概率论与数理统计+二维连续性随机变量及其分布

1、解解(1)x 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计故故X,Y不独立。不独立。设(X,Y)的密度函数为(2),01,0,( , )0,.cy- xxyxf x y其他求(1) C的值; (2) 边缘密度函数.(1)1( , )d df x yx y 解解概率论与数理统计概率论与数理统计xyO2D100(2)xcyx dy dx 100(2)xcx dxydy12015(2)().224ccxxdx24/5.c024(2)( )( , )(2)5xXfxf x y dyyx dy概率论与数理统计概率论与数理统计212(2)(01)5xxx124( )( , )(2)5y

2、Yfyf x y dxyx dx2243(2)(01)522yyyy(2),01,0,( , )0,.cy- xxyxf x y其他（一）随机变量的数学期望（一）随机变量的数学期望1.离散型随机变量的数学期望设X的分布律为, 2 , 1,)(ipxXPii则2.连续型随机变量的数学期望设连续型随机变量X的密度函数为f(x),则dxxxfXE)()(概率论与数理统计概率论与数理统计1()iiiE Xx pReview概率论与数理统计概率论与数理统计3.随机变量函数的数学期望（1）X为随机变量，Y=g(X),离散型离散型：1( ) ()( )iiiE YE g Xg x p连续型：连续型：( )

3、()( ) ( )E YE g Xg x f x dx(2)(X,Y)为二维随机变量, Z=g(X,Y),离散型：离散型：连续型：连续型：11( ) (, )( ,)ijijjiE ZE g X Yg x yp( ) (, )( ,) ( , )ijE ZE g X Yg x yf x y dxdy 概率论与数理统计概率论与数理统计xyOD解解:0,01;XDyxx型区域概率论与数理统计概率论与数理统计:0,01;XDyxx型区域概率论与数理统计概率论与数理统计1.E (C ) = C2. E (aX ) = a E (X ) 3.E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ) 11

4、()nniiiiEXE X4.当X ,Y 独立时，E (X Y ) = E (X )E (Y ) .11()nniiiiEXE X 线性性质线性性质（二）方差（二）方差1.定义 D(X)=E X-E(X)2标准差：()D X2.计算(2) 离散型：21()().iiiD XxE Xp2()()( ).D XxE Xf x dx(3)连续型：概率论与数理统计概率论与数理统计(1) 计算公式计算公式：D(X)=E(X2)-E2(X).概率论与数理统计概率论与数理统计(1) D(C)=0;(2) D(CX)= C2D(X);(3)若X, Y,则D(X+Y)=D(X) +D(Y).D(X-Y)=D(X

5、) +D(Y).概率论与数理统计概率论与数理统计解解已知随机变量 X 的分布律为Xp01pp 1D(X).1 ()10(1),iiiE Xx pppp 22221 ()10(1),iiiE Xx pppp222()()()(1)D XE XE Xpppp概率论与数理统计概率论与数理统计:1,01;1XGxyx型区域解解2,( , )( , )0,.x yGf x y其他概率论与数理统计概率论与数理统计设Xb(n,p),求E(X),D(X).解解 X表示重伯努利试验中“成功的次数”，令1,0,iiXi第 次试验成功第 次试验失败 (),()(1).E Xp D XPp且Xi服从0-1分布，则11

6、 ()()()(1),nniiiiD XDXD Xn pp11 ()()(),nniiiiE XEXE Xn p又Xi之间相互独立，概率论与数理统计概率论与数理统计已知标准正态分布N(0,1)的期望是0，方差是1。设XN(,2),求E(X),D(X).解解(0,1)XN由由，得得()0()XE XE()E X2().D X()()E XXD X随机变量的标准化：随机变量的标准化：2()1()0XD XD 分布数学期望 方差0-1分布B(1,p) p p(1-p)二项分布B(1,p) np np(1-p)泊松分布均匀分布正态分布指数分布)(P( )E),(2N),(baU2/ )(ba12/)(

7、2ab2/121/概率论与数理统计概率论与数理统计问题问题 对于二维随机变量(X ,Y ):联合分布边缘分布 对二维随机变量,除每个随机变量各自的概率特性外, 相互之间可能还有某种联系该用一个怎样的数去反映这种联系呢？ ()( )EXE XYE Y数数能反映随机变量能反映随机变量 X , Y 之间的之间的关系关系概率论与数理统计概率论与数理统计为 X ,Y 的协方差协方差. 记为 cov( , )( )( )X YE XE XYE Y称()cov(, )cov( ,)( )D XX YY XD Y为（X , Y ）的协方差矩阵协方差矩阵 称( )( )E XE XY E Y定义定义概率论与数理

8、统计概率论与数理统计计算公式计算公式： cov(X,Y) =E(XY)-E(X)E(Y).分布律如下，求cov(X,Y)概率论与数理统计概率论与数理统计1()0 0.3 1 0.452 0.250.95,iiiE Xx p 解解 X,Y的分布律分别如下： 1020.550.250.2YP0120.30.450.25XP1( )( 1)0.550 0.252 0.20.15,jjjE Yy p 分布律如下，求cov(X,Y)概率论与数理统计概率论与数理统计11()ijijjiE XYx y pcov(, )()() ( )0.1425.X YE XYE X E Y0 ( 1) 0.1 1 ( 1

