第5章有限长单位脉冲响应(FIR)滤波器的实现

1、1第第5 5章章 有限长单位脉冲响应（有限长单位脉冲响应（FIRFIR）滤）滤波器的设计方法波器的设计方法5.1 5.1 线性相位线性相位FIRFIR滤波器的特点滤波器的特点5.3 5.3 频率采样设计法频率采样设计法5.45.4* * FIR FIR滤波器的最优化设计法滤波器的最优化设计法5.5 IIR5.5 IIR与与FIRFIR数字滤波器的比较数字滤波器的比较5.2 5.2 窗口设计法窗口设计法2FIR数字滤波器的差分方程描述：数字滤波器的差分方程描述：10)()(Niiinxany所以系统函数亦可表示为：所以系统函数亦可表示为：10( )(1)NiiiH za zFIR滤波器为有限长单

2、位脉冲响应滤波器，且：滤波器为有限长单位脉冲响应滤波器，且：10( )( )(2)NnnHzh n z 比较比较(1)、(2)两式可知两式可知 。( )iah n3FIR数字滤波器的特点数字滤波器的特点(与与IIR数字滤波器比较数字滤波器比较)：优点优点: (1)很很容易获得严格的线性相位容易获得严格的线性相位，避免被处理的信号，避免被处理的信号 产生相位失真，这一特点在宽频带信号处理、阵列信号处产生相位失真，这一特点在宽频带信号处理、阵列信号处理、数据传输等系统中非常重要；理、数据传输等系统中非常重要；(2)可得到可得到多带幅频特性多带幅频特性；(3)极点全部在原点极点全部在原点(永远稳定永

3、远稳定)，无稳定性问题；，无稳定性问题；(4)任何一个非因果的有限长序列，总可以通过一任何一个非因果的有限长序列，总可以通过一 定的延时，转变为因果序列，定的延时，转变为因果序列， 所以所以因果性总是满足因果性总是满足；(5)无反馈运算，运算误差小。无反馈运算，运算误差小。4缺点：缺点： （1）因为无极点，要获得好的过渡带特性，需以较高的）因为无极点，要获得好的过渡带特性，需以较高的阶数为代价；阶数为代价； （2）无法利用模拟滤波器的设计结果，一般无解析设计）无法利用模拟滤波器的设计结果，一般无解析设计 公式，要借助计算机辅助设计程序完成。公式，要借助计算机辅助设计程序完成。55.1 5.1

4、线性相位线性相位FIRFIR数字滤波器的特性数字滤波器的特性5.1.1 5.1.1 线性相位的条件线性相位的条件线性相位意味着一个系统的相频特性是频率的线性函数，即线性相位意味着一个系统的相频特性是频率的线性函数，即: :( ) 式中式中 为常数，表示此时通过这一系统的各频率分量的时为常数，表示此时通过这一系统的各频率分量的时延；延；( )gdd 系统的系统的群时延群时延为为:6线性相位线性相位FIR滤波器的滤波器的DTFT为为 1()0Njj njjnH eh n eHeHe 式中式中 H()是是正或负的正或负的实函数实函数。等式中间和等式右边的实。等式中间和等式右边的实部与虚部应当各自相等

5、，同样实部与虚部的比值应当相等部与虚部应当各自相等，同样实部与虚部的比值应当相等: NnNnnnhnnhcossincossin 将上式两边交叉相乘，再将等式右边各项移到左边，应将上式两边交叉相乘，再将等式右边各项移到左边，应用三角函数的恒等关系得：用三角函数的恒等关系得： Nnnnhsin7满足上式的条件是：满足上式的条件是： 121,01Nh nh NnnN 另外一种情况另外一种情况是，除了上述的线性相位外，还有一附是，除了上述的线性相位外，还有一附加的相位，即：加的相位，即： ( ) 利用类似的关系，可以得出：利用类似的关系，可以得出： 1221Nh nh Nn ()gdd 系统的系统的

6、群时延群时延为为:8 20) 1( N 20) 5 . 0( N2 偶对称偶对称)(nh 奇对称奇对称)(nh图图5.1.1 线性相位特性线性相位特性95.1.2 线性相位线性相位FIR滤波器的幅度特性滤波器的幅度特性对于线性相位对于线性相位FIR滤波器滤波器h(n)有奇对有奇对称和偶对称两种情称和偶对称两种情况，且每种情况包况，且每种情况包含了含了N为奇数和偶为奇数和偶数数，所以共分所以共分四种四种情况情况:n0123 456h(n)(a)012345nh(n)(b)123456nh(n)(c)012345nh(n)(d)图图5.1.2 线性相位线性相位FIR滤波器滤波器h(n)的四种对称形

7、式的四种对称形式 101 1h(n) 偶对称，偶对称，h(n)=h(N-1-n)，N为奇数为奇数 。 1031122102312120( )1212jjNj nnNNNjj nj nNnnNNjjNnj nnH eHeh n eNh n eheh n eNh neehe n0123 456h(n)11 2121cos221)()(23021212302121NhNnnheNheenheeHNnNjNnjNnNnjNjj(3)/2011( )2 ( )cos22NnNNHhh nn1( )2N 12令令 ， 则则21Nnm2/ ) 1(1cos)21(221)(NmmmNhNhH21, 2 ,

