第3章【随机过程】

1、CH3随机过程随机过程1CH3随机过程随机过程2本章内容结构n3.1 随机过程的基本概念n3.2平稳随机过程n3.3 高斯随机过程n3.4 平稳随机过程通过线性系统n3.5 窄带随机过程n3.6 正弦波加窄带高斯噪声n3.7 高斯白噪声和带限白噪声n3.8 小结CH3随机过程随机过程33.0 概率论基础复习n1、随机变量的概念n（1）样本空间的概念：在随机实验中，所有可能的结果的集合（例如抛1次硬币，其样本空间为正面,反面）n（2）随机变量的概念：对于一个样本空间，若每一个元素有一个随机的单值与之对应，则称之为随机变量（例如，抛硬币如果是正面我们用+1表示，反面用-1表示，+1或-1就是这个实

2、验的随机变量，通常记为）CH3随机过程随机过程42、随机变量的统计特性（即概率分布）n（1）离散型随机变量n常用分布律来表示，如抛硬币的分布律为n（2）连续型随机变量n只能用分布函数和概率密度函数来描述+1 -10.5 0.5)( xPxF分布函数)()( xFxf概率密度函数CH3随机过程随机过程53、随机变量的数字特征n（1）数学期望E(即平均值)n对于离散随机变量：n对于连续随机变量：n（2）方差Dn对于离散随机变量：n对于连续随机变量：)()(1是常数记为axPxEniiidxxxfE)(niiixPaxD12)(dxxfaxD)()(2CH3随机过程随机过程63、随机变量的数字特征(

3、续)n（3）相关函数n无论是离散的还是连续的随机变量，两个随机变量的相关函数统一定义为),(2121 ERCH3随机过程随机过程7第第3章章 随机过程随机过程n3.1 随机过程的基本概念n什么是随机过程？n随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度看：n角度1：对应不同随机试验结果的时间过程的集合。CH3随机过程随机过程8第第3章章 随机过程随机过程【例】n台示波器同时观测并记录这n台接收机的输出噪声波形 n样本函数i (t)：随机过程的一次实现，是确定的时间函数。n随机过程： (t) =1 (t), 2 (t), , n (t) 是全部样本函数的集合。

4、CH3随机过程随机过程9设有设有n台性能完全相间同的通信机，工作条件也都相同。台性能完全相间同的通信机，工作条件也都相同。用用n部记录仪同时记录各部通信机的输出部记录仪同时记录各部通信机的输出噪声波形噪声波形。 测试结果为：即使测试结果为：即使n足够的大，找不到两个完全相同的波形。足够的大，找不到两个完全相同的波形。 通信机输出的噪声随时间的变化是通信机输出的噪声随时间的变化是不可预知不可预知的，是一个的，是一个随随机过程机过程。 CH3随机过程随机过程10 x1(t)x2(t)xn(t)ttt样本空间S1S2Sn(t)tk图图3-2 样本函数的总体样本函数的总体CH3随机过程随机过程11通过

5、热噪声的例子来理解随机过程这是在一个电阻上测量到的热噪声，它也属于一种这是在一个电阻上测量到的热噪声，它也属于一种“随机过程随机过程”。图中画出了其。图中画出了其3个样本，这种随机过个样本，这种随机过程的样本空间有无穷多个。程的样本空间有无穷多个。注意：每一个样本都是一个关于时间的函数注意：每一个样本都是一个关于时间的函数CH3随机过程随机过程123.1随机过程的基本概念 通信过程是有用信号通过通信系统的过程，且在通通信过程是有用信号通过通信系统的过程，且在通信系统各点常伴随有信系统各点常伴随有噪声噪声的加入及此加入噪声在系统的加入及此加入噪声在系统中的传输。中的传输。凡是凡是不能预测不能预测

6、的噪声就统称为的噪声就统称为随机噪声随机噪声(噪声噪声)。 通信系统中遇到的信号，通常总带有某种通信系统中遇到的信号，通常总带有某种随机性随机性(它它们的某个或几个参数不能预知或不能完全预知们的某个或几个参数不能预知或不能完全预知),把这把这种具有种具有随机性随机性的信号称为的信号称为随机信号随机信号。 随机信号和噪声统称为随机信号和噪声统称为随机过程随机过程。CH3随机过程随机过程13第第3章章 随机过程随机过程n角度角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。：随机过程是随机变量概念的延伸。n在任一给定时刻在任一给定时刻t1上，每一个样本函数上，每一个样本函数 i (t)都是一个确定的都是一个确

7、定的数值数值 i (t1)，但是每个但是每个 i (t1)都是不可预知的。都是不可预知的。n在一个固定时刻在一个固定时刻t1上，不同样本的取值上，不同样本的取值 i (t1), i = 1, 2, , n是一个随机变量，记为是一个随机变量，记为 (t1)。n换句话说，随机过程在任意时刻的值是一个随机变量。换句话说，随机过程在任意时刻的值是一个随机变量。n因此，我们又可以把因此，我们又可以把随机过程随机过程看作看作是是在时间进程中处于不同在时间进程中处于不同时刻的时刻的随机变量的集合随机变量的集合。n这个角度更适合对随机过程理论进行精确的数学描述。这个角度更适合对随机过程理论进行精确的数学描述。

