2021 东城二模（官方版答案）.docx

1、北京市东城区2020-2021学年度第二学期高三综合练习(二)数学参考答案及评分标准2021.5一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分)(I) D(2) B(3) C(4) C(5) A(6) A(7) D(8) C(9) B(10) B二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)(II) 3(12)若/_Lq, I / 则 aJL/?(答案不唯一)4 V2(13) x = -l 5(14)5 10(15) 三、解答题(共6小题，共85分)(16) (本小题13分)解：(I )因为必工平面ABCD,所以 PAA.AD,因为 AB.LBC, AD/BC,所以AB±AD.又因为 P

2、A, Aficz 平面 PAB,= A,所以ADL平面45. 5分(II)因为 PAA.平面 ABCD,所以 PA±AB.由(I )矢口， PA±AD, ABA.AD.如图，建立空间直角坐标系A xyz.因为 PA = AB = AD = 1, BC = 2,所以 A(O,O,O), C(l,2,0), £)(0,1,0), P(O,O,1),UUUluuuDC = (1,1,0), OP = (0,1,1).八z设平面PCD的法向量m = (x. y.z),pr uuur/：由!"籍得 xx mOP = 0,_y + z = 0./ i_'、)

3、L/a令y = l,则x = l,z = l,/b七所以平面PCD的法向量m = (1,1,1).平面ABCD的法向量 =(0,0,1) 设二面角P-CD-A大小为9,。为锐角.cos 0 =| cos < m. n >|=13分所以二面角PQ-A的余弦值为手(17) (本小题13分) 解：(I)设等比数列%的公比为q,所以Q +。应=3,34解得axq' +%q = 24, =1,=2.所以 %=%.qT =2t . 5分(II)选择条件：bn = log? -因为如=1理2 %一 =1理2 2(2n-1)-1 = log2 22w-2 =2n-2.所以如-b = 2(

4、+1) 2 (2 一 2) = 2 又因为=0,13分所以如是首项4=。，公差d = 2的等差数列 所以&= 心妲，(。+ 2-2)顼_.22选择条件：bn = an + In . 设 cn = In ,所以，+ cn 2( +1) 2 = 2.又因为q =2,所以%是首项q=2,公差d = 2的等差数列. 因为。=。+2 = 2心+2，所以& =b +b2+b3+L + 妃i +bn=(2° + 2) + (21 + 4) + Q2 + 6) +L + 2-2 + 2( ) + (2-】+ 2)= (2° + 21+22+L +2一2 + 2t)+ 2 +

5、 4 + 6+L +2( 1) + 2 _ 1 - 2 .(2 + 2)-1-2 +2=2" + W + 皿1. 13分(18) (本小题14分)解：(I )记事件A为“从全市居民的8类人均消费支出中随机选取1类，这类人均消费支出超过1000元”.从全市居民的8类人均消费支出中随机选取1类，共有8种等可能的取法，其中有3类人均消费支出超过1000兀.所以 P(A) = .8(II) X所有可能的取值为1, 2, 3.P(X = 1)c2Cc3328ClC2 15心=2)=甘=赤p(X=3) =典=兰C； 14则X的分布列为X123P352828143155 9E（X） = lx二+

6、2x + 3x = _ .282814 4(III)(19)14分衣着、居住、交通和通信、医疗保健. （本小题15分）I ) jf'(x) = cosjr-cosx + (x-")sinx = (x-i)sinx ,因为广（q） = 0,所以曲线y = jf（x）在工="处的切线方程为y = sino，因为切线过点（0冷），所以sina = §,因为2-<a<-9所以危23(II ) iS：g(X)= sinX-(A：-(7)COSA：-(73+ 1 ,工£一；,；.g'(x) = (x-o)sinx，令g'(X)=

7、O'得尤=",尤2=°JT(1)<。<0 时,2g（x）与g'W的情况如下:X712711 2 )a(。,0)0H)712g'+00+-疽/疽 + Q + 1/设 *（。）=-a，+ a +1, /f （。）= 一3屏 +1 = 0 ,因为一；。0,所以。=一雄）在（当上单调递减，在（-乎,0）上单调递增,所以/7。）的最小值为峪手）=亨一* + 1 = 1-孕.因为 0 ,所以g（0）0.所以一兰QVO时，f（x）a3 -I恒成立.7T(2) OVczv 时,2因为<?(-) = sin(-)-(- -z)cos(-)-+1 =

8、_疽 <0 ,所以当0-a时，不等式/*（尤）W-1并非对E-捎恒成立15分综上所述实数的取值范围是（弋，。）（20）（本小题15分）解：（I）依题意有a + c = 3（a-c。=2,a2 =b2 +（?,），解得Vci = 2, b = R c = 1.所以椭圆C的方程为（II）由题可知，直线/的斜率存在，设直线/的方程为了-1 =灯尤-2）.联立>_心_2）+ 1,消 了得 俱2+3）工2+8灯1_2小 + 我_6#_8 = 0,32+4/=12,'）A = 64比2（_2）2 4（4比 + 3）（16比之一16人一8）= 192R + 96>0 ,市车得k&g

9、t; 设 M（X|，Y），N（X2，%），则 M +花二匕）'*内=4k2+316Z?16S8（x-2）,今得为=）4-勾,所以。易,工一 2-乂 （工22）、 M _ 2 /乂（易_2）|浴 E Hill 工|一2 2 乂（花一2）+ 力（万 一2）设研今北），则无=2=又F一直线BE的斜率kBE =旦土-x2 -2乂（花一2）+ 力（万一2）2（石 - 2）（易 - 2）奴+ （1 2#）（花一2） + 奴2 + （1 - 2 幻（M 2）2（工1 一 2）（易 一 2）其中 g + （1 2&）（易2） + 奴 +（1 - 2幻3 2）2成乂2 + （1 _ 4化）（茶

10、+ %2） 4（1 _ 2k）2瓦16妃_戚8）+ 8灯1 4 幻（2S1） 4（1 2Q（4 妒 +3）4好+3-124时+3（%, -2）（易 一2）=而工2 一2（工+尤2）+ 416好 _ 16S 8 -16灯2S1） + 4（4炉 + 3）4而344好+3-12所以1-*+333r即直线况的斜率为定值亍15分(21)(共 15 分)解：(I ) S(A 2)= 1,2,3.(II)由于 A：勺 x2,L , x,(n > 2),不妨设 %)<x2 <L < xn,令 S = f + x2 +L + xn 则S(A, 1)中的元素为：金二旦，zi-1 一 1n-因为M <x2 <L <x/z,所以有一 1n-1n-1因为.一l)(i = l,2L ,)，所以室色n-n-化简可得：(n-2)xfl<(n-2)xl9 从而可得Xi =x,10分从而数列A为常数列.(III)对任意的4，2，L ,",农1有X； +x +L