8、1,212)(,21)0(NnnNhnaNha令：令： (1)/20( )cosNnHa nn则：则： 由于由于 偶对称，因此偶对称，因此 对这些频对这些频率也呈偶对称，有率也呈偶对称，有 。 Hcos0n关于， ，2( )(2)HH132 2h(n)偶对称，偶对称，h(n)=h(N-1-n)， N为偶数。为偶数。 120211201120112021cos21NnNjNnnNjnjNnnNjNnnjjNnnheeenhenNhenheH由于由于 ，所以：，所以：11( )cos (22NNh nn与都关于对称 1212 ( )cos2Nn NNHh nn012345nh(n)14/ 211(

9、 )cos2( )212NnHb nnNb nhn或写为：或写为： 2/121cos122NmmmNhH令令 ，则，则12Nmn 由于由于 奇对称，所以奇对称，所以 关于关于 也为奇对称，有也为奇对称，有 。另由于。另由于 时，时， 因此，因此，处必有一零点，因此这种情况处必有一零点，因此这种情况不能用于设计不能用于设计 时时 的滤波器，如的滤波器，如高通、带阻滤波器高通、带阻滤波器。对2/1cosn1)(, 0)(zzHH在故 0H, 02/1cosnH（ ）( )(2)HH 153. 3. h(n)奇对称，奇对称，h(n)=-h(N-1-n)， N为奇数为奇数 23022123011212

10、3021sin2NnNjNnnNjnjNNnnjNnnjjNnnheeenhenhenheH0123456nh(n)16)21(sin)(2)(230NnNnnhH令令 n=m+(N-1)/2，得：，得： 2/ )1(1sin212NmmmNhH mmNhHNm211sin21217 由于由于 时，时， 相当相当于于H(z)在在 处有两个零点，不能用于处有两个零点，不能用于 的滤波器设计，故的滤波器设计，故不能用作低通、高通和带阻滤波器的设计。不能用作低通、高通和带阻滤波器的设计。1z2 , 0 , 0, 0sinHn 00)0(HH和121( )sin1( )22NnHc nnNc nhn所

11、以所以 由于由于 点呈奇对称，所以点呈奇对称，所以 对这些点也奇对称，有对这些点也奇对称，有 。2 , 0sin对n H (2)HH 184. 4. h(n)奇对称，奇对称，h(n)=-h(N-1-n)，N为偶数为偶数 12022121sin2NnNjjNnnheeH12Nnm令令)21(sin)12(2)(21NmmmNhH则：则：/ 211( )sin2NnHd nn( )212Nd nhn 即：即：012345nh(n)19四种线性相位四种线性相位FIR DF特性图特性图5.1.3，（参考，（参考 P193 表表5.1）第一种情况：偶、奇，四种滤波器都可设计。第一种情况：偶、奇，四种滤波

12、器都可设计。第三种情况：奇、奇，只能设计带通滤波器，其它滤波器第三种情况：奇、奇，只能设计带通滤波器，其它滤波器 都不能设计。都不能设计。第四种情况，奇、偶，可设计高通、带通滤波器，不能设第四种情况，奇、偶，可设计高通、带通滤波器，不能设 计低通和带阻。计低通和带阻。第二种情况：偶、偶，可设计低、带通滤波器，不能设计高第二种情况：偶、偶，可设计低、带通滤波器，不能设计高 通和带阻。通和带阻。 由于由于 在在=0,2处为零，所以处为零，所以H()在在=0, 2处为零，即处为零，即H(z)在在z=1上有零点，上有零点，不能用于不能用于 的滤波器的滤波器的设计，如的设计，如低通、带阻低通、带阻；又由

13、于；又由于H()关于关于=0,2呈奇对称，呈奇对称，关于关于=偶对称偶对称，所以有，所以有 。)21(sinn( )(2)HH0)0(H20图图5.1.3 5.1.3 四种线性相位四种线性相位FIRFIR滤波器滤波器21例例5.1 N=5, h (0) = h (1) = h (3) = h (4) = -1/2, h (2) = 2，求幅度函数求幅度函数H ()。所以：所以：a (0) = h (2) = 2， a (1) = 2h (3) = -1， a (2) = 2h (4) = -1则：则： H () = 2 - cos- cos2 = 2-(cos+cos2) 解解：已知条件：已知