8、CH3随机过程随机过程143.1 随机过程的基本概念n随机过程是时间t的函数n在任意时刻观察，它是一个随机变量n随机过程是全部可能实现的总体 CH3随机过程随机过程15随机变量和随机过程的区别与关系n区别：n随机变量与随机过程的样本空间是不同的n这中区别体现在样本空间的数量上和性质上n关系：n随机过程在某一固定时刻的取值是一个随机变量CH3随机过程随机过程163.1.1 随机过程的分布函数n由于随机过程由一系列随机变量组成n所以无法用某一随机变量的统计特征来描述整个随机的统计特性n于是人们定义了n一维概率分布函数和概率密度函数n二维概率分布函数和概率密度函数n。nN维概率分布函数和概率密度函数

9、CH3随机过程随机过程17第第3章章 随机过程随机过程n3.1.1随机过程的分布函数随机过程的分布函数n设 (t)表示一个随机过程，则它在任意时刻t1的值 (t1)是一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。n随机过程 (t)的一维分布函数：n随机过程 (t)的一维概率密度函数：若上式中的偏导存在的话。 )(),(11111xtPtxF1111111),(),(xtxFtxfCH3随机过程随机过程18第第3章章 随机过程随机过程n随机过程 (t) 的二维分布函数：n随机过程 (t)的二维概率密度函数：若上式中的偏导存在的话。 n随机过程 (t) 的n维分布函数：n随机过程 (

10、t) 的n维概率密度函数：221121212)(,)() ,;,(xtxtPttxxF2121212221212),;,(),;,(xxttxxFttxxfnnnnnxtxtxtPtttxxxF)(,)(,)(),;,(22112121n21n21n21nnn21n21nx)tx()tx(xxttxxFttxxf，；，；，CH3随机过程随机过程19我国的降雨量分布图就是典型的二维密度函数的例子CH3随机过程随机过程20第第3章章 随机过程随机过程n3.1.2 随机过程的数字特征随机过程的数字特征n均值（数学期望）：在任意给定时刻t1的取值 (t1)是一个随机变量，其均值式中 f (x1, t1

11、) (t1)的概率密度函数由于t1是任取的，所以可以把 t1 直接写为t， x1改为x，这样上式就变为dxtxxftE),()(1111111),()(dxtxfxtECH3随机过程随机过程21第第3章章 随机过程随机过程 (t)的均值是时间的确定函数，常记作a ( t )，它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心 :dxtxxftE),()(1a (t )CH3随机过程随机过程22第第3章章 随机过程随机过程n方差方差常记为 2( t )。这里也把任意时刻t1直接写成了t 。因为所以，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随机过程在时刻 t 对于均值a ( t )的偏离程度。2)()()(t

12、atEtD )()()(2)(2222222tatEtatEtatEtattatEtD212)(),(tadxtxfx均方值均值平方CH3随机过程随机过程23第第3章章 随机过程随机过程n相关函数式中， (t1)和 (t2)分别是在t1和t2时刻观测得到的随机变量。可以看出，R(t1, t2)是两个变量t1和t2的确定函数。n协方差函数式中 a ( t1 ) a ( t2 ) 在t1和t2时刻得到的 (t)的均值 f2 (x1, x2; t1, t2) (t)的二维概率密度函数。 2121212212121),;,()()(),(dxdxttxxfxxttEttR 21212122211221

13、121),;,()()( )()()()(),(dxdxttxxftaxtaxtattatEttB CH3随机过程随机过程24第第3章章 随机过程随机过程n相关函数和协方差函数之间的关系相关函数和协方差函数之间的关系若若a(t1) = a(t2)，则，则B(t1, t2) = R(t1, t2)n互相关函数互相关函数式中式中 (t)和和 (t)分别表示两个随机过程。分别表示两个随机过程。因此，因此，R(t1, t2)又称为自相关函数。又称为自相关函数。 )()(),(),(212121tatattRttB)()(),(2121ttEttRCH3随机过程随机过程25n例3.1 设随机过程 可表示

14、成n ，式中 是一个离散随机变量， 且 n ，试求 及 。( ) t( )2cos(2)tt(0)1/2P(/2)1/2P(1)E(0,1)ECH3随机过程随机过程26n解：在t=1时， 的数学期望n在 ， 时 的自相关函数( ) t10t 21t ( ) t10/2(1)2cos(2)|(0) 2cos(2)|(/2) 2cos(2)|1tEEtPP 12120,1(0,1)2cos(2) 2cos(2)|ttREtt2cos2cos(2)E220/2(0) 4cos|(/2) 4cos|PP 2CH3随机过程随机过程27n例3.2 设随机过程n其中A为高斯随机变量，b为常数，且A的一维概率

15、密度函数n求X(t)的均值和方差。n解：由( ),0X tAtbt2(1) /21( )2xAfxe2(1) /21( )2xAfxeCH3随机过程随机过程28n得出随机变量A的均值为1，方差为1，即E(A)=1，D(A)=1。n因为 ，所以n同理，( )X tAtb( )E X tE Atbtb 2( )D X tD AtbtCH3随机过程随机过程29第第3章章 随机过程随机过程n3.2 平稳随机过程平稳随机过程n3.2.1 平稳随机过程的定义平稳随机过程的定义n定义：定义：若一个随机过程若一个随机过程 (t)的任意有限维分布函数与时间起的任意有限维分布函数与时间起点无关，也就是说，对于任意

