专题33最值问题经典练习题

1、专题33最值问题专题知识回顾在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要为以下几种：1 .二次函数的最值公式二次函数y =ax2 +bx+c （a、b、c为常数且a=0）其性质中有若a >0当x = 时，y有最小值。ymin = 4ac"2a4a若a <0当x =上-时，y有最大值。ymax=4ac二b_。2a4a2 . 一次函数的增减性一次函数y =kx+b（k #0）的自变量x的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小） 值；（1当mWxEn时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。

2、3 .判别式法根据题意构造一个关于未知数x的一元二次方程；再根据x是实数，推得 20 ,进而求出y的取值范围，并由此得出y的最值。4 .构造函数法“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。5 .利用非负数的性质在实数范围内，显然有 a2+b2+k之k,当且仅当a = b = 0时，等号成立，即 a2+b2+k的最小值 为k。6 .零点区间讨论法用“零点区间讨论法”消去函数y中绝对值符号，然后求出 y在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。7 .利用不等式与判别式求解在不等式xa中，x = a是最大值，在不等式 x之b中，x = b是最小值

3、。8 . “夹逼法”求最值在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。专题典型题考法及解析【例题1】(经典题)二次函数y=2 (x-3) 2-4的最小值为 .【例题2】(2018江西)如图，AB是。的弦，AB=5,点C是。上的一个动点，且/ ACB=45 ,若点 M N分别是AB AC的中点，则MNK的最大值是 .C陶【例题3】(2019湖南张家界) 已知抛物线y=ax2+bx+c (aw0)过点A(1 , 0), B(3 , 0)两点，与y轴交 于点 C, OC= 3.(1)求抛物线的解析式及顶点 D的坐标；

4、(2)过点A作AMLBC,垂足为 M 求证：四边形 ADBM正方形；(3)点P为抛物线在直线 BC下方图形上的一动点，当 PBC面积最大时，求 P点坐标及最大面积的值；1 _(4)右点Q为线段OC上的一动点，问 A QC是否存在取小值？右存在，求出这个取小值；右不存在，2请说明理由.35专题典型训练题1. （2018 河南）要使代数式“；23x有意义，则乂的（）A.最大值为23B.最小值为23C.最大值为3 D.22. （2018四川绵阳）最大值为924和12且第三边上的高为整数，那么此高不等边三角形AABC的两边上的高分别为的最大值可能为。223. （2018齐齐哈尔）设a、b为实数，那么a

5、 +ab+b a2b的最小值为 4. （2018云南）如图，MN是。的直径，MN=4 / AMN=40，点B为弧AN的中点，点 P是直径 MNk的一个动点，则PA+PB的最小值为 5. （2018海南）某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤,并且两次降价的百分率相同.（1）求该种水果每次降价的百分率；（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为正数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示 . 已知该种水果的进价为 4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1 wxv 15）之间的函数 关系式，并求出第几天时销售利润最大？

6、时间（天）K x< 99<x<15x>15售价（元/斤）第1次降价后的价格第2次降价后的价格销量（斤）80-3x120-x储存和损耗费用（元）40+3x_ 2_3x 64x+ 400（3）在（2）的条件下，若要使第 15天的利润比（2）中最大利润最多少 127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？6. （2018湖北荆州）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出,已知生产x只玩具熊猫的成本为 R（元），售价每只为P（元），且R、P与x的关系式分别为 R = 500 + 30x ,P =1702x。（1）当日产量为多少

7、时，每日获得的利润为1750元；（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？7. （2018吉林）某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙两种工种各招聘多少人时可使得每月所付的工资最少？2一 x ，x -1 .一 ，一 .8.（经典题）求3x-1的最大值与最小值。x x 19. （经典题）求代数式xj1-x2的最大值和最小值。10. （经典题）求函数y =|x 1|x+4|3的最大值。11. （2018山东济南）已知x、y为实数，且满足 x+y+m=5, xy + ym

8、 + mx = 3,求实数m最大值与 最小值。12. （2019年黑龙江省大庆市） 如图，在Rt ABO, ZA= 90° . AB= 8cm AO 6cm若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B,A重合的情况），运动速度为2cmfs,过点D作DE/BC交AC于点E,连接BE设动点D运动的时间为x （s）, AE的长为y （cm）.（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时， BDE勺面积S有最大值？最大值为多少？13. （2019年宁夏）如图，在 ABCK / A= 90° , AB= 3, AC= 4,点M Q分别是边 A