14、条件：为奇数并为奇数并且且h(n)h(n)满足偶对称，满足偶对称，所以有所以有)21(2),21()cos()(02/ )1(0nNhaNhanaHnNnn22小结：小结：四种四种FIR数字滤波器的相位特性只取决于数字滤波器的相位特性只取决于h(n)的对称性，而与的对称性，而与h(n)的值无关。的值无关。幅度特性取决于幅度特性取决于h(n)。设计设计FIR数字滤波器时，在保证数字滤波器时，在保证h(n)对称的条对称的条件下，只要完成幅度特性的逼近即可。件下，只要完成幅度特性的逼近即可。注意：若注意：若h(n)为奇对称时，其相频特性中还应为奇对称时，其相频特性中还应加一个固定相移加一个固定相移/

15、2。235.1.3 线性相位线性相位FIR滤波器的零点特性滤波器的零点特性)1()(nNhnh由于线性相位由于线性相位FIRFIR滤波器的单位脉冲响应具有对称性，即：滤波器的单位脉冲响应具有对称性，即： 101101)(NmmNNmmNzmhzzmhzH 11NH zzH z 101NnnznNh 10NnnznhzH则：则：24由该式可看出，若由该式可看出，若z=zi是是H(z)的零点，则的零点，则z=z-1i也一定是也一定是H(z)的零点。由于的零点。由于h(n)是实数，是实数，H(z)的零点还必须共轭的零点还必须共轭成成对，所以对，所以z=z*i 及及 z=1/z*i 也必是零点。也必是

16、零点。 所以所以线性相位滤波器的零点必须是互为倒数的共轭对，即线性相位滤波器的零点必须是互为倒数的共轭对，即成四出现成四出现，这种共轭对共有四种，这种共轭对共有四种可能的情况：可能的情况：既不在单位园上，也不在实轴上，有四个互为倒数的两既不在单位园上，也不在实轴上，有四个互为倒数的两组共轭对，组共轭对， zi，z*i，1/zi，1/z*i ； 图图5.1.4(a)， 在单位圆上，但不在实轴上，因倒数就是自己的共轭，在单位圆上，但不在实轴上，因倒数就是自己的共轭，所以有一对共轭零点，所以有一对共轭零点， zi , z*i 图图5.1.4(b)，不在单位圆上，但在实轴上，是实数不在单位圆上，但在实

17、轴上，是实数,共轭就是自己，所共轭就是自己，所以有一对互为倒数的零点以有一对互为倒数的零点, zi，1/zi； 图图5.1.4(c)，既在单位圆上，又在实轴上，共轭和倒数都合为一点，既在单位圆上，又在实轴上，共轭和倒数都合为一点，所以成单出现，只有两种可能，所以成单出现，只有两种可能，zi=1或或zi=-1图图5.1.4(d)。 25图图5.1.4 线性相位线性相位FIR滤波器的四种不同零点结构滤波器的四种不同零点结构26 我们从幅度响应的讨论中已经知道我们从幅度响应的讨论中已经知道: 对于第二种对于第二种FIR滤波器（滤波器（h(n)偶对称，偶对称，N为偶数），为偶数），H()=0 ，即，即

18、z=ej=- -1是是H()的零点，既在单位圆，又在实轴的零点，既在单位圆，又在实轴，所以，所以， 必有单根必有单根z=- -1 ； 同样道理，对于第三种同样道理，对于第三种FIR滤波器，滤波器，h(n)奇对称，奇对称，N为奇为奇数，因数，因H(0)=0, H()=0 ，所以，所以z=1，z=- -1都是都是H(z)的单根；的单根； 对于第四种滤波器，对于第四种滤波器，h(n)奇对称，奇对称，N为偶数，为偶数，H(0)=0，所以所以z=1是是H(z)的单根。的单根。 所以，所以，h(n)奇对称奇对称H(0)=0。 线性相位滤波器线性相位滤波器是是FIR滤波器中最重要的一种，应用最滤波器中最重要

19、的一种，应用最广。实际使用时应根据需用选择其合适类型，并在设计时遵广。实际使用时应根据需用选择其合适类型，并在设计时遵循其约束条件。循其约束条件。275.2 窗口设计法（时域）窗口设计法（时域） 如果希望得到的滤波器的理想频率响应为如果希望得到的滤波器的理想频率响应为 ，那么，那么 FIR滤波器的设计就在于寻找一个传递函数滤波器的设计就在于寻找一个传递函数 去逼近去逼近 。)(jdeH10)(NnjnjenheH)(jdeH窗口设计法窗口设计法(又称为时域逼近法）又称为时域逼近法）是从单位脉冲响应序列着手，是从单位脉冲响应序列着手，使使h(n)逼近理想的单位脉冲响应序列逼近理想的单位脉冲响应序

20、列hd(n)。我们知道。我们知道hd(n)可以可以从理想频响通过傅氏反变换获得：从理想频响通过傅氏反变换获得：1( )2jj nddh nHeed窗口设计法（时域逼近）窗口设计法（时域逼近）频率采样法（频域逼近）频率采样法（频域逼近）最优化设计（等波纹逼近）最优化设计（等波纹逼近）逼近方法有三种：逼近方法有三种：28 但一般来说，理想频响但一般来说，理想频响 是分段恒定，在边界频是分段恒定，在边界频率处有突变点，所以，这样得到的理想单位脉冲响应率处有突变点，所以，这样得到的理想单位脉冲响应hd(n)往往往都是无限长序列，而且是非因果的。但往都是无限长序列，而且是非因果的。但FIR的的h(n)是

