第十一章非参数检验

1、l假设检验的方法有两种：假设检验的方法有两种：（parametric test）和和（non parametric test）。l各种各种参数检验参数检验的的共同特点共同特点：l是对是对总体参数总体参数的推论的推论(包括参数估计与假设检验包括参数估计与假设检验)，要求样本所属的总体呈要求样本所属的总体呈正态分布、总体方差齐性正态分布、总体方差齐性等等。等等。主要适用于主要适用于变量和变量和变量的资料。变量的资料。l非参数检验非参数检验: :l不要求不要求样本所属的总体呈正态分布，样本所属的总体呈正态分布，一般也一般也不不是是对对总体参数总体参数进行检验。进行检验。l非参数检验不仅适用于非参数检

2、验不仅适用于非非正态总体正态总体名义变量名义变量和和次序变量次序变量的资料，而且也适用于正态总体的资料，而且也适用于正态总体等距等距变量变量和和比率变量比率变量的资料。的资料。 非参数检验的特点非参数检验的特点1一般一般不需要不需要严格的前提假设。严格的前提假设。2非参数检验特别适用于非参数检验特别适用于顺序资料顺序资料或或等级变量等级变量。3非参数检验适用于非参数检验适用于小样本小样本，且方法简单。，且方法简单。4非参数检验最大的不足是非参数检验最大的不足是未能充分利用资料未能充分利用资料 的全部信息的全部信息,检验精度比参数检验要差检验精度比参数检验要差。5非参数方法目前还不能处理非参数方

3、法目前还不能处理“交互作用交互作用”。 非参数假设检验方法非参数假设检验方法l两两独立独立样本均值差异的非参数检验样本均值差异的非参数检验l秩和检验法秩和检验法 (Mann-Whitney-U检验检验)l两两相关相关样本均值差异的非参数检验样本均值差异的非参数检验l符号检验法符号检验法l符号秩和检验法符号秩和检验法（ Wilcoxon SignedRank test ）l等级方差分析等级方差分析l克克-瓦氏单向方差分析瓦氏单向方差分析（完全随机设计方差分析）（完全随机设计方差分析）lFriedman test（重复测量设计方差分析）（重复测量设计方差分析）一、两一、两独立独立样本的非参数检验样

4、本的非参数检验 秩和检验（ Mann-Whitney-U检验检验）l最早是由最早是由Wilcox提出，后经提出，后经Mann-Whitney加以完善。加以完善。l适合于适合于相互独立的两个样本相互独立的两个样本在在总体分布不服从正态分布总体分布不服从正态分布的前提下，比较其平均值是否存在显著差异的问题（对的前提下，比较其平均值是否存在显著差异的问题（对应于应于独立样本独立样本T检验检验）。）。例：从某班随机抽取5名走读生和6名住校生，测得英语口语成绩见下表。问走读生与住校生英语口语成绩是否有显著差异？ 走读生与住校生英语口语测验成绩走读生走读生4238354132住校生住校生561960433

5、855基本思想基本思想l假设两组数据假设两组数据没有没有显著性差异，显著性差异，l那把这些数据那把这些数据充分混合充分混合l再依再依大小顺序大小顺序重新排列，重新排列，l则这两组数据中哪个数据排在第几的概率应该是则这两组数据中哪个数据排在第几的概率应该是一样的。一样的。l如果如果相差太大相差太大则应则应否定否定没有显著差异的没有显著差异的假设假设。 n1 和和n2都小于都小于10，且，且n1n2 时，将两个样时，将两个样本的数据合在一起本的数据合在一起编秩次编秩次（从小到大从小到大赋予等赋予等级），计算级），计算容量小容量小的样本的的样本的秩次和秩次和T（等级和）（等级和）。 走读生与住校生英