16、的正整数点无关，也就是说，对于任意的正整数n和所有实数和所有实数 ，有有则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称 严平稳随机过程严平稳随机过程。),(),(21212121nnnnnntttxxxftttxxxf；CH3随机过程随机过程30第第3章章 随机过程随机过程n性质：性质：该定义表明，平稳随机过程的统计特性不随时间该定义表明，平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变，即它的一维分布函数与时间的推移而改变，即它的一维分布函数与时间t无关：无关：而二维分布函数只与时间间隔而二维分布函数只与时间间隔 = t2 t1有关：有关：数字特征

17、：数字特征：可见，（可见，（1）其均值与）其均值与t无关，为常数无关，为常数a； （2）自相关函数只与时间间隔）自相关函数只与时间间隔 有关。有关。)(),(11111xftxf);,(),;,(21221212xxfttxxfadxxfxtE1111)()()();,()()(),(21212211121RdxdxxxfxxttEttR CH3随机过程随机过程31第第3章章 随机过程随机过程n数字特征：数字特征：n可见，（可见，（1）其均值与）其均值与t 无关，为常数无关，为常数a ； （2）自相关函数只与时间间隔）自相关函数只与时间间隔 有关。有关。把同时满足（把同时满足（1）和（）和（2

18、）的过程定义为）的过程定义为 广义平稳随机过程广义平稳随机过程。显然，严平稳随机过程必定。显然，严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成立。是广义平稳的，反之不一定成立。 在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。因此，研究平稳随机过可视为平稳的随机过程。因此，研究平稳随机过程有着很大的实际意义。程有着很大的实际意义。 adxxfxtE1111)()()();,()()(),(21212211121RdxdxxxfxxttEttR CH3随机过程随机过程32第第3章章 随机过程随机过程n3.2.2 各态历经性各态历经性n问题的提出：我

19、们知道，随机过程的数字特征（均问题的提出：我们知道，随机过程的数字特征（均值、相关函数）是对随机过程的所有样本函数的统值、相关函数）是对随机过程的所有样本函数的统计平均，但在实际中常常很难测得大量的样本，这计平均，但在实际中常常很难测得大量的样本，这样，我们自然会提出这样一个问题：能否从一次试样，我们自然会提出这样一个问题：能否从一次试验而得到的一个样本函数验而得到的一个样本函数x(t)来决定平稳过程的数来决定平稳过程的数字特征呢字特征呢?n回答是肯定的。平稳过程在满足一定的条件下具有回答是肯定的。平稳过程在满足一定的条件下具有一个有趣而又非常有用的特性，称为一个有趣而又非常有用的特性，称为“

20、各态历经性各态历经性”（又称（又称“遍历性遍历性”）。具有各态历经性的过程，其）。具有各态历经性的过程，其数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的时间平均值来代替。任一实现的时间平均值来代替。 n下面，我们来讨论各态历经性的条件。下面，我们来讨论各态历经性的条件。CH3随机过程随机过程33第第3章章 随机过程随机过程n各态历经性条件各态历经性条件设：设：x(t)是平稳过程是平稳过程 (t)的任意一次实现（样本），的任意一次实现（样本），则其时间均值和时间相关函数分别定义为：则其时间均值和时间相关函数分别定义为： 如果平稳过程使下式成立如

21、果平稳过程使下式成立则称该平稳过程具有各态历经性。则称该平稳过程具有各态历经性。2/2/2/2/)()(1lim)()()()(1lim)(TTTTTTdttxtxTtxtxRdttxTtxa)()(RRaaCH3随机过程随机过程34第第3章章 随机过程随机过程n“各态历经各态历经”的含义是：随机过程中的任一次实现都的含义是：随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此，在求解各经历了随机过程的所有可能状态。因此，在求解各种统计平均（均值或自相关函数等）时，无需作无种统计平均（均值或自相关函数等）时，无需作无限多次的考察，只要获得一次考察，用一次实现的限多次的考察，只要获得一次考

22、察，用一次实现的“时间平均时间平均”值代替过程的值代替过程的“统计平均统计平均”值即可，值即可，从而使测量和计算的问题大为简化。从而使测量和计算的问题大为简化。n具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一定成立。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。一般均能满足各态历经条件。CH3随机过程随机过程35第第3章章 随机过程随机过程n 例例3-3 设一个随机相位的正弦波为设一个随机相位的正弦波为其中，其中，A和和 c均为常数；均为常数； 是在是在(0, 2)内均匀分布内均匀分布的随

23、机变量。试讨论的随机变量。试讨论 (t)是否具有各态历经性。是否具有各态历经性。【解解】(1)先求先求 (t)的统计平均值：的统计平均值：数学期望数学期望)cos()(tAtc2021)cos()()(dtAtEtac20)sinsincos(cos2dttAcc0sinsincoscos22020dtdtAccCH3随机过程随机过程36第第3章章 随机过程随机过程自相关函数自相关函数令令t2 t1 = ，得到，得到可见，可见， (t)的数学期望为常数，而自相关函数与的数学期望为常数，而自相关函数与t 无关，只与时间间隔无关，只与时间间隔 有关，所以有关，所以 (t)是广义是广义平稳过程。平稳