21、有限长是有限长的，问题是的，问题是怎样用一个有限长的序列去近似无限长的怎样用一个有限长的序列去近似无限长的hd(n)。最简单的办法是最简单的办法是直接截取一段直接截取一段 hd(n) 代替代替 h(n) 。这种截取可。这种截取可以形象地想像为以形象地想像为h(n)是通过一个是通过一个“窗口窗口”所看到的一段所看到的一段hd(n)，因此，因此 ，h(n)也可表达为也可表达为hd(n)和一个和一个“窗函数窗函数”的乘积，即的乘积，即 在这里窗口函数就是矩形脉冲函数在这里窗口函数就是矩形脉冲函数RN(n)，当然以后我们，当然以后我们还可看到，为了改善设计滤波器的特性，窗函数还可以有其还可看到，为了改

22、善设计滤波器的特性，窗函数还可以有其它的形式，相当于在矩形窗内对它的形式，相当于在矩形窗内对hd(n)作一定的加权处理。作一定的加权处理。)(jdeH( )( )( )dh nw n h n29设计步骤：设计步骤：()( )jddHeh n设10)(NnjnjenheH1）由定义的求解方法：)(jeH2）卷积)()(21jjdeWeH)()(nheHdjd)()(nwnhd)(nh)(eHj设计的关键是选设计的关键是选择何种形状的窗择何种形状的窗以及窗的长度以及窗的长度N N。305.2.1 窗口函数对幅频特性的影响窗口函数对幅频特性的影响 以一个截止频率为以一个截止频率为c的线性相位理想低通

23、滤波器为例的线性相位理想低通滤波器为例,讨讨论论FIR的设计问题。的设计问题。a. 对于给定的理想低通滤波器对于给定的理想低通滤波器 ，计算，计算ha(n)(jdeHccjjdeeH01)(：低通滤波器的：低通滤波器的群群延时延时则则)()(sin(2121)(nndeedeeHnhcnjjnjjddcc31理想特性的理想特性的hd(n)和和Hd()(a)(b)图5.2.1 理想特性的hd(n) 和Hd()32 这是一个以这是一个以 为中心的偶对称的无限长非因果序列，如为中心的偶对称的无限长非因果序列，如果截取一段果截取一段n=0N-1的的hd(n)作为作为h(n)，则为保证所得到的是，则为保

24、证所得到的是线性相位线性相位FIR滤波器，延时滤波器，延时 应为应为h(n)的中心点的中心点,即即:2/ ) 1( N为其它值nNnonhnwnhnhdRd01)()()()(其中其中)()(nRnwNRb.计算计算( )h n33c.c.计算计算 : :)(jeH1()()*()2jjjdRH eHeW e设设 为窗口函数的频谱为窗口函数的频谱:)(jeWjjNNnnjnnjRjeeeenweW11)()(10)2/sin()2/sin(21NeNj用用幅度函数幅度函数和和相位函数相位函数来表示，则有来表示，则有jRjeWeW)()(其线性相位部分其线性相位部分 则是表示延时一半长度则是表示

25、延时一半长度je2/ ) 1( N34图图5.2.2 矩形窗序列矩形窗序列(n)=RN(n)及及WR()35理想频响也可以写成幅度函数和相位函数的表示形式理想频响也可以写成幅度函数和相位函数的表示形式其中幅度函数为其中幅度函数为|0|1)(ccdH()11()()*()()22jjjjjdRdRH eH eW eH eW ed deWeHjRjd)()()(21dWHeRdj)()(21对频响起作用的是它的对频响起作用的是它的幅度函数幅度函数: 2/sin2/sinNWR( )( )( )dRh nh n wn()( )jjddHeHe36如果也以幅度函数如果也以幅度函数 和相位函数来表示和相

26、位函数来表示 H(ej),则：则：jjeHeH)()()(H则则设计的设计的FIR滤波器的滤波器的频响的频响的幅度函数幅度函数H()为为:dWHHRd)()(21)( 正好是理想滤波器正好是理想滤波器频响的频响的幅度函数与窗函数幅度函数与窗函数谱的谱的幅度函幅度函数的卷积。数的卷积。下面我们可以通过图下面我们可以通过图.3来看矩形窗卷积的过程来看矩形窗卷积的过程: :37图图5.2.3 5.2.3 矩形窗的卷积过程矩形窗的卷积过程384 4个特殊频率点看卷积结果：个特殊频率点看卷积结果：(a)=0时时,H(0)等于等于在在-c, c内的积分面积内的积分面积)(RW 因一般因一般

