，点/在/E上，连接8尸、CF,且BbLCF,ZBCN=2/CBF,BC=S.求

ZE的长.

专题08圆与几何综合问题

一、【知识回顾】

【思维导图】

圆的定义,弦、直径,弧、半圆、等圆、等弧的定义

垂径定理及K推论

24.1圆

一网心向的定义及网心角定理,弦心距的定义及弦心距定理

一圈周角的定义及网周角定理,网内接多边形的定义及恻内接多边形性质

点和圆的L点在I如内,点在圆上.点在口!外

位置关系"ʌ―外接网及外心

直线和网相交,直线和网相切.

宜线和网相离

24.2点、直线'直线和圆的

圆和圆的位置关系位置关系切线的性质定理

内切圆及内心

第二十四章

圆和圆的两圆外离,两圆外切,两圆内切.

IMI位置关系两圈相交,两圆内含

L正多边形的定义

JE多边形的中心,正多边形的半径,正多边形的中心角.

24.3正多边形和圆正多边形的边心距的概念

正多边形的性质

I=喘公式）

―毋Im=R’=：］R（扇形面积公式）

24.4弧长和扇形面积补3602

二、【考点类型】

考点1：切线的判定

典例1:（2023•广西柳州•统考模拟预测）如图，在，ABC中，AB=AC,以A3为直径的O分别交3C、AC

边于点D、F.过点。作。E_LC尸于点E

⑴求证：DE是。的切线；

⑵若。半径为5,且AF-Z）E=2,求EF的长.

【答案】⑴见解析

（2）2

【分析】（1）连接。。，根据AB=AC,OD=OB得NC=NB,NODB=NB,即有NC=N可证

OZ)〃C4,再根据DE_Lb可得NQDE=ZDEC=90。，则可得0£＞人DE且0。为。的半径，可得DE是O

的切线；

（2）过点。作OGLA产于点G,根据NoGE=NoG4=90°,根据垂径定理可得AG=GF=；AF,又

NDEG=NODE=90°,得四边形OGE。为矩形，则有OG=OE,OD=GE,设£F=x,则

GF=AG=5-x,DE=8-2x,根据勾股定理求解即可.

【详解】（1）证明：连接。。，

DElCF

:.NDEC=NDEF=90°.

AB=AC,

;.NC=NB

QOD=OB,

.-.ZODB=ZB

ZC=ZODB.

^OD//CA,

NODE=NDEC=90。,

..OD_LE）E且。。为〈。的半径.

;.DE是:。的切线.

（2）过点。作OGLAF于点G,

.∙.ZOGE=ZOGA=90o,AG=GF=^AF.

又∙ZDEG=ZODE=90°,

田四边形OGEn为矩形，

.∙.OG=DE,OD=GE=5.

设EF=X,则GF=AG=5-x,OE=OG=A尸一2=2AG-2=8-2x,

在RtZXOAG中，AG2+OG2=Ofic,

即（5—犬）2+（8-2》）2=52,

解得：x=2,

mE尸的长为2.

【点睛】本题考查的是切线的判定与性质，垂径定理，矩形的判定与性质，勾股定理等知识点，掌握切线

的判定定理、垂径定理是解题的关键.

【变式1】（2023秋・河南信阳・九年级统考期末）如图，AB是团。的直径，四边形ABCD内接于回。，。是4C

的中点，DELBC交8C的延长线于点E.

（2）若AB=I0,BC=S,求EC的长.

【答案】（1）见解析

（2）1

【分析】（1）要证明DE是回。的切线，所以连接8,求出Na>E=90o即可，根据已知DElBC,可得

ZDEC=90。，所以只要证明8〃BE即可解答；

（2）由（1）可得BO平分NZABC,所以想到过点。作Nm_LAB,垂足为E进而证明/MD尸名ZXCDE,可

得A尸=CE,易证ABDg-BDE,可得BF=BE,然后进行计算即可解答.

【详解】（1）证明：连接。。，

DElBC

.∙.ZDEC=90o,

∙∙.。是AC的中点，

AD=CD，

.∖ZABD=ZCBD

OD=OB9

ZODB=ZOBDf

・,./ODB=NCBD,

,∖OD∕∕BC1

..NODE=180o-NDEC=90°,

:.ODVDE,

OD是回。的半彳仝，

「.£＞七是回。的切线.

（2）过点。作。垂足为E

由（1）得：ZABD=∕CBD,

・・・3。平分ZABC,

DFlAB,DE工BC,

:.DF=DE,

四边形ABC。内接于团。

・•.NA+NOCB=180。，

NoeB+NDCE=180。，

：.ZA=ZDCE.