9、B, BC上的动点（点M不与 A B重合），且MQ_ BC过点 M作BC的平行线 MN交AC于点N,连接NQ设BQ为x.（1）试说明不论x为何值时，总有 QBMT AB（C（2）是否存在一点 Q使得四边形 BMNQ；平行四边形，试说明理由；（3）当x为何值时，四边形 BMNQJ面积最大，并求出最大值.本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定、二次函数的性质，掌握相似三角形的判定定 理、二次函数的性质是解题的关键.14. (2019广东深圳)如图所示，抛物线 y =ax2+bx + c过点A ( 1, 0),点C (0, 3),且OB=OC(1)求抛物线的解析式及其对称轴；(2)点D

10、, E在直线x=1上的两个动点，且 DE=1,点D在点E的上方，求四边形 ACDE勺周长的最小值,(3)点P为抛物线上一点，连接 CP直线CP把四边形CBPA的面积分为3： 5两部分，求点P的坐标.15. (2019广西省贵港) 已知： 欣BC是等腰直角三角形，/BAC =90、将AABC绕点C顺时针方向旋转得到 ABC,记旋转角为a,当90°<ot <180 W,作A'D_LAC,垂足为D, AD与B'C交于点E .邕1盅2(1)如图1,当/CAD =15 口时，A /A'EC的平分线 EF交BC于点F .写出旋转角u的度数；求证：EA'

11、 + EC=EF;(2)如图2,在(1)的条件下，设P是直线 AD上的一个动点，连接PA , PF ,若AB= J2 ,求线段PA + PF 的最小值.(结果保留根号).16. (2019贵州省安顺市)如图，抛物线y=-x2+bx+c与直线y=1x+3分别相交于A,B两点，且此抛物22线与x轴的一个交点为 C,连接AC, BC已知A (0, 3), C( - 3, 0).(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线对称轴l上找一点M使|M& MC的值最大，并求出这个最大值；(3)点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接 PA过点P作PQ! PA交y轴于点Q,问：是否存在点 P使得 以A, P, Q

12、为顶点的三角形与 ABCt目似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.17. (2019广西贺州)如图，在平面直角坐标系中，已知点 B的坐标为(-1,0),且OA=OC=4OB ,抛物线y =ax2 +bx +c（a丰0）图象经过 A, B , C三点.(1)求A, C两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作 PD_LAC于点D ,当PD的值最大时，求此时点 P的坐标及PD的最大值.218. (2019内家古赤峰)如图，直线y=-X+3与x轴、y轴分别交于 R C两点，抛物线y=-x+bx+c经过点R C,与x轴另一交点为

13、A,顶点为D.(1)求抛物线的解析式;(2)在x轴上找一点 E,使EGED的值最小，求 EGED的最小值；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使彳导/ APB= /OCB若存在，求出 P点坐标；若不存在，请说明理由.19. (2019?湘潭)如图一，抛物线 y= ax2+bx+c 过 A ( - 1, 0) B (3.0)C(0,七)三点(1)求该抛物线的解析式；(2) P (必，y。、Q (4, v2两点均在该抛物线上，若 y1W y2,求P点横坐标X1的取值范围；(3)如图二，过点 C作x轴的平行线交抛物线于点 E,该抛物线的对称轴与 x轴交于点D,连结CD CB点F为线段CB的中点，

14、点 M N分别为直线 0口 CE上的动点，求 FMNW长的最小值.20. (2019?辽阳)如图，在平面直角坐标系中， RtABC的边BC在x轴上，Z ABC= 90° ,以A为顶点的抛 物线y= - x2+bx+c经过点C (3, 0),交y轴于点E (0, 3),动点P在对称轴上.(1)求抛物线解析式；(2)若点P从A点出发，沿 A-B方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点 B停止，设运动时间为t秒，过 点P作PDL AB交AC于点D,过点D平行于y轴的直线l交抛物线于点 Q连接AQ CQ当t为何值时， ACQ勺面积最大？最大值是多少？(3)若点M是平面内的任意一点， 在x轴上方是

15、否存在点 P,使得以点P, M E, C为顶点的四边形是菱形,若存在，请直接写出符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由.专题33最值问题专题知识回顾在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要为以下几种：1 .二次函数的最值公式二次函数y =ax2 +bx+c （a、b、c为常数且a=0）其性质中有若a >0当x =旦时，y有最小值。ymin = 4ac-b ；2a4a若a <0当x =且时，y有最大值。ymax_4ac-b 。2a4a2 . 一次函数的增减性一次函数y =kx+b（k #0）的自变量x的取值范围是全体实数，图象是一条直

