4解三角形-中等难度-习题

1、解三角形第1页（共10页）、选择题（共12小题；共60分）1 .在?, ?:?= 4: 1: 1 ,贝U ?建于(？)A. 4: 1: 1B. 2: 1: 1c. v2： 1： 1D. v3: 1: 12 .在?,若 2cos?sin?= sin?,则?形状一定是(?)B.等腰三角形D.等边三角形A.等腰直角三角形C.直角三角形3 .在?,若 /? 30°, ?= 2v3, ?= 2,则?面积为(？)A. v3B. 2V3 或 v2C. 2 V3 或3D. 2v34 .在?, ?= ?= 3, ?= 4,贝U tan?的值为(？)v5丁_ TTA. TB.V5C. 2V5D.4V55

2、 .在?,已知？?= 8, ?= 60 , ?= 75 ,则？?= (?)A. 4 V2B.4v3C. 4v6D.3236.在?，角 ？ ？?，？?所对的边分别为？ ? ? ?表示1?cos?= ?sin?= 4(?+ ?- ?),则角?冷于(?)A. 90B. 60C. 45 ?的面积，若D. 30?cos?+7 .在?,根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（？）A. ?= 10, ?= 45 , ?= 70B. ?= 60 , ?N 48,?= 60C. ?= 7, ?= 5, ?= 80D. ?= 14, ?= 16, ?= 458 .如图，从气球？?上测得正前方的河流的两岸？的俯角分

3、别为75°, 30°,此时气球的高是 60 m,则河流的宽度？?等于（?）B. 180( v2- 1) mD. 30( 3+ 1) mB.直角三角形D.等边三角形A. 240( v3- 1) mC. 120( v3- 1) m ?tan?9 .在?,斤二嬴?,贝U ?(?)A.等腰三角形C.等腰或直角三角形10 .如图：？?，？ ？三点在地面同一直线上，？?？ ？从？ ？两点测得 ？?点仰角分别是 ?< ?,则？?点离地面的高度 ？?等于（?）?sin?sin?sin?sin?sin?cos?cos?sin?A. sin (?-?B. cos(?-?2C. sin (

4、?-?D. cos(?-?11 .在?,角？ ？ ？的对边分别为 ？ ？ ？且 2?cos?= 2?+ ?若?面积？?=312?则？?砌最小值为(?)111A. 2B. 3C. 6D. 312 .锐角 ?,内角？?，？?，？的对边分别为？ ? ?且满足(?- ?Xsin?+ sin?)=(? ?sin?,若？?= v3,贝U ?+ ?的取值范围是(？)A. (5,6B. (3,5)C. (3,6D. 5,6、填空题（共5小题；共25分）13 .在?,已知？= 30 , ?= 15, ?= 5V3,那么?=.14 .已知 ?内角 ？?，?, ?所对的边分别为？ ? ?若sin?= 3, ?= v

5、3sin?,则?= .15 .在?,内角? ? ?的对边分别为？ ？ ？且 2? = 2?亨 + 2? + ?贝（?形 状是 三角形.（填 直角”、钝角”或 脱角”等）16 .如图所示，在一个坡度一定的山坡？?酌顶上有一高度为 25 m的建筑物？?？为了测量该山坡相对于水平地面的坡角？在山坡的？?处测得/?150,沿山坡前进50 m到达？?处，又测得/?=?45°,根据以上数据可得cos?= .17 . ?,内角？ ？ ？?所对的边分别为？ ？ ？且？?边上的高为 p则?；+?；的最大值为.三、解答题（共5小题；共65分）118 .已知函数 ？= 2sin(? ? (?> 0,

6、 0 < ?<兀)为偶函数，点 ？ ？?分别为函数 ？?= ?图象上相邻的最高点和最低点，且？?？(1)求函数？?？的解析式；(2)在?, ? ? ?吩别为角？ ？ ？的对边，已知 ？?= 1, ?=嫄，？7?j =，求 兀, 4角？?的大小.19 .已知圆内接四边形 ?侬长分别为 ？= 2, ? 6, ?= ?= 4,求四边形 ?W 积.?20 .在?,角？?的对边分另1J是?已知 sin?+ cos?= 1 - sin -(1)求sin?的值;(2)若？ + ? = 4(?+ ?- 8,求边？勺值.21 .在三角形？?，设角？ ？ ？?的对边分别为？ ？ ？角？ ？ ？荫足C.

