第三章平面任意力系

1、第三章平面任意力系第一节力对点之矩第二节平面力偶系第三节力线平移定理第四节平面任意力系的简化第五节平面任意力系的平衡方程及应用第六节静定与静不定问题的概念第七节物体系统的平衡问题第八节考虑摩擦时物体的平衡问题第一节力对点之矩一、力对点之矩的概念力对物体的作用效应有两种情况：如果力的作用线通过物体的质心，将使物体在力的方向上平动，例如放在光滑桌面上的矩形玻璃板（图 ），在力作用下平动；如果力的作用线不通过物体的质心，物体将在力作用下边平动边转动（图 ）。图-第一节力对点之矩图-二、力矩的性质第一节力对点之矩()力对点之矩不仅取决于力的大小，同时还与矩心的位置有关；力的大小等于零或力的作用线通过矩

2、心时，力矩等于零。()力对点之矩不因该力沿其作用线移动而改变，因为此时力和力臂的大小均未改变。()互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和等于零。()合力对作用面内任一点之矩，等于该力在同平面内各分力对同一点之矩的代数和，即（）（）（）（ ）图-第一节力对点之矩三、力矩的计算对于力臂容易求出的，可直接按式（ ）进行计算。图-第一节力对点之矩例-图-中带轮直径，平带拉力，与水平线夹角。求平带拉力、对轮心之矩。解平带拉力沿带轮的切线方向，则力臂，而与角无关。根据式(-)得（）/图-第一节力对点之矩例-作用于圆柱直齿轮上的啮合力，节圆直径，压力角，如图-所示。求啮合力对轮心之矩。解将力正交分解为和两个分

3、力，如图-所示，其中，。根据合力矩定理，有第二节平面力偶系一、力偶的概念在实践中常见物体受两个大小相等、方向相反、作用线互相平行的两个力的作用。例如，拧水嘴、转动方向盘等，如图 、所示，其上作用的力都是一对反向平行力，由于这两个力不满足二力平衡条件，显然不会平衡。在力学上把大小相等、方向相反、作用线互相平行的两个力，称为力偶，记作（，）。力偶的两个力所在的平面，叫做力偶作用面，两力作用线间的垂直距离，叫做力偶臂，以表示，见图 。图-第二节平面力偶系图-第二节平面力偶系图-二、平面力偶的等效条件第二节平面力偶系作用在同一平面内的力偶，称为平面力偶。平面力偶的等效是指它们对物体的转动效应相同。因为

4、力偶对物体只产生转动效应，而转动效应取决于力偶的三要素，因此，平面力偶的等效条件是：它们的力偶矩保持不变。换句话说，力偶的三要素是平面力偶的等效条件。例如，图 中作用在方向盘上的力偶（，）或（，），虽然它们的作用位置不同，但如果它们的力偶矩大小相等、转向相同，则对方向盘的作用效应就一样。又如，图 中作用在丝锥扳手上的力偶（，）或（，），虽然，但如果两力偶矩相等，即，则它们对扳手的作用效应就相同。第二节平面力偶系图-第二节平面力偶系图-10三、力偶的性质()力偶无合力，即力偶不能与一个力等效，因此，力偶也不能与一个力平衡。第二节平面力偶系()在保持力偶矩的大小和转向不变的条件下，力偶可以在其作用

5、面内任意转移，或同时改变力和力偶臂的大小，而不改变它对刚体作用的效应。()在保持力偶矩的大小和转向不变的条件下，力偶可以从一个平面移到另一平行平面上去，而不改变它对刚体作用的效应。图-第二节平面力偶系四、平面力偶系的合成与平衡作用在同一平面的一群力偶，称为平面力偶系。图-例-梁受一力偶作用，其矩，第二节平面力偶系尺寸见图-，求支座、的约束力。解取梁为研究对象。作用于梁上的有矩为的力偶，支座、的约束力和。由支座的约束性质可知，的方位可定，而的方位不定。若不计梁的重量，根据力偶只能与力偶相平衡的性质，可知必与组成一个力偶(，)，即与大小相等、方向相反、作用线平行，指向假设。据平面力偶系的平衡方程解