16、线，因而没有最大（小） 值；（1当mxWn时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。3 .判别式法根据题意构造一个关于未知数 x的一元二次方程；再根据x是实数，推得至0 ,进而求出y的取值范 围，并由此得出y的最值。4 .构造函数法“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。5 .利用非负数的性质在实数范围内，显然有 a2+b2+k之k,当且仅当a = b = 0时，等号成立，即 a2+b2+k的最小值 为k。6 .零点区间讨论法用“零点区间讨论法”消去函数y中绝对值符号，然后求出 y在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义

17、域上的最大值。7 .利用不等式与判别式求解在不等式xa中，x = a是最大值，在不等式 x之b中，x = b是最小值。8 . “夹逼法”求最值在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式 获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。专题典型题考法及解析【例题1】（经典题）二次函数y=2 （x-3） 2-4的最小值为 【答案】-4.【解析】题中所给的解析式为顶点式，可直接得到顶点坐标，从而得出解答.二次函数y=2 （x-3） 2-4的开口向上，顶点坐标为（3, -4）,9 以最小值为-4.【例题2】（2018江西）如图，AB是。的弦，AB=5,点C是。上的

18、一个动点，且/ ACB=45 ,若点 MN分别是AB AC的中点，则MNK的最大值是5避【解析】根据中位线定理得到MN的最大时，BC最大，当BC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值.如图，点 M N分别是AB, AC的中点，MN=l-BC,2当BC取得最大值时，MN就取得最大值，当 BC是直径时，BC最大,连接BO并延长交。于点C',连接AC',BC'是O。的直径,/ BAC =90 / ACB=45 , AB=5,/ AC B=45° ,BCABgin4S5L=& =5 陋,MNt 大= 2【例题3】(2019湖南张家界)已知抛物线y=ax2

19、+bx+c (aw0)过点A(1 , 0), B(3 , 0)两点，与y轴交于点C, O住3.(1)求抛物线的解析式及顶点 D的坐标;(2)过点A作AMLBG垂足为 M求证：四边形ADBM；正方形;(3)点P为抛物线在直线 BC下方图形上的一动点，当 PBC面积最大时，求 P点坐标及最大面积的值;(4)若点Q为线段OC±的一动点，问 AQF -QC否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由.【思路分析】(1)将A、B C三点坐标代入抛物线的解析式即可求出a、b、c的值(当然用两根式做更方便)；(2)先证四边形 AMB而矩形，再证该矩形有一组邻边相等，即可证明该四边形为

20、正方形；(3)如答图2,过点P作PF,AB于点F,交BC于点E,令P( mm24饼3),易知直线BC的解析式为y=- x + 3,则 E(m, - m 3), PE= ( -m+ 3) -(n2-4m+ 3)=n2+ 3m 再由 及 pbc= S"b叶 Sa cpe,转化为-PE?OB=-X3 x ( - n2+ 3n),最后将二次函数化为顶点式即可锁定及pbc的最大值与点 P坐标；(4)解决本问按两步走：1 _ _.一找(如答图3,设OQ= t ,则CQ= 3 t , AC-QC= Jt2 +1 +- (3-t),取CQ勺中点G以点Q为圆心，2QG的长为半径作。Q则当。Q过点A时，

21、Ag QC= OQ的直径最小)、二求(由AQ=QC解关于t的方程即可).【解题过程】(1)二抛物线y = ax2+bx+c (aw0)过点A(1 , 0), B(3, 0)两点，令抛物线解析为 y=a(x1)( x-3). 该抛物线过点 Q0, 3),.3=ax(0 1) x (0 3),解得 a=1.，抛物线的解析式为 y= (x- 1)( x-3),即y=x2 4x+3.: y=x2-4x+ 3= (x- 2)2- 1 ,，抛物线的顶点 D的坐标为(2 , - 1).综上，所求抛物线的解析式为y=x24x+ 3,顶点坐标为(2 , 1).(2)如答图1,连接AD BD易知DA= DBO氏

22、OC / BOC= 90 ,/ MBA 45 . D(2 , 1),3,0),DB为 45° . ./ DBIW 90 .同理，/ DA附90 .又. AML BC.四边形ADB®矩形.又 DA= DB四边形ADBW正方形.(3)如答图2,过点P作PF，AB于点F,交BC于点E,令P(m m2 4饼3),易知直线 BC的解析式为y=2_2_-x+ 3,则 E( rm 3), PE= ( - vm- 3) - ( m-4m 3) = - m+ 3m_ _，2 一、 Sapbc= Sapbe-F SLcpe= PE?BF+ -PE?OF= PE?OB= X3X( m+3m2 .