27、 故故H(0)近似为近似为 在在-, 内的积内的积分面积。分面积。 Nc2)(RW(b)=c时，一半重叠，时，一半重叠， H(c)=0.5 H(0);(c) =c-2/N时，第一旁瓣时，第一旁瓣(负数负数)在通带外，出现正肩峰；在通带外，出现正肩峰；(d) =c+2/N 时，第一旁瓣时，第一旁瓣(负数负数)在通带内，出现负肩峰。在通带内，出现负肩峰。39窗口函数对理想特性的影响：窗口函数对理想特性的影响：改变了理想频响的边沿特性，形成改变了理想频响的边沿特性，形成过渡带过渡带，宽为，宽为 ，等于等于WR()的的主瓣宽度主瓣宽度 (决定于窗决定于窗的的长长度度N和形状和形状) 。过渡带两旁产生过

28、渡带两旁产生肩峰和余振肩峰和余振(带内、带外起伏带内、带外起伏)，取决于，取决于WR()的的旁瓣旁瓣，旁瓣多，余振多；旁瓣相对值大，肩峰值亦大，旁瓣多，余振多；旁瓣相对值大，肩峰值亦大，与与 N无关无关 (决定于窗口形状决定于窗口形状) 。N增加增加,过渡带宽过渡带宽度度减小减小,肩峰值不变。肩峰值不变。N4因主瓣附近因主瓣附近 其中其中x=N/2,所以所以N的改变不能改变主瓣与旁瓣的比例关的改变不能改变主瓣与旁瓣的比例关系，只能改变系，只能改变WR()的绝对值大小和起伏的密度的绝对值大小和起伏的密度，当，当N增加时，增加时， WR()幅值变大，宽度幅值变大，宽度( )减小，面积不变，起伏震荡

29、变减小，面积不变，起伏震荡变密，且最大肩峰永远为密，且最大肩峰永远为8.95%，这种现象称为吉布斯（，这种现象称为吉布斯（Gibbs）效应。效应。xxNNNNNWRsin2/)2/sin()2/sin()2/sin()(2/ N40051-40-30-21-100N=15N=31用矩形窗设计的用矩形窗设计的 c= /2 FIR滤波器的幅度响应滤波器的幅度响应图图5.2.4 矩形窗设计的矩形窗设计的FIR滤波器滤波器41 肩峰值的大小决定了滤波器通带内的平稳程度和阻带内肩峰值的大小决定了滤波器通带内的平稳程度和阻带内的衰减，所以对滤波器的性能有很大的影响。的衰减，所以对滤波器

30、的性能有很大的影响。 改变窗函数改变窗函数的形状，可改善滤波器的特性，窗函数有许的形状，可改善滤波器的特性，窗函数有许多种，但多种，但要满足以下两点要求要满足以下两点要求：窗谱主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带；窗谱主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带； 相对于主瓣幅度，旁瓣要尽可能小，使能量尽量集中相对于主瓣幅度，旁瓣要尽可能小，使能量尽量集中在主瓣中，这样就可以减小肩峰和余振，以提高阻带衰减和在主瓣中，这样就可以减小肩峰和余振，以提高阻带衰减和通带平稳性。通带平稳性。 但实际上这两点不能兼得，一般总是通过增加主瓣宽度但实际上这两点不能兼得，一般总是通过增加主瓣宽度来换取对旁瓣的抑制。来换取对旁瓣

31、的抑制。42几种常用的窗函数：几种常用的窗函数：1. 矩形窗，上面已讲过，不再细述矩形窗，上面已讲过，不再细述2. 汉宁窗（升余弦窗）汉宁窗（升余弦窗）)(12cos1 21)(nRNnnwN)(25.0)(5.01212nReenRNNnjNnjN 利用傅氏变换的移位特性，汉宁窗频谱的幅度函数利用傅氏变换的移位特性，汉宁窗频谱的幅度函数W()可用矩形窗的幅度函数表示为：可用矩形窗的幅度函数表示为： 211221122121121225. 05 . 011225. 05 . 0NjRRRNNjRNNjRNjRjeNWNWWeNWeNWeWeW43)12()12(25. 0)(5 . 0)(NW

32、NWWWRRR 三部分矩形窗频谱相加，使旁瓣互相抵消三部分矩形窗频谱相加，使旁瓣互相抵消，能量集中，能量集中在主瓣，旁瓣大大减小，在主瓣，旁瓣大大减小，主瓣宽度增加主瓣宽度增加1倍，为倍，为 ，见，见图图5.2.5。8N当N1时，N-1N,因此幅度函数近似为：)2()2(25. 0)(5 . 0)(NWNWWWRRR44图图 5.2.5 汉宁窗频谱汉宁窗频谱453. 汉明窗（改进的升余弦窗）汉明窗（改进的升余弦窗）)(12cos46.054.0)(nRNnnwN 它是对汉宁窗的改进，在主瓣宽度它是对汉宁窗的改进，在主瓣宽度( (对应第一零点的宽度对应第一零点的宽度) )相同相同( )( )的情