6、语口语测验成绩走读生走读生4238354132住校生住校生561960433855 学生英语口语测验成绩秩和检验计算表原始原始分数分数走读生走读生4238354132住校生住校生561960433855等级等级分数分数走读生走读生74.5362住校生住校生1011184.5922.5 检验步骤检验步骤 提出假设提出假设 编秩次编秩次（将两样本数据混合在一起）（将两样本数据混合在一起） 求秩和求秩和（求容量较小的样本的秩次和，并表（求容量较小的样本的秩次和，并表示为示为） 查秩和检验表查秩和检验表14，做出统计决断：，做出统计决断： 秩和检验统计决断规则秩和检验统计决断规则T与两侧临界值比较与两

7、侧临界值比较 显著性显著性 T1 2 不显著不显著 1或或 2显显 著著22.5 例：从某班随机抽取5名走读生和6名住校生，测得英语口语成绩见下表。问走读生与住校生英语口语成绩是否有显著差异？ 走读生与住校生英语口语测验成绩走读生走读生4238354132住校生住校生561960433855 学生英语口语测验成绩秩和检验计算表原始原始分数分数走读生走读生4238354132住校生住校生561960433855等级等级分数分数走读生走读生74.5362住校生住校生1011184.5922.5 根据根据n15，n26查表查表当显著性水平为当显著性水平为0.05(双侧双侧)时，时，119 ，T241

8、差异差异不显著不显著。2 2大样本情况大样本情况 当当n1和和n2都大于都大于10，秩和，秩和T的分布接近于正的分布接近于正态分布，其平均数和标准差分别为：态分布，其平均数和标准差分别为： 21211nnnT1212121nnnnTn1n2检验统计量计算为检验统计量计算为TTTZ1212/12121211nnnnnnnT小结小结l秩和检验法秩和检验法（Mann-Whitney-U检验），针对检验），针对的是的是两独立样本。两独立样本。l如果样本的数据不能满足参数检验中独立样本如果样本的数据不能满足参数检验中独立样本t检验的要求（正态总体，方差未知），可以检验的要求（正态总体，方差未知），可以用

9、这种方法进行差异检验，但检验精度比参数用这种方法进行差异检验，但检验精度比参数检验要检验要差差。二、两二、两相关相关样本的非参数检验样本的非参数检验l两两相关相关样本的数据是一一对应的成对数据，样本的数据是一一对应的成对数据，因此相关样本又称为因此相关样本又称为配对配对样本。样本。l符号检验法符号检验法l符号秩和检验l又称为又称为Wilcoxon SignedRank test，也简称为也简称为Wilcoxon test。1 1符号符号检验法检验法符号检验法符号检验法（sign test）以每一对数据之差的以每一对数据之差的正负符号的数目进行检验。正负符号的数目进行检验。检验思想是：如果检验思

10、想是：如果两样本没有显著性差异，则两样本中每一对数两样本没有显著性差异，则两样本中每一对数据之差所得的正号与负号的数目应大致相当。据之差所得的正号与负号的数目应大致相当。实际应用中，遇到无法用数字描述的问题，实际应用中，遇到无法用数字描述的问题，符号检验法是一种简单而有效的检验方法。符号检验法是一种简单而有效的检验方法。 ：将三岁幼儿经过配对而成的实验组施以五将三岁幼儿经过配对而成的实验组施以五种颜色命名的教学，而对照组不施以教学，后期种颜色命名的教学，而对照组不施以教学，后期测验得分见下表。问进行教学与不进行教学，幼测验得分见下表。问进行教学与不进行教学，幼儿对颜色命名的成绩是否有显著差异？

11、儿对颜色命名的成绩是否有显著差异？ 关于五种颜色命名得分的测验结果序号序号12345678910 11 12实验组实验组X X1 118 20 26 14 25 25 21 12 14 17 20 19对照组对照组X X2 213 20 24 10 27 17 21815 11622小样本情况小样本情况(N25)(N25) 检验步骤提出假设提出假设观察每一对数据的差数并记观察每一对数据的差数并记符号符号分别将正号和负号的个数记为分别将正号和负号的个数记为n+和和n-，0不计。不计。将将n+和和n-较小的一个记为较小的一个记为r,并计算并计算Nn+n-确定检验形式，查表确定检验形式，查表15并做