24、过程。0)(cos2212)(cos2)(cos22)(cos)(cos2)cos()cos()()(),(1222012212212122212121ttAdttAttAttttEAtAtAEttEttRccccccc)(cos2),(221RAttRcCH3随机过程随机过程37第第3章章 随机过程随机过程 (2) 求求 (t)的时间平均值的时间平均值比较统计平均与时间平均，有比较统计平均与时间平均，有因此，随机相位余弦波是各态历经的。因此，随机相位余弦波是各态历经的。220)cos(1limTTcTdttATa22)(cos)cos(1lim)(TTccTdttAtATR22222)22c

25、os(cos2limTTTTcccTdttdtTAcAcos22)()(,RRaaCH3随机过程随机过程38第第3章章 随机过程随机过程n3.2.3 平稳过程的自相关函数平稳过程的自相关函数n平稳过程自相关函数的定义：同前平稳过程自相关函数的定义：同前n平稳过程自相关函数的性质平稳过程自相关函数的性质n (t)的平均功率的平均功率n 的偶函数的偶函数n R( )的上界的上界即自相关函数即自相关函数R( )在在 = 0有最大值。有最大值。n (t)的直流功率的直流功率n表示平稳过程表示平稳过程 (t)的交流功率。当均值为的交流功率。当均值为0时，时，n有有 R(0) = 2 。 )()0(2tE

26、R)()( RR)0()(RR22a)()(tER2)()0( RRCH3随机过程随机过程39第第3章章 随机过程随机过程n3.2.4 平稳过程的功率谱密度平稳过程的功率谱密度n定义：定义：n对于任意的确定功率信号对于任意的确定功率信号f (t)，它的功率谱密度定义为，它的功率谱密度定义为式中，式中，FT ( f )是是f (t)的截短函数的截短函数fT (t) 所对应的频谱函数所对应的频谱函数TfFmi lfPTTf2)()(CH3随机过程随机过程40第第3章章 随机过程随机过程n对于平稳随机过程对于平稳随机过程 (t) ，可以把，可以把f (t)当作是当作是 (t)的的一个样本；某一样本的

27、功率谱密度不能作为过程的一个样本；某一样本的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。过程的功率谱密度应看作是对所有样功率谱密度。过程的功率谱密度应看作是对所有样本的功率谱的统计平均，故本的功率谱的统计平均，故 (t)的功率谱密度可以的功率谱密度可以定义为定义为TfFEmi lfPEfPTTf2)()()(CH3随机过程随机过程41第第3章章 随机过程随机过程n功率谱密度的计算功率谱密度的计算n维纳维纳-辛钦关系辛钦关系 非周期的功率型确知信号的自相关函数与其功非周期的功率型确知信号的自相关函数与其功率谱密度是一对傅里叶变换。这种关系对平稳随机率谱密度是一对傅里叶变换。这种关系对平稳随机过程同样成立

28、，即有过程同样成立，即有简记为简记为以上关系称为维纳以上关系称为维纳-辛钦关系。它在平稳随机过程的辛钦关系。它在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工具，它是联系频理论和应用中是一个非常重要的工具，它是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式。域和时域两种分析方法的基本关系式。dePRdeRPjj)(21)()()()()(fPRCH3随机过程随机过程42第第3章章 随机过程随机过程n在维纳在维纳-辛钦关系的基础上，我们可以得到以下结论：辛钦关系的基础上，我们可以得到以下结论：n对功率谱密度进行积分，可得平稳过程的总功率：对功率谱密度进行积分，可得平稳过程的总功率：上式从频域的角度给出了过

29、程平均功率的计算法。上式从频域的角度给出了过程平均功率的计算法。n各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度。也就是说，每一样本函数的谱特性都的功率谱密度。也就是说，每一样本函数的谱特性都能很好地表现整个过程的的谱特性。能很好地表现整个过程的的谱特性。【证证】因为各态历经过程的自相关函数等于任一样本因为各态历经过程的自相关函数等于任一样本的自相关函数，即的自相关函数，即 两边取傅里叶变换：两边取傅里叶变换：即即式中式中 dffPR)()0()()(RR )()(RRFF)()(fPfPf)()(fPR )(RfPfCH3随机过程随机

30、过程43第第3章章 随机过程随机过程n功率谱密度功率谱密度P ( f )具有非负性和实偶性，具有非负性和实偶性，即有即有和和这与这与R( )的实偶性相对应。的实偶性相对应。 0)(fP)()(fPfPCH3随机过程随机过程44第第3章章 随机过程随机过程n例例3-4 求随机相位余弦波求随机相位余弦波 (t) = Acos( ct + )的自相关函数的自相关函数和功率谱密度。和功率谱密度。【解解】在在例例3-3中，我们已经考察随机相位余弦波是一个平稳中，我们已经考察随机相位余弦波是一个平稳过程，并且求出其相关函数为过程，并且求出其相关函数为因为平稳随机过程的相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换，