23、=- ( mv -) + 一， ，当m=-时)Spbc有最大值为一,此时P点的坐标为(-).(4)如答图 3,设 OQ= t ,则 CQ= 3t , AC-QC= Jt2 +1 +1(3-1),2取CQ勺中点G,以点Q为圆心，QG勺长为半径作。Q,则当。Q过点A时，Aa-QC= OQ的直径最小,此时，-，解得t =1,于是Aa -QC勺最小值为3-t = 3-( 1) =4-专题典型训练题1. （2018河南）要使代数式有意义，则x的（A.最大值为一 B.最小值为一C.最大值为-D.最大值为-【答案】A.【解析】要使代数式有意义，必须使2-3x>0,即x<-,所以x的最大值为-。2

24、. （2018四川绵阳）不等边三角形 AABC的两边上的高分别为 4和12且第三边上的高为整数，那么此高 的最大值可能为。【答案】5【解析】设a、b、c三边上高分别为 4、12、h因为 2S&BC =4a =12b =ch,所以 a = 3b又因为c <a +b =4b ,代入12b = ch得 12b <4bh,所以 h >3又因为c >a b = 2b ,代入12b = ch得 12bA2bh,所以 h <6所以3Vh<6,故整数h的最大值为5。3. （2018齐齐哈尔）设a、b为实数，那么a2+ab+b2a-2b的最小值为 【答案】-1【解析】

25、a2 ab b2 - a - 2b2(b -1)a b2 -2bb-1 2 3 2 31=(a=(a)2 -b2 -b -2424b-1 2 32)2 -(b-1)2 -1 - -124- b -1当 a+=0, b1=0,即 a=0, b = 1 时, 2上式等号成立。故所求的最小值为-1。4. （2018云南）如图，MN是。的直径，MN=4 / AMN=40，点B为弧AN的中点，点 P是直径 MNk的一 个动点，则PA+PB的最小值为 .【答案】26.【解析】过A作关于直线MN的对称点A ,连接A B,由轴对称的性质可知 A B即为PA+PB勺最小值， 由对称的性质可知 2R=XU，再由圆

26、周角定理可求出/ A ON的度数，再由勾股定理即可求解.过 A作关 于直线MN勺对称点A',连接A B,由轴对称的性质可知 A B即为PA+PB勺最小值，连接 OB OA , AA , ,AA'关于直线MN寸称，,， =,.二，/ AMN=40 ,/ A ON=80 , / BON=40 ,. ./A' OB=120 ,过。作OQL A B于Q,在 RtAA OQ中,OA =2, .A' B=2A Q=2f2， 即PA+PB的最小值2始.5. （2018海南）某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤,并且两次降价的百分率

27、相同.（1）求该种水果每次降价的百分率；（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为正数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示.已知该种水果的进价为 4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1 wxv 15）之间的函数 关系式，并求出第几天时销售利润最大？时间（天）K x< 99<x<15x>15售价（元/斤）第1次降价后的价格第2次降价后的价格销量（斤）80-3x120-x储存和损耗费用（元）40+3x_ 2_3x 64x+ 400（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少 127.5元，则第15天在第14天

28、的价格基础上最多可降多少元？【答案】看解析。【解析】（1）设该种水果每次降价的百分率为x,则第一次降价后的价格为10（1 x）,第二次降价后的价格为10（1 -x）2,进而可得方程；（2）分两种情况考虑，先利用“利润=（售价进价）X销量储存和损耗费用”，再分别求利润的最大值，比较大小确定结论；（3）设第15天在第14天的价格基础上降a元，利用不等关系“（2） 中最大利润一（8.1 -a- 4.1） X销量一储存和损耗费用W 127.5”求解.解答：（1）设该种水果每次降价的百分率为x,依题意得：10（1 -x）2=8.1 .解方程得：x1 = 0.1 =10% x2= 1.9（不合题意，舍去）