12、出统计决断，若并做出统计决断，若r大于大于临界值，则表示两组差异无统计意义。临界值，则表示两组差异无统计意义。 单侧符号检验统计决断规则单侧符号检验统计决断规则r与临界值比较与临界值比较 P值值 显著性显著性 检验结果检验结果 r r 0.05 P0.05不显著不显著在在0.05显著性水显著性水平保留平保留H0，拒绝拒绝H1r 0.01 r r 0.050.05P0.01显著显著在在0.05显著性水显著性水平拒绝平拒绝H0，接受接受H1r r 0.01P0.01极其显著极其显著在在0.01显著性水显著性水平拒绝平拒绝H0，接受接受H1：将三岁幼儿经过配对而成的实验组施以五将三岁幼儿经过配对而成

13、的实验组施以五种颜色命名的教学，而对照组不施以教学，后期种颜色命名的教学，而对照组不施以教学，后期测验得分见下表。问进行教学与不进行教学，幼测验得分见下表。问进行教学与不进行教学，幼儿对颜色命名的成绩是否有显著差异？儿对颜色命名的成绩是否有显著差异？ 关于五种颜色命名得分的测验结果序号序号12345678910 11 12实验组实验组X X1 118 20 26 14 25 25 21 12 14 17 20 19对照组对照组X X2 213 20 24 10 27 17 21815 11622 关于五种颜色命名得分的符号检验计算表序号序号12345678910 1112实验组实验组X X1

14、11820 26 14 25 25 21 12 14 17 20 19对照组对照组X X2 21320 24 10 27 17 21815 11622差数符差数符号号+0+-+0+-+-计算计算：n+=7，n-=3，因此 N=n+n-=10，r=3查表：查表： N=10时，时，r0.05=1，本题，本题r=3，差异不显著差异不显著练习练习l研究者想调查特殊训练是否可以提高领导力，取了两组智力相当的被试进行匹配，其中一组进行特殊训练，一组不进行训练，问：受过特殊训练的被试的领导力是否优于没有受过训练的被试。组别组别实验组实验组控制组控制组14740243383364243325530296222

15、67251682118914810124115712931355计算计算：n+=9，n-=3，因此 N=n+n-=12，r=3查表：查表： N=12时，时，r0.05=2，本题，本题r=3，差异不显著差异不显著大样本情况大样本情况(N(N25)25)ln+与与n-服从二项分布，服从二项分布，大样本时，由于二项大样本时，由于二项分布接近于正态分布，可用作为检验统计量分布接近于正态分布，可用作为检验统计量，采用正态近似法，采用正态近似法。l附表中的数据虽然可满足附表中的数据虽然可满足N从从1到到90的情况，但的情况，但在实际应用中，在实际应用中，当当N25时时常常使用正态近似常常使用正态近似法。法

16、。在零假设条件下，二项分布的平均数和标准差分别为在零假设条件下，二项分布的平均数和标准差分别为 2Nnp 21: p假设22121NNNpqNn+n-l为了使计算结果更接近正态分布，可用校正公式为了使计算结果更接近正态分布，可用校正公式计算：计算： 22NNrnpqnprrZ225 . 0NNrZl统计量的计算公式为：统计量的计算公式为： 225 . 0NNrZNn+n-min(n+，n-)例2：32人的射击小组经过三天集中训练，训练后与训练前测验成绩见下表。问三天的集中训练有无显著效果？集训前后成绩序号序号前测前测 后测后测 序号序号 前测前测 后测后测 序号序号 前测前测 后测后测 序号序

17、号 前测前测 后测后测 142409606417504425203623835104739182526266042353561112151963592751444494112323020453728282352421136561213932293430654601448582248533062687433415545223665631606085140166258245754324945计算计算ln+22，ln-9，lNn+n-31，lr9338. 231212319212NNrrZ16. 231212315 . 092125 . 0NNrZ2. 2. 符号符号等级等级检验（符号检验（符号秩和