31、因为平稳随机过程的相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换，即有即有 以及由于有以及由于有所以，功率谱密度为所以，功率谱密度为平均功率为平均功率为 cARcos2)(2)()(PR)()(cosccc)()(2)(2ccAP2)(21)0(2AdPRSCH3随机过程随机过程45n例3-5：某平稳随机过程平稳随机过程自相关函数为R（ ），求功率谱密度。n解：dteRptj)()(tsR其它,02,2)(222dtetj2212tjejjeejj242228 SaCH3随机过程随机过程46CH3随机过程随机过程47n例3.6 设一平稳随机过程X(t)的自相关函数为 ，求其均值和方差。n解：由自相关函数

32、的性质可得：n n 所以均值为：n 方差为：24( )251XR24(0)( )252910RE Xt2( )t)25REX （(t)5E X 2(0)( )29524RR CH3随机过程随机过程48第第3章章 随机过程随机过程n 3.3 高斯随机过程（正态随机过程）高斯随机过程（正态随机过程）n3.3.1 定义定义n如果随机过程如果随机过程 (t)的任意的任意n维（维（n =1,2,.）分布均服从正）分布均服从正态分布，则称它为正态过程或高斯过程。态分布，则称它为正态过程或高斯过程。n n维正态概率密度函数表示式为：维正态概率密度函数表示式为：式中式中 njnkkkkjjjjknnnnnax

33、axBBBtttxxxf112/1212/2121)(21exp.)2(1),.,.,(；22)(),(kkkkkatEtEaCH3随机过程随机过程49第第3章章 随机过程随机过程式中 |B| 归一化协方差矩阵的行列式，即 |B|jk 行列式|B|中元素bjk的代数余因子 bjk 为归一化协方差函数，即 11121221112nnnnbbbbbbB kjkkjjjkatatEb)()(CH3随机过程随机过程50第第3章章 随机过程随机过程n 3.3.2 重要性质重要性质n由高斯过程的定义式可以看出由高斯过程的定义式可以看出,高斯过程的高斯过程的n维分布只依赖维分布只依赖各个随机变量的均值、方差

34、和归一化协方差。因此，对于各个随机变量的均值、方差和归一化协方差。因此，对于高斯过程，只需要研究它的数字特征就可以了。高斯过程，只需要研究它的数字特征就可以了。n广义平稳的高斯过程也是严平稳的。因为，若高斯过程是广义平稳的高斯过程也是严平稳的。因为，若高斯过程是广义平稳的，即其均值与时间无关，协方差函数只与时间广义平稳的，即其均值与时间无关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，则它的间隔有关，而与时间起点无关，则它的n维分布也与时间维分布也与时间起点无关，故它也是严平稳的。所以，高斯过程若是广义起点无关，故它也是严平稳的。所以，高斯过程若是广义平稳的，则也严平稳。平稳的，则也严平稳。

35、CH3随机过程随机过程51第第3章章 随机过程随机过程n如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，即对所有即对所有j k，有，有bjk =0，则其概率密度可以简化为，则其概率密度可以简化为这表明，如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关这表明，如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，那么它们也是统计独立的。的，那么它们也是统计独立的。n高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程。也高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程。也可以说，若线性系统的输入为高斯过程，则系统输出也可以说，若线性系统的输入为高斯过程，则系统输出也是高斯过程。是高斯过程。),.,;,

36、.,(2121nnntttxxxfnax1k2k2kkk2)(exp21),(),(),(2211nntxftxftxfCH3随机过程随机过程52第第3章章 随机过程随机过程n 3.3.3 高斯随机变量高斯随机变量n定义：高斯过程在任一时刻上的取值是一个正态分布的定义：高斯过程在任一时刻上的取值是一个正态分布的随机变量，也称高斯随机变量，其一维概率密度函数为随机变量，也称高斯随机变量，其一维概率密度函数为式中式中a 均值均值 2 方差方差曲线如右图：曲线如右图：221()( )exp22xaf xCH3随机过程随机过程53第第3章章 随机过程随机过程n性质nf (x)对称于直线对称于直线 x

37、= a，即，即n na表示分布中心，表示分布中心， 称为标准偏差，表示集中程度，图形称为标准偏差，表示集中程度，图形将随着将随着 的减小而变高和变窄。当的减小而变高和变窄。当a = 0和和 = 1时，称为时，称为标准化的正态分布：标准化的正态分布：xafxaf1)(dxxfaadxxfdxxf21)()(21( )exp22xf xCH3随机过程随机过程54第第3章章 随机过程随机过程n正态分布函数正态分布函数这个积分的值无法用闭合形式计算，通常利用其他特殊函数，这个积分的值无法用闭合形式计算，通常利用其他特殊函数，用查表的方法求出：用查表的方法求出：n用误差函数表示正态分布函数：令用误差函数

38、表示正态分布函数：令 则有则有 及及 式中式中 误差函数，可以查表求出其值。误差函数，可以查表求出其值。221()( )()exp22xzaF xPxdz2/ )(aztdtdz22() /2( )22121122xatF xedtxaerf202( )xterf xedtCH3随机过程随机过程55第第3章章 随机过程随机过程n用互补误差函数用互补误差函数erfc(x)表示正态分布函数：表示正态分布函数：式中式中当当x 2时，时，2211)(axerfcxF22( )1( )txerfc xerf xedt21()xerfc xexCH3随机过程随机过程56第第3章章 随机过程随机过程n用用Q