29、答：该种水果每次降价的百分率为10%（2）第一次降价后的销售价格为：10X（1 10%）= 9（元/斤），当 1Wxv9 时，y=（9 4.1）（80 3x） （40 + 3x） = 17.7 x+352;22当 9Wxv15 时，y = （8.1 -4.1）（120 x） （3x 64x+400） = 3x + 60x+80,综上，y与x的函数关系式为：y =P 17.7 x+352（1 <x< 9, x为整数）， 23x2+ 60x+ 80（9 Wxv 15, x为整数）.当 1wxv9 时，y= 17.7x+352, .当 x=1 时，y最大=334.3（元）；当 9Wxv1

30、5 时，y= 3x2+60x+ 80= 3（x 10）2+ 380, .当 x= 10 时，y 最大= 380（元）；334.3 <380, .在第10天时销售利润最大.（3）设第15天在第14天的价格上最多可降 a元，依题意得：380（8.1 a 4.1）（120 15） （3 X 15264X 15+400） < 127.5 ,解得：aw 0.5,则第15天在第14天的价格上最多可降 0.5元.6. （2018湖北荆州）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出，已知生产x只玩具熊猫的成本为 R（元），售价每只为P（元），且R、P与x的关系式分

31、别为 R = 500 + 30x ,P =170-2x。(1)当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元；(2)当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少?【答案】看解析。【解析】(1)根据题意得：1750 = Px R(170 -2x)x -(500 30x) =1750整理得 x2 -70x 1125 =0解得x1 =25 , x2 =45 (不合题意，舍去)(2)由题意知，利润为Px - R = -2x2 140x -500 = -2(x -35)2 1950所以当x=35时，最大利润为1950元。7. (2018吉林)某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的

32、工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙两种工种各招聘多少人时可使得每月所付的工资最少？【答案】看解析。【解析】设招聘甲种工种的工人为x人，则乙种工种的工人为 (150-x)人，由题意得：150x±2x 所以0ExW50设所招聘的工人共需付月工资y元，贝U有：y=600x+1000(150 x) =400x+150000 ( 0<x<50)因为y随x的增大而减小所以当 x=50时，ymin =130000 (元)x2 x 18. (经典题)求一-的最大值与最小值。x x 1-，一1【答案】最大值是3,最小值是-O3【解

33、析】此题要求出最大值与最小值，直接求则较困难，若根据题意构造一个关于未知数x的一元二次方程；再根据x是实数，推得 >0,进而求出y的取值范围，并由此得出 y的最值。x2 -x 1x2 x 1=y ,整理得x2,2一x 1 : yx yx y即(1 -y)x2 _(1 y)x 1 - y =0因为x是实数，所以之0即(1 y)2 -4(1 -y)2 ,0-1解得 y M 332x -X 3 11所以j的最大值是3,最小值是一。xx 139 .(经典题)求代数式x、1 _x2的最大值和最小值。【答案】最大值为1/2 ,最小值为-1/2.【解析】设 y = x<1 -x2 , -1 &l

34、t; x <1,再令 x =sin« , - <« < ,则有 22y=x.1-x2 = sin = 1 一sin2 1=sin 二 cos sin2：2所以得y的最大值为1/2 ,最小值为-1/2.10 .(经典题)求函数y =|x 1|x+4|-5的最大值。【答案】0【解析】本题先用“零点区间讨论法”消去函数y中绝对值符号，然后求出 y在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。易知该函数有两个零点 x = 1、x = -4当x < Y时y = -(x -1) (x 4) -5 = 0当Y Ex <1时y =_(x -

35、1) -(x 4) -5 =-2x -8当x三Y时，得-10 M y = -2x -8 < 0当 x >1 时，y = (x 1) (x +4) 5 = 10综上所述，当x E Y时，y有最大值为ymax = 011. (2018山东济南)已知x、y为实数，且满足 x+y+m=5, xy + ym + mx = 3 ,求实数m最大值与 最小值。，一 ，一 13 ，一，一【答案】m的最大值是13, m的最小值是1。【解析】由题意得；x + y = 5 - m一 ，、一 ，一 、2_ ，一xy = 3 - m(x y) = 3 - m(5 - m); m -5m 3所以x、y是关于t的