ZDFA=ZDEC=90°,

...ADF^..CDE（AAS）,

:.AF=EC,

/DFB=ZDEC=琳,BD=BD,

:.BDF^BDE（AAS）f

:.BF=BE,

设EC=JV,则BE=BF=8+x,

AB=AF+BF=W,

.∙.x+8+x=10,

.,.X—1,

即：EC=L

【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，圆内接四边形性质，全等三角形的证明，添加辅助线是解

题的关键.

【变式2］（2021•辽宁锦州•统考中考真题）如图，四边形NBCD内接于回0,45为团。的直径，过点C作CEIHAD

交的延长线于点E,延长EC,4B交于点、F,SECD=^iBCF.

（1）求证：CE为回。的切线；

（2）若DE=I,CD=3,求回。的半径.

【答案】（1）见解析；（2）回。的半径是4.5

【分析】（1）如图1，连接OC,先根据四边形/BCD内接于130,得NCDE=NoBC,再根据等量代换和直

角三角形的性质可得NoCEl90。，山切线的判定可得结论；

（2）如图2,过点。作06_1_4£于6,连接OC,OD,则NOG^=90。，先根据三个角是直角的四边形是

矩形得四边形OGEC是矩形，设团。的半径为X,根据勾股定理列方程可得结论.

【详解】（1）证明：如图1,连接OG

图1

ElOB=OC,

⑦NoCB=NoBC,

团四边形48CZ）内接于®0,

ISZCDA+ZABC=180°

又NCDE+NCD4=180°

ZCDE=ZOBC,

0CE±AD,

回NE=NCDE+NECD=90°,

SZECD=ZBCF,

0ZOCB+ZBCF=9Oo,

0ZOCE=9Oo,

团。C是回。的半径，

ISCE为回。的切线；

（2）解：如图2,过点。作OG_LAE于G,连接。C,OD,则NOGE=90。,

ISNE=NOCE=90°,

EI四边形OGEC是矩形，

005EG,OG=EC,

图2

设团。的半径为X,

∕M2CΓ（E中，CD=3,DE=X,

0EC=√3ς≡P=2√2，

团OG=2∙∖∕2，GD~x~∖ιOD—x,

山勾股定理得：OC>2=OG2+OG2,

13Jt2=(2√2)2+(x-l)2,

解得：Λ=4.5,

03。的半径是4.5.

【点睛】本题考查的是圆的综合，涉及到圆的切线的证明、勾股定理以及矩形的性质，熟练掌握相关性质

是解决问题的关键.

【变式3】(2023•四川泸州•统考一模)如图，已知ΔABC内接于∙O,AB是，。的直径，/C4B的平分线

交8C于点。，交。于点E,连接作N8M=NC4E,EF交AB的延长线于点F.

⑴求证：BC//EF-,

(2)求证：EF是I。的切线；

(3)若8尸=10,E尸=20,求。的半径和Ao的长.

【答案】⑴见解析

⑵见解析

(3)15,AD=9√5

【分析】(1)山圆周角定理及已知条件进行等量代换，然后利用内错角相等两直线平行证明即可.

(2)利用角平分线及圆周角定理得出E是BC的中点，再利用垂径定理及平行线的性质推导得出NOE产为

直角，即可证明.

(3)先证明，EMS一诏，然后利用勾股定理计算得出A£,庭的长，再利用平行线所截线段成比例求出

AD.

【详解】(1)证明：0NBEF=NCAE,NCAE=NCBE,

SZBEF=NCBE,

EIBC〃EF；

(2)证明:

连接OE,

0AE平分/OU5,

EINc4£=NBA£,

λCE=BE'

0OELBC,

团BC//EF,

0OEVEF,

SOE是:。的半径，

SIE尸是＜0的切线；

(3)解:

A

如图，设I。的半径为X,则OE=OB=X,。尸=x+10,

在RrOEF中,由勾股定理，WOE2+EF2=OF2.

ElX2+2()2=(X+lop,

解得：x=I5,

回(O的半径为15：

回ZBEF=ZBAE,ZF=ZF,

0_EBFSAEF,

BEBF101

0==—=-，

AEEF202

⑦AE=2BE,

EIAB是:。的直径，

0NAEB=90°,

在RtABE中，由勾股定理，得AE2+BE2=AB2，

a∣JBE2+（2BE）2=3（）2,

解得8£：=6石，

0AE=12√5.

^BC∕/EF.

ABAD30AD

0—=—,aBnJ-=—『,

AFAE4012√5

0AD=9√5.

方法二：

0ZBEF=ZBAE,ZF=ZF,

⑦JEBFSLAEF,

BEBFEF101

团---=---=---=—=一,

AEEFAF202

EF2=BF.AF，

EF2202

0AF=--===40,

BF10

^AB=AF-BF=30,

0O的半径为15：

求4。长的步骤同上.