39、函数表示正态分布函数：函数表示正态分布函数：nQ函数定义：函数定义：nQ函数和函数和erfc函数的关系：函数的关系：nQ函数和分布函数函数和分布函数F(x)的关系：的关系：nQn函数值也可以从查表得到。函数值也可以从查表得到。2/ 21( )2txQ xedt221)(xerfcxQ)2(2)(xQxerfcaxQaxerfcxF12211)(CH3随机过程随机过程57第第3章章 随机过程随机过程n3.4 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统n确知信号通过线性系统（复习） ：式中 vi 输入信号， vo 输出信号对应的傅里叶变换关系：n随机信号通过线性系统：n假设：i(t) 是平稳

40、的输入随机过程， a 均值， Ri() 自相关函数， Pi() 功率谱密度；求输出过程o(t)的统计特性，即它的均值、自相关函数、功率谱以及概率分布。dtvhtvthtvii)()()()()(0)f ()f ()f (0iVHVdthti)()()(0CH3随机过程随机过程58第第3章章 随机过程随机过程n输出过程输出过程 o(t)的均值的均值 对下式两边取统计平均：对下式两边取统计平均：得到得到设输入过程是平稳的设输入过程是平稳的 ，则有，则有 式中，式中，H(0)是线性系统在是线性系统在 f = 0处的频率响应，因此处的频率响应，因此输出过程的均值是一个常数。输出过程的均值是一个常数。d

41、thti)()()(0dtEhdthEtEii)()()()()(0atEtEii)()()0()()(0HadhatECH3随机过程随机过程59第第3章章 随机过程随机过程n输出过程输出过程 o(t)的自相关函数：的自相关函数：根据自相关函数的定义根据自相关函数的定义根据输入过程的平稳性，有根据输入过程的平稳性，有于是于是 上式表明上式表明,输出过程的自相关函数仅是时间间隔输出过程的自相关函数仅是时间间隔 的函数。的函数。 由上两式可知，若线性系统的输入是平稳的，则输出也是由上两式可知，若线性系统的输入是平稳的，则输出也是平稳的。平稳的。 ddttEhhdthdthEttEttRiiii)(

42、)()()()()()()()()(),(11111010110 )()()(11iiiRttE)()()()(),(0110RddRhhttRi CH3随机过程随机过程60第第3章章 随机过程随机过程n输出过程输出过程 o(t)的功率谱密度的功率谱密度对下式进行傅里叶变换：对下式进行傅里叶变换：得出得出令令 = + - ，代入上式，得到，代入上式，得到即即结论：输出过程的功率谱密度是输入过程的功率谱密结论：输出过程的功率谱密度是输入过程的功率谱密度乘以系统频率响应模值的平方。度乘以系统频率响应模值的平方。应用：由应用：由Po( f )的反傅里叶变换求的反傅里叶变换求Ro( ) )()()()

43、(),(0110RddRhhttRi deRfPj)()(00deddRhhji)()()( 0)()()()(deRdehdehfPjijj)()()()()()(20fPfHfPfHfHfPiiCH3随机过程随机过程61第第3章章 随机过程随机过程n输出过程o(t)的概率分布n如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。高斯型的。 因为从积分原理看，因为从积分原理看， 可以表示为：可以表示为： 由于已假设由于已假设 i(t)是高斯型的，所以上式右端的每一项在任是高斯型的，所以上式右端的每一项在任一时刻上都是一个高斯随

44、机变量。因此，输出过程在任一时刻一时刻上都是一个高斯随机变量。因此，输出过程在任一时刻上得到的随机变量就是无限多个高斯随机变量之和。由概率论上得到的随机变量就是无限多个高斯随机变量之和。由概率论理论得知，这个理论得知，这个“和和” 也是高斯随机变量，因而输出过程也也是高斯随机变量，因而输出过程也为高斯过程。为高斯过程。注意，与输入高斯过程相比，输出过程的数字特征已经改变注意，与输入高斯过程相比，输出过程的数字特征已经改变了。了。kkkkihttk)()(lim)(000dthti)()()(0CH3随机过程随机过程62n 例例3.7 3.7 均值为均值为0 0，自相关函数为，自相关函数为 的高

45、的高斯噪声斯噪声X(t)X(t)，通过传输特性为，通过传输特性为 （A A、B B为常数）的线性网络，试求：为常数）的线性网络，试求：n（1 1）输入噪声的一维概率密度函数；）输入噪声的一维概率密度函数；n（2 2）输出噪声的一维概率密度函数；）输出噪声的一维概率密度函数；n（3 3）输出噪声功率；）输出噪声功率；e( )( )Y tABX tCH3随机过程随机过程63n解：n（1）输入过程X(t)均值为0，n所以是宽平稳随机过程，它的总平均功率，即方差 ，所以可以直接写出输入噪声的一维概率密度函数为:( )xRe22( )(0)( )1xD X tRE Xt2/21( )2xxfxeCH3随