36、方程t2(5 m)t+(m25m + 3) =0的两实数根,所以：十(5-m)2 -4(m2 -5m 3) - 0即 3m2 -10m -13 < 0,一13解得-1 < m < 3,_ 13m的最大值是,m的最小值是312. (2019年黑龙江省大庆市) 如图，在Rt ABO, ZA= 90° . AB= 8cmi AC= 6cm若动点D从B出发,沿线段BA运动到点A为止(不考虑 D与B, A重合的情况)，运动速度为2cm/s,过点D作D日BC交ACT点E,连接BE设动点D运动的时间为x (s), AE的长为y (cmh(1)求y关于x的函数表达式，并写出自变量

37、x的取值范围;(2)当x为何值时， BDE勺面积S有最大值？最大值为多少?【答案】见解析。【解析】本题主要考查相似三角形的判定、三角形的面积及涉及到二次函数的最值问题，找到等量比是解 题的关键.(1)由平行线得 AB64ADE根据相似形的性质得关系式动点D运动x秒后，BD= 2x.又 AB= 8,AD= 8-2x. DE/ BC.驾其AB AC6(8-2i)y关于x的函数关系式为 y= -yx+ 6 (0Vx<4).(2)由S= 3?BUAE得到函数解析式，然后运用函数性质求解.Sa bde=|十6x(0V x< 4).2, 飞 一乙时，Sabdw大，取大值为 6cm.2X(-1)

38、13. (2019年宁夏)如图，在 ABCK / A= 90° , AB= 3, AC= 4,点M Q分别是边 AB BC上的动点(点M不与A B重合)，且MQ_ BC过点M作BC的平行线 MN交AC于点N,连接NQ设BQ为x.(1)试说明不论x为何值时，总有 QBIVb ABC(2)是否存在一点 Q,使得四边形 BMNQ；平行四边形，试说明理由；(3)当x为何值时，四边形 BMNQJ面积最大，并求出最大值.BQC【答案】见解析。【解析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定、二次函数的性质，掌握相似三角形 的判定定理、二次函数的性质是解题的关键.(1) MQ_ BC

39、/ MQB90 , / MQB / CAB 又/ QBMt / ABC QBm ABC(2)根据对边平行且相等的四边形是平行四边形解答；当BQ= MN寸，四边形BMN平行四边形， MM/ BQ BQ= MN 四边形BMN3平行四边形；(3)根据勾股定理求出 BC根据相似三角形的性质用x表示出QM BM根据梯形面积公式列出二次函数解析式，根据二次函数性质计算即可./ A= 90 , AB= 3, AC= 4,bc=7ab2+ac2=55QB陆 ABC，典=史=典即用=驷=地，AB AC BC 3454口解得，QM= x, B阵-7-x, MIN/ BC:岖=幽,4,BC AB 53解得，MN=

40、5-WSx,则四边形 BMNQJ面积=Lx(5 生x+x) xJ_x= 一段(x一些)2.， 2932782.当*=相时，四边形BMNQJ面积最大，最大值为 空.14. (2019广东深圳)如图所示，抛物线过点A(1, 0),点C (0, 3),且OB=OC(1)求抛物线的解析式及其对称轴；(2)点D,E在直线x=1上的两个动点，且DE=1,点D在点E的上方，求四边形ACDE勺周长的最小值，(3)点P为抛物线上一点，连接 CP直线CP把四边形CBPA的面积分为3： 5两部分，求点P的坐标.【思路分析】(1)先求出点B的坐标，然后把 A B C三点坐标代入解析式得出方程组，解方程组即可得 出a,

41、 b, c的值，得解析式，再用配方法或对称轴公式或中点公式可得对称轴方程；(2)利用轴对称原理作出点C的对称点，求出四边形 CDEA勺周长的最小值；(3)方法1:设CP与x轴交于点E,先根据面积关 系得出BE: AE=3:5或5:3,求出点E的坐标，进而求出直线 CE的解析式，解直线 CE与抛物线的解析式联 立所得的方程组求出点 P的坐标；方法2:设P (x, x2+2x+3),用含x的式子表示四边形 CBPA的面积， 然后求出CB的解析式，再用含 x的式子表示出 CBP的面积，利用面积比建立方程，解方程求出x的值,得出P的坐标.【解题过程】(1)二.点C (0, 3), OB=OC.点B (