【点睛】本题主要考查平行的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，切线的证明以及相似三角形，掌

握切线的证明，相似三角形的判定及计算是解决本题的关键.

考点2：与线段有关的问题

典例2：（辽宁省大连市金普新区2022-2023学年九年级上学期数学期末试卷）如图，以ΛBC的边AB为直

径作。交AC于。且O£>〃8C,。交8C于点E.

（1）求证：CD=DE;

⑵若Λβ=12,AD=4,求CE的长度.

【答案】⑴证明见解析

（2）1

【分析】（1）山四边形43ED内接于。，得出Nz）EC=ZA,根据己知8〃3C,得出NC=∕4OO,又

OA=OD,得IHNA=NAZ）O,等量代换得出NC=NOEC,根据等角对等边，即可得证；

（2）根据AB为直径，得他NA£B=90。，根据已知以及（1）的结论，得出4C=2AD=8,48=BC=I2,

设CE=X,则3E=12—X,在RtAACE,RLA3E中，根据AE相等，根据勾股定理列出方程，解方程即口J求

解.

【详解】（1）证明：回四边形ABED内接于：0,

0ZDEB+ZA=18Oo,

又NDEB+ZDEC=180。

^ZDEC=ZA,

aOD〃BC,

团NC=NAD0,

^OA=OD,

^ZA=ZADO,

中NC=NDEC,

团CD=DE；

（2）解：如图所示，连接A石，

团NAEB=90。，

□ZC4E÷ZC=90o>ZAED+ZDEC=90o,

由(1)CD=DE,/C=/DEC,

⑦NCAE=ZAED,

⑦AD=DE,

AD=DC,

团AC=24)=8,

由(1)可得ZBAC=ZAZ)O,NC=ZADO,

则NC=NB4C,

团AB=BC=12,

设CE=x,则3E=12—X,

2222

^AC-CE=AB-BEf

082-X2=122-(12-X)2,

Q

解得：X=],

O

BlCE=-.

3

【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，等腰三角形的性质与

判定，综合运用以上知识是解题的关键.

【变式1】(2023秋•山东滨州•九年级统考期末)如图，PA,PB是。的切线，A,5为切点，AC是O

的直径，连接C8、OP,OP交AB于点D.

求证：

(I)OP//CB；

(2)20^=OP-BC.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）根据切线长定理得出以=依，ZAPO=/BPO,根据三线合一得出PO,43,根据AC是CO

的直径，得出ABlBC,即可得证；

（2）根据（1）的结论得出_AQ£>s_ACB,进而得出。。=；BC,证明AASSZXHM得出AO2=OP×OD,

即可得证.

【详解】（1）证明：回∕¼,总是Wo的切线，

⑦PA=PB,ZAPO=ZBPO,

0POlAB,

团AC是00的直径

0AB2BC,

电OP〃CB:

（2）证明：回。P〃CS,

0AOD^ACB,

0—=—ɪɪ,即OD=LBC,

ACBC22

团AQ_LQP,OA_LAP,

ZOAD=90o-ZDAP=ZAPO,

^ΛAOD^ΛPOΛ,

AOOD

0-----=-----,

OPAO

SlAO2=OPxOD,

^OD=-BC,

2

SlAO2=OP-BC,

2

即IOfiC=OPBC.

【点睛】本题考查了切线长定理，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键.

【变式2］（2022•江西萍乡•校考模拟预测）如图，。是一ABC的外接圆，ZA=75。，ZACB=45o,P^BC

上的一动点.

P

CC

(1)当/BOP的度数为多少时，PC//AB；

(2)若以动点尸为切点的切线为尸“，那么当NBoP的度数为多少时，切线PM与ABC一边平行？

【答案】(1)120。

(2)75。或30。或135。

【分析】(1)根据三角形内角和定理可得NCSA=60。，再由PC〃AB,可得NPCe=NC84=60°,再由圆

周角定理，即可求解；

(2)分1种情况：当PA/〃BC时，连接OC；当尸〃〃AC时，连接。4,OC,并反向延长OP,交(O于

点民当PM〃AB时，反向延长OP,交。。于点凡连接结合切线的性质，垂径定理以及圆周角定

理，即可求解.

【详解】(1)解：在，ABC中，SZA=75o,NBC4=45。，

13NCB4=60°,

SPC//AB,

⑦NPCB=NCBA=60°,

回ZBOP=2ZPCB=60。X2=120°,

回当NBOP=120°时，PC//AB-.

(2)解：①如图2,当PM〃8C时，连接。C,

ElPM切。于点P,

团。P_LpW,

0OP±BC,

国。尸是半径，

⑦BP=P