9、) 0.32 ( 1) 0.150 0 0.2 1 0 0.052 0 00 2 0 1 2 0.122 0.10, 概率论与数理统计概率论与数理统计GyO解解0;:1,1XG xyx型区域4cov()()() ( ).225XYE XYE X E Y1108()( , )8,15xDE Xxf x y dxdydxxxydy1104( )( , )8,5xDE Yyf x y dxdydxyxydy1104()( , )8,9xDE XYxy f x y dxdydxxyxydy概率论与数理统计概率论与数理统计1.cov(X,X)=D(X)5.当X ,Y 独立时，cov(X ,Y ) = 0

10、 .对称性对称性2.cov(X,Y)=cov(Y,X)3.cov(aX,bY)=abcov(X,Y)6.cov(C,X)=04.cov(X1 +X2,Y)=cov(X1,Y)+ cov(X2,Y)而当cov(X ,Y ) = 0， X ,Y并不一定独立.X,Y线性线性不相关不相关7.D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2cov(X,Y) 为了消除量纲对协方差值的影响,我们把X,Y标准化后再求协方差*,XE XXD X *YE YYD Y*(,)Cov XY XE X YE YED XD Y*()E X Y*()()EXE XYE Y ( )EX

11、E XYE YD XD Y(, )( )Cov X YD XD Y概率论与数理统计概率论与数理统计若D (X ) 0, D (Y ) 0 ,称)()(),cov()()()()(YDXDYXYDXDYEYXEXE为X ,Y 的 ，记为)()(),cov(YDXDYXXY若, 0XY 称 X ,Y 不相关不相关.概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计1.|XY|12.当X ,Y 独立时， XY = 0 .3. |XY|越大，则X ,Y 线性相关程度越好当 |XY|=0时，X ,Y 并不是一定没有关系，而是线性不相关。逆命题不成立逆命题不成立4. (X,Y) N(1,2,

12、12,22,)就是X ,Y 的相关系数，XY = .概率论与数理统计概率论与数理统计OXYOXYOXYOXY 000 ( 0 )Yab Xb 000 ( 0 )Yab Xb 000 ( 0 )yab xb 1XY 1XY0 1XY 000 ( 0 )yab xb1 0XY OXY0XY设 ( X ,Y ) N ( 1,4, 1,4, 0.5 ), Z = X + Y , 求 XZ解解, 4)()(, 1)()(YDXDYEXE1/2, cov( , )2XYX Y6),cov(),cov(),cov(YXXXZX( )()( )( )2cov( , ) 12D ZD X YD XDYX Y.

13、.XZcov(X,Z)=3/2D(X) D(Z)概率论与数理统计概率论与数理统计 U-,X=sin , Y=cos ,X,Y是否相关，是否独立？概率论与数理统计概率论与数理统计解解()(sin )sin( )E XEfd1sin0,2d( )(cos )cos( )E YEfd1cos0,2d1sincos0,2d()(sincos )sincos( )E XYEfdcov(, )0X Y其它, 01,1),(22yxyxf(, )()() ( )0Cov X YE XYE X E Y22111110 xxdxxydy()( , )E Xxf x y dxdy 证明证明 (1)于是于是XY=

14、0，所以 X与Y线性不相关。22111110 xxdxxdy()( , )E XYxyf x y dxdy 已知（X,Y）的概率密度如下，试证X与Y既不相关，也不相互独立。( )( , )E Yyf x y dxdy 22111110 xxdxydy概率论与数理统计概率论与数理统计显然，fX(x)fY(y)f(x,y)，因此，X与Y不相互独立。2221121,111(2)( )( , )0,xXxxxfxf x y dydy 其它其它, 01,1),(22yxyxf已知（X,Y）的概率密度如下，试证X与Y既不相关，也不相互独立。2221121,111( )( , )0,xYxyyfyf x y

15、 dxdx 其它概率论与数理统计概率论与数理统计vn维随机变量X1,X2,Xn服从正态分布，则Xi都是一维正态；若Xi是一维正态，且相互独立，则X1,X2,Xn服从n维正态。概率论与数理统计概率论与数理统计vn维随机变量X1,X2,Xn服从正态分布的充要条件是X1,X2,Xn 的任意线性组合都服从一维正态。v对n维正态分布来说，独立与线性相关是等价的。 设随机变量X和Y相互独立，且XN(1, 2), YN(0, 1)。求 Z = 2X-Y+3 的概率密度。 知知 Z=2X-Y+3 服从正态分布，且服从正态分布，且解解 由由XN(1,2), YN(0,1)，且，且X与与Y相互独立相互独立,D(Z

16、) = 4D(X)+D(Y) = 8+1 = 9, E(Z) = 2E(X)- -E(Y)+3 = 2- -0+3=5 ， 故，故，ZN(5, 32) .概率论与数理统计概率论与数理统计Z 的概率密度为的概率密度为2(5)181( ), .3 2zZfzez 概率论与数理统计概率论与数理统计)(., 2 , 1),(,kkkXEkkXkXEX 记记为为简简称称的的称称它它为为存存在在若若是是随随机机变变量量设设阶阶矩矩阶阶原原点点矩矩kkkXEXEkXkXEXE)(.,)( 记记为为的的称称它它为为存存在在若若阶阶中中心心矩矩32定义定义1定义定义2.)(1,1的数学期望的数学期望就是就是时时当当显然显然XXEk ).(XD 2显显然然概率论与数理统计概率论与数理统计说明说明 ;,)()(方方差差为为二二阶阶中中心心矩矩点点矩矩的的一一阶阶原原是是的的数数学学期期望望随随机机变变量量XXEX