33、况下，旁瓣进一步减小，可使的情况下，旁瓣进一步减小，可使99.96%99.96%的能量集的能量集中在窗谱的主瓣内；旁瓣峰值近小于主瓣的中在窗谱的主瓣内；旁瓣峰值近小于主瓣的1%1%。8N4. 布莱克曼窗（三阶升余弦窗）布莱克曼窗（三阶升余弦窗）)(14cos08.012cos5.042.0)(nRNnNnnwN 增加一个二次谐波余弦分量，可进一步降低旁瓣，但主增加一个二次谐波余弦分量，可进一步降低旁瓣，但主瓣宽度进一步增加，为瓣宽度进一步增加，为 。增加。增加N可减少过渡带。可减少过渡带。频谱的幅度函数为：频谱的幅度函数为：)12()12(25. 0)(42. 0)(NWNWWWRRR)14(

34、)14(04. 0NWNWRR12N46 图图5.2.6 四种常用的窗函数四种常用的窗函数矩形窗矩形窗 汉宁窗汉宁窗 汉明窗汉明窗 布莱克曼窗布莱克曼窗47图图5.2.7 四种常用的窗函数的频谱（四种常用的窗函数的频谱（N=51） A=20lg|W()/W(0)|485 . 051cN图图5.2.8 5.2.8 四种窗口在同一指标下设计的滤波起的频率特性四种窗口在同一指标下设计的滤波起的频率特性49表表5.2 四种不同窗函数的性能比较四种不同窗函数的性能比较505.凯塞窗凯塞窗 以上四种窗函数，都是以增加主瓣宽度为代价来降低以上四种窗函数，都是以增加主瓣宽度为代价来降低旁瓣。旁瓣。凯塞窗则可自

35、由选择主瓣宽度和旁瓣衰减凯塞窗则可自由选择主瓣宽度和旁瓣衰减。 101/211)(2NnINnInwooI0(x)是零阶修正贝塞尔函数，参数是零阶修正贝塞尔函数，参数可自由选择，可自由选择，决定主瓣决定主瓣宽度与宽度与 旁瓣衰减旁瓣衰减。越大，越大，w(n)窗越窄，窗越窄，旁瓣变小，旁瓣变小，但其频但其频谱的主瓣变宽。一般取谱的主瓣变宽。一般取 4N时，时， hM(n)hd(n)54286. 2821,05021),21(07886. 0)21(5842. 050),7 . 8(1102. 04 . 0AtNdBAtdBAtdBAtAtdBAtAt 当给定当给定（过渡带宽）和过渡带宽）和AtA

36、t（阻带最小衰减）时，参数（阻带最小衰减）时，参数和滤波器的长度和滤波器的长度N N可用以下经验公式。可用以下经验公式。零阶贝塞尔函数零阶贝塞尔函数210!)2/(1)(kkkxxI55解解：首先求解：首先求解hd(n) ，根据指标要求其截止频率应为，根据指标要求其截止频率应为1()2sin(),()/ccjjndcchneednnnn ,2 . 0cr302 . 0285. 2850N55. 4)7 . 850(1102. 0,21N 例例2：用凯塞窗设计一：用凯塞窗设计一FIR低通滤波器，低通边界频率低通滤波器，低通边界频率为为 ,阻带边界频率为阻带边界频率为r=0.5，阻带衰减，阻带衰减

37、At不小于不小于50dB。0.3c22crc 56图图5.2.11 5.2.11 凯塞窗设计举例凯塞窗设计举例图图(a)为为N=30直接截取的频率特性，直接截取的频率特性， 图图(b)为凯塞窗设计的频率特为凯塞窗设计的频率特性。性。57补例：补例：323 10/prad s 321.5 10/rrad s 15sFkHz用窗函数法设计具有线性相位的用窗函数法设计具有线性相位的FIR高通滤波器，通带高通滤波器，通带截止频率截止频率，阻阻带截止频率带截止频率，阻带衰减不小于，阻带衰减不小于50dB，（1）请选择合适的窗函数，并确定窗函数的长度；请选择合适的窗函数，并确定窗函数的长

38、度；( )dh n（2）理想滤波器的单位脉冲响应）理想滤波器的单位脉冲响应 （3）该）该FIR数字滤波的相位延迟是多少？数字滤波的相位延迟是多少？ 采样频率采样频率解解（1）50,AtdB 选择汉明窗,()0.2ppsrrsprprsTTTrad 对于汉明窗对于汉明窗6.66.6,33,=3334NNN取或580.20.4(2)0.322prc 2()011( )()22sin()()()( 1)ccjj njj ncnddjcch nHeedeedenSa nn 情况情况1 1：情况情况2 2：N21Na)(nhda为奇数，为奇数，为整数，为整数，关于关于偶对称。偶对称。为第一种类型线性相位