18、秩和检验检验) ) （1）小样本情况小样本情况(N25)(N25) 当当N25时，用查表法进行符号等级检验时，用查表法进行符号等级检验:提出假设：提出假设：求求差数的绝对值差数的绝对值编秩次编秩次(赋予每一对数据差数的绝对值等级数赋予每一对数据差数的绝对值等级数)。添符号添符号(给每一对数据差数的等级分数添符号给每一对数据差数的等级分数添符号)求等级和求等级和（分正、负求等级和，（分正、负求等级和，将小的记为将小的记为）查符号等级检验表查符号等级检验表16，做出统计决断，若，做出统计决断，若T大于临界大于临界值，则表示两组差异无统计意义值，则表示两组差异无统计意义 。 符号等级检验统计决断规则

19、符号等级检验统计决断规则T与临界值比较与临界值比较 P值值 显著性显著性 检验结果检验结果 0.05 P0.05不显著不显著在在0.05显著性水显著性水平保留平保留H0，拒绝拒绝H10.01 0.050.05P0.01显著显著在在0.05显著性水显著性水平拒绝平拒绝H0，接受接受H1 0.01P0.01极其显著极其显著在在0.01显著性水显著性水平拒绝平拒绝H0，接受接受H1：将三岁幼儿经过将三岁幼儿经过配对配对而成的实验组施以五种而成的实验组施以五种颜色命名的教学，而对照组不施以教学，后期测颜色命名的教学，而对照组不施以教学，后期测验得分见下表。问进行教学与不进行教学，幼儿验得分见下表。问进

20、行教学与不进行教学，幼儿对颜色命名的成绩是否有显著差异？对颜色命名的成绩是否有显著差异？ 关于五种颜色命名得分的测验结果序号序号12345678910 11 12实验组实验组X X1 118 20 26 14 25 25 21 12 14 17 20 19对照组对照组X X2 213 20 24 10 27 17 21815 11622关于五种颜色命名得分的符号检验计算表序号序号12345678910 11 12实验组实验组X X1 118 20 26 14 25 25 21 12 14 17 20 19对照组对照组X X2 213 20 24 10 27 17 21815 11622计算：计

21、算：T=47.5，T=7.5，因此因此 T=7.5查表查表16： N=10时时(差数为差数为0不计不计)，T0.05=8，差异显著差异显著差数差数5024280416143等级等级72.5 5.5 2.595.518104添符号添符号+练习练习l某年级随机抽取英语成绩相当的8名男生和8名女生分别进行一段时间的训练，训练后的成绩如下表所示，该方法对男女生效果相同么？匹配组匹配组女生女生男生男生1141221310311104121251513610127131181514lN=7lT=23.5，T=4.5，因此因此 T=4.5l查表查表16： N=7时时(差数为差数为0不计不计)，T0.05=2

22、，差异不显著差异不显著（2 2）大样本情况）大样本情况(N(N25)25) 当当N25时，等级和的分布接近于正态分时，等级和的分布接近于正态分布，因此有布，因此有41NNT24121NNNTTTTZ1 / 412124TN NN NN例：32人的射击小组经过三天集中训练，训练后与训练前测验成绩见下表。问三天的集中训练有无显著效果？集训前后成绩计算表序号序号前测前测 后测后测 序号序号 前测前测 后测后测 序号序号 前测前测 后测后测 序号序号 前测前测 后测后测 142409606417504425203623835104739182526266042353561112151963592751

23、444494112323020453728282352421136561213932293430654601448582248533062687433415545223665631606085140166258245754324945计计 算算13. 2241312131314/131315 .139l+356.5 -139.5 因此因此,139.5，N311 / 412124TN NZN NNl符号检验、符号检验、符号等级检验法（符号等级检验法（ Wilcoxon SignedRank test ），针对的是，针对的是相关相关样本。样本。l如果样本的数据如果样本的数据不能满足不能满足参数检验