42、3, 0).把 A ( 1, 0) , C (0, 3), B (3, 0)代入，得一 ， 一 , ,解得，抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.y= x2+2x+3= (x1) 2+4,，抛物线的对称轴为 x=1 .(2)如图，作点 C关于x=1的对称点C' (2, 3),则CD=C D.取 A' (1,1),又 ; DE=1,可证 A D=AE在 Rt AOO43, AC=1四边形 ACDE勺周长=AC+DE+CD+AE = +1+CD+AE要求四边形ACDE勺周长的最小彳1,就是求CD+AE勺最小值. CD+AE=C D+A D, 当A' D, C三点共线时，C&

43、#39; D+A D有最小值为 ，四边形ACDEW周长的最小值=+1+ .(3)方法1:由题意知点 P在x轴下方，连接 CP,设PC与x轴交于点E, 直线CP把四边形CBPA的面积分为3:5两部分，又< S>A CBE： S>A CAE=S»A PBE： S>A PA=BE： AE,BE: AE=3:5 或 5:3 , 点 E1 (-, 0) , E2 (-, 0).设直线CE的解析式为y=kx+b, (-, 0)和(0, 3)代入，得一 .解得 一 , 直线CE的解析式为y=-2x+3.同理可得，当 E2 (-, 0)时，直线CE的解析式为y= -6x+3

44、.由直线CE的解析式和抛物线的解析式联立解得P1 (4, 5), P2 (8, 45)方法2:由题意得&CBS 四边形CBpA!/SaCBF=-S四边形CBPA 令 P (x, -x2+2x+3),S 四边形 cbp=Scab+Sapae=6+-X 4 , (x 2x 3) =2x 4x .直线CB的解析式为y= x+3,作PH/ y轴交直线 CB于点H,则H (x, x+3), _,_2_、2SACBP=OB- PH=X3 (x+3+x 2x 3) =-x -x当 SacbP=-S 四边形 cbp耐，-x2 -x=- (2x24x),解得 xi=0 (舍),X2=4, Pi (4,

45、5).当 Sacbf=-S 四边形 cbp耐，-x2x=- (2x24x),解得 x3=0 （舍），x4=8,P2 (8, 45).15. （2019广西省贵港）已知： MBC是等腰直角三角形，/BAC =90©,将AABC绕点C顺时针方向旋转得到 ABC,记旋转角为a,当90<180叩寸，作A'D_LAC,垂足为D, AD与BC交于点E .圉L图2(1)如图1,当/CAD =15 W,彳/AEC的平分线 EF交BC于点F .写出旋转角口的度数；求证：EA'+EC=EF;(2)如图2,在(1)的条件下，设P是直线AD上的一个动点，连接PA , PF ,若AB=&

46、quot;,求线段PA+PF 的最小值.(结果保留根号).【思路分析】(1)解直角三角形求出 /ACD即可解决问题.连接AF ,设EF交CA'于点O.在EF时截取EM =EC，连接CM .首先证明ACFA'是等边三角形，再 证明iFCM三' ACE(SAS),即可解决问题.(2)如图2中，连接 AF , PB', AB',作B，M _L AC交AC的延长线于 M .证明 AEF三 A'EB',推 出EF=EB',推出B', F关于AE对称，推出 PF=PB',推出PA + PF = PA +PB：AB',求

47、出AB'即可解 决问题.【解题过程】(1)解：旋转角为105，理由：如图1中，图1Tad _lac , ,'.ZaDC =90°, 7/CAD =15。， ./ACD =75", ，/ACA'=1051 ，旋转角为105：证明：连接 AF ,设EF交CA，于点。.在EF时截取EM =EC ,连接CM .，；/CED =/ACE +/CAE =45*+15W60*,二 NCEA，=120。,'；FE 平分 /CEA',.-.ZCEF =/FEA'=60>：'/FCO =1806-45°-75 °

48、=60°,j./FCO =/AEO,，；/FOC =/AOE ,.FOCs AOE ,OF OC，二=，AO OEOF AOOC =oE'C . COE =/FOA ；.COEs 任OA,./FAO =NOEC =60 口，AOF是等边三角形，,CF =CA' = AF ,7 EM =EC, NCEM =60°,.CEM是等边三角形，ZECM =60 > CM =CE ,NFCA，=/MCE =60 ;./FCM =/ACE ,'.AFCM 三ACE(SAS),FM =A'E ,CE +AE =EM +FM =EF .(2)解：如图2中