39、滤波器。为第一种类型线性相位滤波器。N21Na)(nhda为偶数，为偶数，不是整数，不是整数，关于关于奇对称，奇对称，为第四种类型线性相位滤波器。为第四种类型线性相位滤波器。591(3)2Nmin( ) 01( )( )( )0ddhangh nnNh nh nRnn取其它60MATLAB程序：小结：小结： 窗口设计法的优点：设计简单，可以设计任意频率特窗口设计法的优点：设计简单，可以设计任意频率特性的滤波器，因而很实用。性的滤波器，因而很实用。 缺点：通带和阻带的边界频率不易控制，长度缺点：通带和阻带的边界频率不易控制，长度N不易不易一次决定，需反复几次才能求得满意结果。一次决定，需反复几次

40、才能求得满意结果。615.3 频率采样法频率采样法 一个有限长序列，可以通过其频谱的相同长度的等间一个有限长序列，可以通过其频谱的相同长度的等间隔采样值准确地恢复原有的序列。频率采样法便是从频域隔采样值准确地恢复原有的序列。频率采样法便是从频域出发，对理想的频率响应加以等间隔采样，并以此作为实出发，对理想的频率响应加以等间隔采样，并以此作为实际际FIR滤波器的频响特性的离散样本值。滤波器的频响特性的离散样本值。一、基本思想一、基本思想 使所设计的使所设计的FIR数字滤波器的频率特性在某些离散频数字滤波器的频率特性在某些离散频率点上的值准确地等于理想滤波器在这些频率点处的值，率点上的值准确地等于

41、理想滤波器在这些频率点处的值，在其它频率处的特性则有较好的逼近。在其它频率处的特性则有较好的逼近。jnhNIDFTNNkjdjdeHnhkHeHeHd )(2)()(不同于点点频率取样确定内插公式内插公式62二二.设计方法设计方法1）确定kkH、,)()(2kjkNkjdeHkHeH1, 1 , 0Nk2）计算)(nh,)(1)(10/2NkNnkjekHNnh1, 1 , 0Nn3）计算)( ZH112/10011( )( )( )1NNNnjk NnkzH zh n zH kNez63三、逼近误差三、逼近误差 由由 或或 H(z)。 由上述设计过程得到的由上述设计过程得到的 与与 的逼近程

42、度，的逼近程度，以及以及 与与H(k)的关系？的关系？jkkeHkHH)(,jeHjdeHjeH由由1, 1 , 0,)(1)(10/2NnekHNnhNkNnkj1010/210)(1)()(NnnNkNnkjNnnzekHNznhzH得得641/21011)(1zezkHNNkjNNk令令 ，则，则1011)(1)(NkkNzWkHNzzHNjeW/210/210)(1NnnNnkjNkzekHN65单位圆上的频响为：单位圆上的频响为：12/01( )1jNNjkjkjNHeeH kNee10212/2sin2/sin)(1NkNkNjeNkNkHN10()()NjkkHke这是一个内插公

43、式。这是一个内插公式。66式中式中NkNjjkeNkNNe212/2sin)2/sin(1为内插函数为内插函数令令, 1, 1 , 0,2NiiN则则kikieiNjk01)(2所以：所以：121200( )()( )()0,0,1,2,1NNjijNkkikNH kikH eH keik iN67内插公式表明：内插公式表明： 1、在每个采样点上，、在每个采样点上， 逼近误差为零，逼近误差为零，频响频响 严格地与理想频响的采样值严格地与理想频响的采样值H(k)相等；相等；)()(kHeHkj)(jeH 2、在采样点之间，频响由各采样点的内插函数延伸迭加、在采样点之间，频响由各采样点的内插函数延

44、伸迭加而形成，因而有一定的逼近误差，误差大小与理想频率响应而形成，因而有一定的逼近误差，误差大小与理想频率响应的曲线形状有关，的曲线形状有关，理想特性平滑，则误差小理想特性平滑，则误差小；反之，误差大。；反之，误差大。在理想频率响应的不连续点附近，在理想频率响应的不连续点附近， 会产生肩峰和波会产生肩峰和波纹。纹。)(jeH3、N增大，则采样点变密，逼近误差减小。增大，则采样点变密，逼近误差减小。68图图5.3.1 5.3.1 频率采样的不同频率特性频率采样的不同频率特性69四、四、 约束条件约束条件 为了设计线性相位的为了设计线性相位的FIR滤波器，采样值滤波器，采样值 H(k)要满足要满足

45、一定的约束条件。一定的约束条件。 前已指出前已指出,具有线性相位的具有线性相位的FIR滤波器，其单位脉冲响应滤波器，其单位脉冲响应h(n)是实序列，且满足是实序列，且满足 ，由此得到的，由此得到的幅频和相频特性，就是对幅频和相频特性，就是对H(k)的约束的约束(P193表表5.1)。)1()(nNhnh (1)若若要设计第一类线性相位要设计第一类线性相位FIR滤波器，即滤波器，即N为奇数，为奇数，h(n)偶对称，则偶对称，则:21)(NjjeHeH幅度函数幅度函数H()应具有偶对称性：应具有偶对称性：)2()( HH70kjkeHkH)(令：令：则则 必须满足偶对称性：必须满足偶对称性：,kN

