拉普拉斯变换讲义

1、拉普拉斯拉普拉斯变换变换制作者： 炯拉拉 普普 拉拉 斯斯拉普拉斯（Pierre Simon Laplace， 1749-1827） 法国著名的天文学家和法国著名的天文学家和数学家，天体力学数学家，天体力学的的集大成者，被誉为法国的牛顿。集大成者，被誉为法国的牛顿。 拉普拉斯用数学方法证明了行星的轨道大小拉普拉斯用数学方法证明了行星的轨道大小只有周期性变化，这就是著名拉普拉斯的定理。拉普只有周期性变化，这就是著名拉普拉斯的定理。拉普拉斯的著名杰作拉斯的著名杰作天体力学天体力学，书中第一次提出了，书中第一次提出了“天体力学天体力学”的学科名称，是经典天体力学的代表著的学科名称，是经典天体力学的代

2、表著作。作。宇宙系统论宇宙系统论是拉普拉斯另一部名垂千古的杰是拉普拉斯另一部名垂千古的杰作。作。 拉普拉斯在拉普拉斯在数学和物理学数学和物理学方面也有重要贡献，方面也有重要贡献，以他的名字命名的拉普拉斯变换和拉普拉斯方程，在以他的名字命名的拉普拉斯变换和拉普拉斯方程，在科学技术的各个领域有着广泛的应用。科学技术的各个领域有着广泛的应用。拉普拉斯和当时的拉格朗日、勒让德并称为法国的拉普拉斯和当时的拉格朗日、勒让德并称为法国的，不愧为十九世纪初数学界的巨擘泰斗。，不愧为十九世纪初数学界的巨擘泰斗。一、拉普拉斯变换的历史背景 拉普拉斯变换是先在实际中应用，然后才经过严格论证的一种方法。是由英国工程师

3、赫维赛德19世纪末提出的，称为“算子法”。后来人们在拉普拉斯的著作中找到了可靠的数学依据，进行了严格的数学定义，取之名为拉普拉斯变换方法。二、拉普拉斯变换的发展 在20世纪70年代以后，计算机辅助设计(CAD)技术迅速发展，人们借助于CAD程序(如SPICE程序)，可以很方便地求解电路分析问题，这样就导致拉氏变换在这方面的应用相对减少了。此外，随着技术的发展和实际的需要，离散的、非线性的、时变的等类型系统的研究与应用日益广泛，而拉氏变换在这些方面却无能为力，于是，它长期占据的传统重要地位正让位给一些新的方法。 使用傅立叶变换时存在的问题解决办法三、拉普拉斯变换的定义拉普拉斯反变换拉氏变换存在定

4、理拉氏变换的性质比例定理线性定理导数定理积分定理在拉氏变换及其一些性质中取P为某些特定值，可以用来求一些函数的广义积分。延迟定理位移定理相似定理卷积定理常见函数的拉斯变换拉普拉斯逆变换利用留数计算拉氏反演积分拉普拉斯逆变换的反演1、利用拉氏变换的性质2、有理分式反演法3、利用卷积4、使用留数5、查表法拉氏变换的应用利用拉氏变换求解微分方程微分方程取拉氏变换像函数的代数方程解代数方程像函数拉氏逆变换微分方程的解应用拉普拉斯变换法分析线性电路1、运算法和相量法1）相量法 相量法把正弦量变换为相量（复数），从而把求解线性电路的正弦稳态问题归结为以相量为变量的线性代数方程。2）运算法 运算法把时间函数

5、变换为对应的象函数，从而把问题归结为求解以象函数为变量的线性代数方程。11H+1V-1FS(t=0)1i1S(t=0)1sL+1/s-1/sC1I1(s)+uc(0-)/s-S(t=0)1sL+1/s-1/sC1I1(s)+uc(0-)/s-Ia(s)Ib(s)运算法的解题步骤拉普拉斯变换在工程学上的应用拉普拉斯变换，是工程数学中常用的一种积分变换。 它是为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。 拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方