46、机过程随机过程64n（2）经过 的线性网络，由于高斯过程通过线性系统后的过程仍然是高斯过程。则n n其中，均值 n n方差( )( )Y tABX t22() /21( )2yyy ayyfye ( )( )yaE Y tE BX tAA222 ( )( )( )yD Y tD ABX tB D X tBCH3随机过程随机过程65n这样 n n（3）输出功率为 n 22() /21( )2yAByfyeB2222( ) ( )YySE YtD Y taABCH3随机过程随机过程66随机过程通过乘法器 n在通信系统中，经常进行乘法运算，所以乘法器在通信系统中应用非常广泛，下面我们计算平稳随机过程

47、通过乘法器后，输出过程的功率谱密度。n 思考：平稳随机过程通过思考：平稳随机过程通过乘法器后，输出过程是否乘法器后，输出过程是否仍是平稳随机过程呢？仍是平稳随机过程呢？CH3随机过程随机过程67图图3-103-10平稳随机过程通过乘法器平稳随机过程通过乘法器CH3随机过程随机过程68n设一平稳随机过程 和正弦波信号 同时通过乘法器，则其输出响应为n n首先计算输出过程的自相关函数。由自相关函数的定义得n n ( )it0cost00( )( )cositttCH3随机过程随机过程6900000000000000( ,)( )()( ) ()coscos( ) ()cos()cos(2)2( )

48、cos()cos(2)2( )( )cos()cos(2)22iiiiiiiR t tEttEttttEtttRtRRt CH3随机过程随机过程70n上式中，上式中， 是输入平是输入平稳随机过程的自相关函数，它只与时间间稳随机过程的自相关函数，它只与时间间隔隔 有关。而有关。而 是时间是时间t t的函数，的函数，故乘法器的输出过程不是平稳随机过程。故乘法器的输出过程不是平稳随机过程。( )( ) ()iiiREtt0( ,)R t t00( )( )cositttCH3随机过程随机过程71第第3章章 随机过程随机过程n3.5 窄带随机过程窄带随机过程 n什么是窄带随机过程？ 若随机过程(t)的

49、谱密度集中在中心频率fc附近相对窄的频带范围f 内，即满足f fc的条件，且 fc 远离零频率，则称该(t)为窄带随机过程。 CH3随机过程随机过程72第第3章章 随机过程随机过程n典型的窄带随机过程的谱密度和样本函数 CH3随机过程随机过程73第第3章章 随机过程随机过程n窄带随机过程的表示式窄带随机过程的表示式式中，式中，a (t) 随机包络，随机包络， (t) 随机相位随机相位 c 中心角频率中心角频率显然，显然， a (t)和和 (t)的变化相对于载波的变化相对于载波cos ct的的变化要缓慢得多。变化要缓慢得多。0)(,)(cos)()(tatttatcCH3随机过程随机过程74第第

50、3章章 随机过程随机过程n窄带随机过程表示式展开窄带随机过程表示式展开可以展开为可以展开为式中式中 (t)的的同相分量同相分量 (t)的的正交分量正交分量可以看出：可以看出： (t)的统计特性由的统计特性由a (t)和和 (t)或或 c(t)和和 s(t)的统计特的统计特性确定。若性确定。若 (t)的统计特性已知，则的统计特性已知，则a (t)和和 (t)或或 c(t)和和 s(t)的统计特性也随之确定。的统计特性也随之确定。 0)(,)(cos)()(tatttatctttttcsccsin)(cos)()()(cos)()(ttatc)(sin)()(ttatsCH3随机过程随机过程75第

51、第3章章 随机过程随机过程n3.5.1 c(t)和和 s(t)的统计特性的统计特性n数学期望：对下式求数学期望：数学期望：对下式求数学期望：得到得到 因为因为 (t)平稳且均值为零，故对于任意的平稳且均值为零，故对于任意的时间时间t，都有，都有E (t) = 0 ，所以，所以 tttttcsccsin)(cos)()(ttEttEtcsccsin)(cos)()(E0)(0)(tEtEsc，CH3随机过程随机过程76第第3章章 随机过程随机过程n(t)的自相关函数：的自相关函数：由自相关函数的定义式由自相关函数的定义式式中式中因为因为 (t)是平稳的，故有是平稳的，故有这就要求上式的右端与时间

52、这就要求上式的右端与时间t无关，而仅与无关，而仅与 有关。有关。 因此，若令因此，若令 t = 0，上式仍应成立，它变为，上式仍应成立，它变为)()(),(ttEttR)(sinsin),()(cossin),()(sincos),()(coscos),(ttttRttttRttttRttttRccsccsccccsccc)()(),()()(),()()(),()()(),(ttEttRttEttRttEttRttEttRssscsscsccsccc)(),(RttRccsccttRttRRsin),(cos),()(CH3随机过程随机过程77第第3章章 随机过程随机过程因与时间因与时间t无

53、关，以下二式自然成立无关，以下二式自然成立所以，上式变为所以，上式变为再令再令 t = /2 c，同理可以求得，同理可以求得由以上分析可知，由以上分析可知，若窄带过程若窄带过程 (t)是平稳的，则是平稳的，则 c(t)和和 s(t)也必然是平稳的。也必然是平稳的。ccsccttRttRRsin),(cos),()()(),()(),(cscsccRttRRttRccsccRRRsin)(cos)()(csccsRRRsin)(cos)()(CH3随机过程随机过程78第第3章章 随机过程随机过程n进一步分析，下两式进一步分析，下两式应同时成立，故有应同时成立，故有上式表明，上式表明，同相分量同相