24、中相关样参数检验中相关样本本t检验的要求，可以用这两种方法进行差异检验的要求，可以用这两种方法进行差异检验，但检验精度比参数检验要检验，但检验精度比参数检验要差差。 小结小结三、等级方差分析三、等级方差分析 l方差分析方差分析l前提条件：前提条件：“总体正态总体正态”、“方差齐性方差齐性”、“独立性独立性”l数据类型：数据类型：连续型测量数据连续型测量数据l等级方差分析等级方差分析l克-瓦氏单向等级方差分析l弗里德曼双向等级方差分析 1 1 克克- -瓦氏单向等级方差分析瓦氏单向等级方差分析又称为克又称为克-瓦氏检验法瓦氏检验法（Kruskal Wallis H）用于对用于对多组独立样本多组独

25、立样本进行分析，对应于参数进行分析，对应于参数检验法中的检验法中的完全随机设计方差分析完全随机设计方差分析。 例：三个小组图画成绩见下表，问三组成绩是否有显著例：三个小组图画成绩见下表，问三组成绩是否有显著差异？差异？ 三个小组图画成绩计算表序号序号原始分数原始分数甲甲乙乙丙丙162458527760793687882454567657062合计合计55414基本分析过程：基本分析过程： l将多组样本数据合在一起编将多组样本数据合在一起编秩次秩次（从小到大赋（从小到大赋予等级）予等级）l计算各组样本的计算各组样本的等级和等级和il代入代入统计量公式统计量公式计算计算l查统计表查统计表17做出统

26、计结论做出统计结论 131122NnRNNHii统计量计算公式统计量计算公式为为公式中，公式中，N为各组频数总和，为各组频数总和， ni为各组样本容量，为各组样本容量， Ri为各组数据秩次和为各组数据秩次和 。 131122NnRNNHii统计决断方法统计决断方法 l当各组的容量当各组的容量n5，样本组数，样本组数k=3，可查，可查检验表检验表，根据相应的样本容量找出概率值。，根据相应的样本容量找出概率值。（p0.05时差异显著）时差异显著）例：三个小组图画成绩见下表，问三组成绩是否有显著例：三个小组图画成绩见下表，问三组成绩是否有显著差异？差异？ 三个小组图画成绩计算表等级分数等级分数甲甲乙

27、乙丙丙5.5114104127111323985.5R1=32.5R2=24.5R3=48序号序号原始分数原始分数甲甲乙乙丙丙162458527760793687882454567657062合计合计55414计计 算算l根据根据k3，n15，n25，n34 查表判断查表判断131122NnRNNH114344855 .2455 .321141412222846. 6样本容量较大或组数较多情况样本容量较大或组数较多情况 l当各组容量当各组容量n5，或者样本组数，或者样本组数k3时，查自由时，查自由度度dfk1的的2分布表，进行统计决断。分布表，进行统计决断。 131122NnRNNHii2 2

28、弗里德曼双向等级方差分析弗里德曼双向等级方差分析 l弗里德曼双向等级方差分析（弗里德曼双向等级方差分析（Friedman test）用于）用于多组相关样本多组相关样本，是，是重复测量实验设计重复测量实验设计的非参数检的非参数检验。验。基本分析过程：基本分析过程： l将每名被试（每一区组）的将每名被试（每一区组）的K个数据个数据从小到大从小到大排列出等级排列出等级l计算每种实验处理计算每种实验处理n个数据的等级和个数据的等级和l代入代入统计量公式统计量公式计算计算l查统计表查统计表18做出统计结论做出统计结论 l统计量计算公式为统计量计算公式为1311222knRknkr统计决断方法统计决断方法l当样本容量当样本容量n9，k3；或者；或者n4，k4时，时，可查检验表，根据相应的样本容量找出概可查检验表，根据相应的样本容量找出概率值。率值。 2r例：五位教师对甲、乙、