7、(1)求角？?的大小；(2)若?锐角三角形，求函数 ？?= 2sin?- cos2?的值域；(3)在三角形？?？，若？?= 1,求?长的范围.22 .已知等边 ?!?边长为 法，?, ?= ?= 1 , ?= v2 (如图 1 所示)，现将 ?与？? ?与？?重合，将 ?:折起，使得 ？?？ v3 (如图2所示).(1)若？?勺中点为？求证：平面 ？?!平面？?(2)在线段？?比是否存在一点 ？使？?芍面？?？ 30°角，若存在，求出 ？?勺长度，若 不存在，请说明理由；(3)求三棱锥？?- ?外接球的表面积.第3页(共10页)答案第一部分1. D【解析】因为?+ ?+ ?= 180

8、 , ?= 4:1:1,所以？= 120 , ?= 30 , ?= 30 .由正弦定理的变形公式得？?= sin?:sin?:sin?= sin120 ：sin30 :sin30 =£：1:1 .?夕+?/2-?2?2. B【解析】方法一：由已知结合正弦定理、余弦定理，得 2? 2? ?诋=示,整理，得？=?.所以？?= ?所以?等腰三角形.方法二：因为 sin?= sin兀-(?+ ? = sin(?+ ? = sin?cos?+ cos?sin?所以由已知，得 sin?cos? cos?sin?= 0,即 sin(?2 ? = 0.又因为？?- ?e(-兀，句，所以？?- ?=

9、0,即B.所以?等腰三角形.3. C4. D5. C6. C【解析】由正弦定理得sin?cos?+ sin?cos?= sin?sin?即 sin(?+ ? = sin?sin?因为 sin(?+ ? = sin?所以 sin?= 1 , ?= 90 .根据三角形面积公式和余弦定理得，1 CCC?= 2?sin?+ ?- ? = 2?cos?1 1代入已知得 -?sin=?-?2?cofs?2 4r所以 tan?= 1, ?= 45 ,因此？?= 45 .7. D8. C【解析】如图，作 ？?£?垂足为D.由题意，得？?？= 60 xtan60 = 60V3( m),?= 60 xt

10、an15 = 60 xtan(45 - 30 ) = 120 - 60v3 (m).所以？? ? ?= 60 V3 - (120 - 60 V3) = 120 V3 - 120 = 120(西-1) (m).9. C10. A【解析】设? ?贝U在 Rt ?,?=.tan?'所以？?= ?+?tan?'因为在 Rt ?,?=.tan?'所以？?+?tan?上tan?求得?=?sin?sin? sin (?-?,11. B12. A【解析】因为(?- ?(sin?+ sin? = (? ?sin?,由正弦定理可得：（? ?（?+ ?= （? ?化为？+?- ?子=?由余弦

11、定理可得:cos?=?吊+?申-?2?2?2?第7页（共10页）所以？?为锐角，可得？?=3因为？?= v3,所以由正弦定理可得:?sin?=三=2 sin( ?-?)223所以可得：?+ ? = (2sin?)2 + 2sin (2 - ?)2=3 + 2sin 2?+ v3sin2? 兀=4 + 2sin (2?-6), 因为？e(6,2),可得：2?- 66(3年)， 所以 sin (2? - 6) (2,1,可得：？+ ? = 4+ 2sin (2?- 6) (5,6.第二部分13. 60 或 12014. 3【解析】因为 sin?= -, ?= v3sin?,3匕二十口口 cc ?s

12、in? 为sin? 3 工 所以由正弦正理可得：？?=-=3=可15. 钝角16. v3- 1【解析】由 /?15 , / ?45 可得 / ?30 , /?s?135 , Z?90 - (15 + ?-30 = 45 - ?由内角和定理可得Z ?180 - (45 - ?- 45 = 90° + ?根据正弦定理可得50sin30?sin15 '即? 100sin15=100 Xsin(45 - 30 ) = 25V2(v3-251），又 sin4525 &(m-1)sin (90°+?25sin4525 V2(巨1)cos?得 cos?= v3 -17.