54、分量 c(t) 和正交分量和正交分量 s(t)具有相同的自相具有相同的自相关函数。关函数。根据互相关函数的性质，应有根据互相关函数的性质，应有代入上式，得到代入上式，得到上式表明上式表明Rsc( )是是 的奇函数，所以的奇函数，所以同理可证同理可证 ccsccRRRsin)(cos)()(csccsRRRsin)(cos)()()()(scRR)()(sccsRR)()(sccsRR)()(scscRR0)0(scR0)0(csRCH3随机过程随机过程79第第3章章 随机过程随机过程将将代入下两式代入下两式得到得到即即上式表明上式表明 (t) 、 c(t)和和 s(t)具有相同的平均功率或具有

55、相同的平均功率或方差。方差。 csccsRRRsin)(cos)()(ccsccRRRsin)(cos)()(0)0(scR0)0(csR)0()0()0(scRRR222scCH3随机过程随机过程80第第3章章 随机过程随机过程n根据平稳性，过程的特性与变量根据平稳性，过程的特性与变量t无关，故由式无关，故由式 得到得到因为因为 (t)是高斯过程是高斯过程，所以，所以， c(t1)， s(t2)一定是一定是高斯随机变量，从而高斯随机变量，从而 c(t) 、 s(t)也是高斯过程也是高斯过程。n根据根据可知，可知， c(t) 与与 s(t)在在 = 0处互不相关，又由于它处互不相关，又由于它们

56、是高斯型的，因此们是高斯型的，因此 c(t) 与与 s(t)也是统计独立的也是统计独立的。 tttttcsccsin)(cos)()()()(,0111ttttc时)()(,2222ttttsc时0)0(csRCH3随机过程随机过程81第第3章章 随机过程随机过程n结论：一个均值为零的窄带平稳高斯过程结论：一个均值为零的窄带平稳高斯过程 (t) ，它的同相分量它的同相分量 c(t)和正交分量和正交分量 s(t)同样是平稳高同样是平稳高斯过程，而且均值为零，方差也相同。此外，在斯过程，而且均值为零，方差也相同。此外，在同一时刻上得到的同一时刻上得到的 c和和 s是互不相关的或统计独是互不相关的或

57、统计独立的。立的。CH3随机过程随机过程82第第3章章 随机过程随机过程n3.5.2 a (t)和和 (t)的统计特性的统计特性n联合概率密度函数 f (a , )根据概率论知识有由可以求得),()(),(),(,afafscscsincosaasc),()(,ascscscaaaaacossinsincos2exp21)()(),(2222scscscfffCH3随机过程随机过程83第第3章章 随机过程随机过程于是有于是有式中式中a 0, = (0 2)2)sin()cos(exp2),(),(222aaafaafsc2222exp2aaCH3随机过程随机过程84第第3章章 随机过程随机过程

58、na的一维概率密度函数可见， a服从瑞利(Rayleigh)分布。202222exp2),()(daadafaf02exp222aaaCH3随机过程随机过程85第第3章章 随机过程随机过程 n的一维概率密度函数可见， 服从均匀分布。20212exp21),()(02220daaadaaffCH3随机过程随机过程86第第3章章 随机过程随机过程n结论结论一个均值为零，方差为一个均值为零，方差为 2的窄带平稳高斯过程的窄带平稳高斯过程 (t)，其包络，其包络a (t)的一维分布是瑞利分布，相的一维分布是瑞利分布，相位位 (t)的一维分布是均匀分布，并且就一维分的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而

59、言，布而言， a (t)与与 (t)是统计独立的是统计独立的 ，即有，即有 )()(),(fafafCH3随机过程随机过程87第第3章章 随机过程随机过程 n3.6 正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声n正弦波加窄带高斯噪声的表示式正弦波加窄带高斯噪声的表示式式中式中 窄带高斯噪声窄带高斯噪声 正弦波的随机相位，均匀分布在正弦波的随机相位，均匀分布在0 2 间间 A和和 c 确知振幅和角频率确知振幅和角频率于是有于是有式中式中)()cos()(tntAtrcttnttntncsccsin)(cos)()()(cos)(sin)(cos)(sin)(sincos)(cos)(tttzttzt

60、tzttnAttnAtrccScccscc)(cos)(tnAtzcc)(sin)(tnAtzssCH3随机过程随机过程88第第3章章 随机过程随机过程n正弦波加窄带高斯噪声的包络和相位表示式包络：相位：0,)()()(22ztztztzsc)20(,)()()(1tztztgtcsCH3随机过程随机过程89第第3章章 随机过程随机过程n正弦波加窄带高斯噪声的包络的统计特性正弦波加窄带高斯噪声的包络的统计特性n包络的概率密度函数包络的概率密度函数 f (z)利用上一节的结果，如果利用上一节的结果，如果 值已给定，则值已给定，则zc、zs是相互独立的是相互独立的高斯随机变量，且有高斯随机变量，且