49、，连接 AF , PB', AB',作BM _LAC交AC的延长线于 M .图上由可知， NEAF =EAB=75，AE =AE , A'F =AB'，. AEF = AEB',EF =EB ,B F关于A*E对称，PF =PB ,.PA+PF =PA+PB；AB'，在 RtCBM 中，CB' = BC =72aB =2 , ZMCBr=30°,1BM =CB'=1 , CM =点， 2j. AB，=、AM2 +BM 2 =叱6+而2 +12 = 6+2元.J.PA+PF的最小值为 6+276.216. (2019贵州省

50、安顺市) 如图，抛物线y= -x+bx+c与直线y=-x+3分别相交于 A, B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为 C连接AC BC已知A (0, 3), C(- 3, 0).(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线对称轴l上找一点M使|M& MC的值最大，并求出这个最大值；(3)点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接 PA过点P作PQ! PA交y轴于点Q,问：是否存在点 P使得 以A, P, Q为顶点的三角形与 ABCf似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.【思路分析】(1)将A (0, 3), C(-3, 0)代入y = -x2+bx+c,即可求解；(2)分当

51、点B、C M三点不共线时、当点 R C M三点共线时，两种情况分别求解即可;(3)分当一 一 -时、当一 一时两种情况，分别求解即可.【解题过程】(1)将A (0, 3), C( - 3, 0)代入y=-x2+bx+c得：_,解得： 一，抛物线的解析式是 y = -x2+-x+3;(2)将直线y= -x+3表达式与二次函数表达式联立并解得：x=0或-4, A (0, 3), . B ( 4, 1)当点R C M三点不共线时，| MB- M(P< BC当点R C M三点共线时，| MB- MC=BC当点、C M三点共线时，|Ma MC取最大值，即为 BC的长, 过点B作x轴于点E,在RtB

52、ECK 由勾股定理得 BC=| MB- MC取最大值为一；(3)存在点P使得以A P、Q为顶点的三角形与 ABCt目似. 设点 P坐标为(x, -x2+-x+3) (x>0)在 RtABEC,BE= CE= 1, . . / BCE= 45° ,在 RtAACO, -. AO CO= 3, . Z ACO= 45 , ，/ACB= 180° - 45°-45°=90°, AC= 3也过点P作PQL PA于点P,则/ APQ= 90° ,过点 P作 PQL y 轴于点 G / PQA= / APQ= 90°/ PAG=

53、/ QAP PG所 QPA. / PGA= / ACB= 90°当一一-时， PA冬 BAC解得Xi= 1 , x2=0,（舍去），点P的纵坐标为-x 12+x 1+3= 6,，点 P为（1, 6）;当一一 时， PA冬 ABC解得Xi=（舍去），X2=0 （舍去），此时无符合条件的点 P综上所述，存在点 P （1, 6）.17. （2019广西贺州）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（1,0）,且OA = OC=4OB ,抛物线y =ax2 +bx +c（a 00）图象经过 A , B , C 三点.（1）求A, C两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；(3)若点P是直线AC

54、下方的抛物线上的一个动点， 作PD ,AC于点D ,当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值.【思路分析】 (1) OA =OC =4OB =4 ,即可求解；(2)抛物线的表达式为：y =a(x+1)(x-4) =a(x2-3x-4),即可求解;22(3) PD=HPsin/PFD = (x -4 -x +3x +4 ,即可求解. 2【解题过程】(1) OA=OC=4OB=4,故点A、C的坐标分别为(4,0)、(0, M);(2)抛物线的表达式为：y =a(x+1)(x-4) =a(x2-3x-4),即 乂 a = 乂，解得：a =1,故抛物线的表达式为：y =x2 -3x-4 ；(3

55、)直线CA过点C ,设其函数表达式为：y =kx-4,将点A坐标代入上式并解得：k =1 ,故直线CA的表达式为：y =x4 ,过点P作y轴的平行线交AC于点H ,7 PH /y轴，:/PHD =/OCA=45 °, 2设点 P(x,x 3x4),则点 H(x,x4),PD =HPsin ZPFD =-(x-4 -x2 +3x +4) = -x2 +2v2x , 222，- J<0,.PD有最大值，当x=2时，其最大值为2后， 2此时点P(2,此).18. (2019内蒙古赤峰) 如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于 R C两点，抛物线y=-x2+bx+c经过点B C,与x轴另一交点为 A,顶点为 D.(1)求抛物线的解析式；(2)在x轴上找一点 E,使EGED的值最小，求 EGED的最小值；(3)在抛