6、得/因此第二节平面力偶系图-例-电动机轴通过联轴器与工作轴相连接，第二节平面力偶系联轴器上四个螺栓、的孔心均匀地分布在同一圆周上，如图-所示，此圆的直径，电动机轴传给联轴器的力偶矩.，求每个螺栓所受的力。解取联轴器为研究对象。作用于联轴器上的力有电动机传给联轴器的力偶矩、四个螺栓的约束力，假设四个螺栓的受力均匀，即，其方向如图示，则与、与组成两个力偶，并与电动机传给联轴器的力偶矩相平衡。据平面力偶系的平衡方程。解得/25/.第三节力线平移定理图-第三节力线平移定理图-15第三节力线平移定理图-第三节力线平移定理图-7第四节平面任意力系的简化图-第四节平面任意力系的简化图-()若，则原力系简化为

7、一个力偶，第四节平面任意力系的简化其矩等于原力系对简化中心的主矩。()若，则原力系简化为一个力。()若，则原力系简化为一个力和一个力偶。()若，则原力系是平衡力系。第五节平面任意力系的平衡方程及应用图-例-悬臂吊车如图-所示。第五节平面任意力系的平衡方程及应用横梁，长2.，重力.。拉杆延长线与梁相交于点，其倾角，重力不计。电葫芦连同重物重力.。试求当电葫芦在的位置时，拉杆的拉力和铰链的约束力。解)选横梁为研究对象。)画受力图。)选图示坐标。解得/25(1.21.257.5)讨论。第五节平面任意力系的平衡方程及应用/)校核计算结果。例如，再取点为简化中心，列力矩方程解得图-第五节平面任意力系的平

8、衡方程及应用例-悬臂梁长为，在均布载荷，集中力偶和集中力作用下平衡，如图-所示。设，试求固定端处的约束力。在解题时应注意以下几点：()固定端处的约束力，除了、之外，还有约束力偶。()力偶对任一轴的投影均为零；力偶对作用面内任一点之矩恒等于力偶矩。()均布载荷是单位长度上受的力，其单位为或。解取悬臂梁为研究对象。受力图及所取坐标如图-所示。列平衡方程求解第五节平面任意力系的平衡方程及应用解得/()二力矩式平衡方程（ ）()三力矩式平衡方程（ ）图-第五节平面任意力系的平衡方程及应用例-塔式起重机的结构简图见图-。设机架重力，重心在点，与右轨相距.。最大起重量，与右轨最远距离。平衡物重力为，与左轨

9、相距，两轨相距。试求起重机在满载与空载时都不致翻倒的平衡物重的范围。解取起重机整机为研究对象。起重机在起吊重物时，作用其上的力有机架重力，平衡物重力，起重量以及轨道对轮、的约束力、，这些力组成平面平行力系，受力图如图-所示。起重机在平衡时，力系具有、和三个未知量，而力系只有两个独立的平衡方程，问题成为不可解。第五节平面任意力系的平衡方程及应用解得/15/.空载（）时，起重机可能绕轨左翻，在平衡的临界情况，右轮将悬空，这时由平衡方程求出的是平衡物重力的最大值。列平衡方程解得（）/（15）/在取定的条件下，平衡物重力的范围为。第七节物体系统的平衡问题例-人字梯由、两杆在点铰接又在、两点用水平绳连接

10、。梯子放在光滑的水平面上，其一边有人攀梯而上，梯子处于平衡。已知人重力，梯子重力不计，其他尺寸见图-。求绳子的张力和铰链的约束力。图-解)先取人字梯为研究对象。受力如图-所示。第六节静定与静不定问题的概念第七节物体系统的平衡问题显然梯子在、组成的平面平行力系作用下处于平衡。列平衡方程求解（）解得/（）解得/)再选杆为研究对象。()选择“最佳解题方案”问题。()选择平衡方程形式问题。第七节物体系统的平衡问题例-图-所示多跨梁，由梁和梁用中间铰连接而成。端为固定端，端由活动铰支座支承。已知，。试求、三点的约束力。图-解若取梁为研究对象，由于作用力较多，则计算较繁。从多跨梁结构来看，梁上未知力较少，

11、故将多跨梁拆开来分析为最佳解题方案。第七节物体系统的平衡问题)先取梁为研究对象，受力如图-所示，均布载荷可以化为作用于点的集中力(在受力图上不再画，以免重复)。（）解得/（）解得/)再取梁为研究对象，受力如图-所示。解得（）第七节物体系统的平衡问题解得()负值表示端约束力偶的实际转向是顺时针。()首先弄清题意，明确要求，正确选择研究对象。()分析研究对象的受力情况，并画出受力图。()选取坐标轴，列平衡方程。()解方程，求未知量。()讨论和校核计算结果。第八节考虑摩擦时物体的平衡问题一、摩擦现象摩擦在自然界里是普遍存在的现象。前面讨论物体平衡问题时，总是假定两物体的接触表面是绝对光滑的，将摩擦忽