13、2V21?1【解析】因为 2? ? 2 ?2 = 2?sin?P ? = 2?sin?由余弦定理得cos?=?吊+?仪-?22?所以？+?=?+ 2?cos=?2?sin+?2?cos?代入得?+ ?= ?+?= 2sin?+ 2cos?= 2V2sin (?+ 4),当？?= 4时，?+ 4?取得最大值为2莅.第三部分118. (1)因为函数 ? = -sin(?+ ? (?> 0, 0 < ?< 兀)为偶函数，所以?= p ?= 2sin (?+ 2) = cos?因为点？ ？?分别为函数？?= ?图象上相邻的最高点和最低点，且?:? V2,所以"(?)+ 1

14、= V2,所以?=兀，1函数?= -cos 兀?(2)因为？?= 1, ?=/，？7? = 1cos( %?-) = 1 cos?= 、兀/2兀/24、3所以 cos?= j所以？?=。61a，、，i一 位 ?,由正弦定理可得嬴=sin?,求得sin?= y,所以？?= 4或?=当？= 4 时，？?=兀-? ?= 72；当？?= ?时，?=兀-?- ?= 11.如图，连接？?则有四边形？?？?a积?=?+ ？?=1 ？sin？? 1?sin? 22?+ ?= 180 , .? = 2(? ?)sin?1 , 一一 、一=2(2 X4 + 6 X 4)sin?=16sin?.由余弦定理，在 ?,

15、?2? = ?+ ?- 2?cos?=22 + 42 - 2 X2 X4cos?=20 - 16cos?,在?=?+ ?- 2?cos?=62 + 42 - 2 X6 X4cos?=52 - 48cos?.20 - 16cos?= 52 - 48cos?,cos?= -cos?,1.64cos?= -32 , cos?=-万,?= 120 ,?= 16sin12020. (1)已知 sin?+ cos?= 1-?.? sin 2,?所以2sin cos + cos2?2sin2?2cos2?+ sin22 ?. ?2- sin2,整理即有又？?为?的角，所以sin?- 2所以2sin ?cos

16、?-22? sin (2cos? 一一sin 2 w0,所以? 1 cos -=-22? (sin2sin2sin2?+ 2sin?= 0,2?2sin ?+ 21) = 0.?-2?cos?2? -2sin 万 cos 万 +? 3_ 1=4c ?cos2 - +2cos=二？ sin?=二.2 sin? 1(2)因为？+?= 4(?+ ?- 8,所以? + ?- 4?- 4?+ 4+4=0 ? (? 2)2 + (?- 2)2 = 0? ?= 2,?= 2. sin ?- cos2?= 2 > 0 , 4 < 2?< 2，即 2 < ?< 兀，cos?<

17、 0,所以 cos?= - Vl - sin2?=-=, 所以?= V?3 + ?- 2?cos? V7+ 1.21. (1)由？cos?= (2?- ?cos?及正弦定理可得 sin?cos?= (2sin?- sin?)cos? 所以 sin?cos?+ sin?cos?= 2sin?cos?所以C.又？+ ?+ ?= Tt,所以 sin?= 2sin?cos?因为 0 < ?< Tt,所以 sin?> 0,所以 cos?= 1,2又 0 < ?< Tt,所以？?=3,、,、一 一 2 兀2)由 1)可知？?+ ?=可,3因为三角形是锐角三角形，所以，0 &l

18、t; ?< :，且 0 < 二-?<。解得: < ?< 即。< sin?< 1 . 232622?= 2sin?- cos2? = 2sin?- (1 - 2sin2?=2sin2?+ 2sin?- 1=2 (sin? + 1) - |.所以？e(2,3),(3)方法周长？?= ?+ ?+ ?= ?+?+ 1 ,由余弦定理得？ = ?+ ?- 2?cos?所以 1 = ?+ ?- ? (?+ ?2- 3?即o(?+ ?2(?+ ?2 = 1 + 3? 1 + 3 ?4当且仅当？?= ?初取等号,所以(?+ ?2 W4,又？?+ ?> 1,即 1

19、< ?+ ?w 2, ?e (2,3.方法二：第11页（共10页）由正弦定理得2?=?sin?=12V3Sin = "3"周长？ = ?+ ?+ ?=?+?+ 1 = _ (sin?+ sin?) + 13=2-3sin?+ sin(g - ?)+ 1 33=-7-(sin? + y cos?+ ；sin?)+ 1 322=2T3 (3 sin?+ 3 cos?) + 1 322V31=2(ysin?+ 2 cos?) + 1兀=2sin (?+ 6) + 1.因为6< ?+ 6<表所以 sin (?+ 6) (1,1,所以?e (2,3.22. (1)因为?等边三角形，?等腰三角形且 ？?