12、略不计，但绝对光滑的表面事实上并不存在。工程实际中，许多构件的接触面比较光滑而且具有良好的润滑条件，摩擦力不起重要作用，为了简化问题而略去摩擦。但在许多问题中，摩擦力对物体的平衡与运动起着主要作用，因此必须考虑摩擦。例如，制动器靠摩擦制动（图 ）、传动带靠摩擦传递运动、车床的卡盘靠摩擦夹固工件（图 ）等。第八节考虑摩擦时物体的平衡问题图-二、滑动摩擦第八节考虑摩擦时物体的平衡问题两物体接触面作相对滑动或具有相对滑动趋势时的摩擦，称为滑动摩擦。1.静滑动摩擦图-第八节考虑摩擦时物体的平衡问题2.动滑动摩擦继续上述实验，若力再增加，只要略大于，盘就产生滑动。把两物体间有相对滑动时的摩擦，称为动滑动

13、摩擦，简称动摩擦。此时，出现的阻碍物体滑动的力，称为动滑动摩擦力，简称动摩擦力，以表示。三、考虑摩擦时物体的平衡问题第八节考虑摩擦时物体的平衡问题考虑摩擦时物体的平衡问题也是用平衡条件来求解，解题方法与步骤与前面相同。只是在画受力图时必须加上摩擦力。当物体处于平衡状态时，静摩擦力为零与之间的任何值，应由平衡方程来确定；其方向与物体相对滑动趋势方向相反。由于是一个范围值，主动力也在一定范围内变化，因此问题的解答也是一个范围值，称为平衡范围。要确定这个范围可采取两种方式：一种是分析平衡的临界情况，假定摩擦力取最大值，以作为平衡的补充方程，求解平衡范围的极值；另一种是直接采用，以不等式进行运算。第八

14、节考虑摩擦时物体的平衡问题解法：首先假设物体处于静止状态，由平衡方程求出静摩擦力和法向约束力；再由静摩擦定律，求出；最后将与的大小进行比较；若，则物体确实处于静止状态；若，则物体已进入运动状态，所求无意义。例-物块重力，置于倾角的斜面上，如图-所示，受沿斜面的一推力的作用。已知物块与斜面间的静摩擦因数.。试问物块是否处于静止?第八节考虑摩擦时物体的平衡问题图-解取物块为研究对象。)假设物块处于静止状态，并有向上滑动的趋势。第八节考虑摩擦时物体的平衡问题解得（）)求最大静摩擦力。)比较与的大小第八节考虑摩擦时物体的平衡问题解法：首先由平衡方程求出静摩擦力和法向约束力；然后假设物体处于临界平衡状态

15、，静摩擦力取最大值，即作为补充方程，由此解出的最小值。或直接采用作为补充方程，解出。例-起重夹具由和两相同的弯杆组成，并由杆连接，和都是铰接，结构和尺寸见图-所示，尺寸单位为。此夹具依靠摩擦提起重物。试问夹具若能提起重物静摩擦因数至少应为多大?图-第八节考虑摩擦时物体的平衡问题解先由平衡方程求出和。)取夹具整体为研究对象，设工件重，夹具自重不计，见图-，由二力平衡条件可求出。)再取吊钩为研究对象，受力如图-所示。)再取工件为研究对象，受力如图-所示。)最后取弯杆为研究对象，受力如图-所示。（）解得/假设工件与弯杆处于临界平衡状态，列补充方程解法同第二类问题。由此解出的外力或某尺寸也是个范围值。

16、第八节考虑摩擦时物体的平衡问题例-制动器的构造简图见图-所示。已知制动轮与制动块之间的静摩擦因数，鼓轮上挂一重物，重力为，几何尺寸见图。求制动所需最小的力。图-解先由平衡方程求出和。第八节考虑摩擦时物体的平衡问题)取制动轮和鼓轮为研究对象，受力如图-所示，列平衡方程（）解得/)再取制动杆(含制动块)为研究对象，受力如图-所示，列平衡方程（）四、滚动摩擦第八节考虑摩擦时物体的平衡问题摩擦不仅在物体滑动时存在，当物体滚动时也存在。从经验知道，滚动比滑动省力，所以在工程实际中常用滚动代替滑动。例如，搬运重物时若在重物底下垫上滚杆，就比直接放在地面上省力得多；机器中广泛采用滚动轴承代替滑动轴承以减少摩擦力等。图-第八节考虑摩