46、kHHkH1, 1 , 0Nk而而 必须取为：必须取为：k,) 1(212NkNNkNk1, 1 , 0Nk (2)若要设计第二种线性相位若要设计第二种线性相位FIR滤波器，即滤波器，即N为偶数，为偶数，h(n)偶对称，由于幅度特性是奇对称的，偶对称，由于幅度特性是奇对称的， 2HH71因此，因此，Hk 也必须满足奇对称性：也必须满足奇对称性：,kNkHH1, 1 , 0Nk相位关系同上，相位关系同上，1, 1 , 0,) 1(NkNkNk 其它两种线性相位其它两种线性相位FIR数字滤波器的设计，同样也要数字滤波器的设计，同样也要满足幅度与相位的约束条件满足幅度与相位的约束条件 (3)若要设计

47、第三种线性相位若要设计第三种线性相位FIR滤波器，即滤波器，即N为奇数，为奇数，h(n)奇对称，由于幅度特性是奇对称的，奇对称，由于幅度特性是奇对称的， 2HH72因此，因此，Hk 也必须满足奇对称性：也必须满足奇对称性：,kNkHH1, 1 , 0Nk1, 1 , 0,2) 1(NkNkNk (4)若要设计第四种线性相位若要设计第四种线性相位FIR滤波器，即滤波器，即N为偶数，为偶数，h(n)奇对称，由于幅度特性是偶对称的，奇对称，由于幅度特性是偶对称的， 2HH则则 必须满足偶对称性：必须满足偶对称性：kH,kNkHH1, 1 , 0Nk相位关系如下，相位关系如下，1, 1 , 0,2)

48、1(NkNkNk73例例5.6：利用频率采样法设计一个线性相位利用频率采样法设计一个线性相位FIR数字数字 LP 滤波滤波器，其理想特性为器，其理想特性为 采样点数采样点数 N=33。5 .005 .001jdeH 解解：根据：根据P.193的表的表5.1，能设计低通线性相位数字滤波器，能设计低通线性相位数字滤波器的只有的只有1、2两种，因两种，因N为奇数，所以为奇数，所以只能选择第一种只能选择第一种。即即 h(n)=h(N-1-n)，N为奇数为奇数; 幅频特性关于幅频特性关于偶对称偶对称，也即，也即 HK 偶对称偶对称,HK =HN-K。用。用 HK 的对称性的对称性,求求2区间的频响采样值

49、。区间的频响采样值。 根据指标要求，在根据指标要求，在02内有内有33个取样点，所以第个取样点，所以第k点对点对应频率为应频率为 而截止频率而截止频率 0.5位于位于 之间，所以，之间，所以，k=08时，取样值为时，取样值为1（为通带）（为通带）；k33293328332和74258HH033,HH132,HH 故故 k=2532时，取样值也为时，取样值也为1，其余样本值为，其余样本值为0；因；因 k=33 为下一周期，所以为下一周期，所以0区间有区间有9个值为个值为 1的采样点，的采样点，2区区间有间有8个值为个值为 1 的采样点，因此：的采样点，因此：图图5.3.2 过渡带不设采样点设计实

50、例过渡带不设采样点设计实例 根据对称性：根据对称性：kN kHH7532033322124903225;8012kkNkkHkNkk将将 代入内插公式，求代入内插公式，求H(ej)：kjkeHkH)(321160sin/21sin2/2kkNjjkjNNkHNH eeeNk N163202/33/2sin33233sin331jkkekkH76考虑到考虑到8k25时时 Hk=0，而其它，而其它k时，时，Hk=1,令令 k=33-n，则，则32252/33/2sin33233sinkkkkH8133/)33(2sin33)33(233sinnnn8811sin 33sin 33233233sin

51、sin233233nnnnnn81332sin33233sin332sin33233sin2sin233sin331)(kjkkkkeH77图图5.3.3 过渡采样点不同的三个过渡采样点不同的三个FIR滤波器设计实例滤波器设计实例 78 从图上从图上 (b)可以看出，其过渡带宽为一个频率采样间可以看出，其过渡带宽为一个频率采样间隔隔 2/33，而最小阻带衰减略小于，而最小阻带衰减略小于20dB。 对大多数应用场合，阻带衰减如此小的滤波器是不能对大多数应用场合，阻带衰减如此小的滤波器是不能令人满意的。令人满意的。 增大阻带衰减三种方法：增大阻带衰减三种方法：1）增加过渡带宽）增加过渡带宽，以牺牲

52、过渡带换取阻带衰减的增加。，以牺牲过渡带换取阻带衰减的增加。 例如在本例中可在例如在本例中可在k=9和和k=24处各增加一个过渡带采处各增加一个过渡带采样点样点H9=H24=0.5(如如图图 (c)所示所示 )，使过渡带宽增加到二个频，使过渡带宽增加到二个频率采样间隔率采样间隔4/33，重新计算的，重新计算的H(ej)见图见图 (d)，其阻带衰减，其阻带衰减增加到约增加到约 -40dB。 根据根据H(ej)的表达式，的表达式，H(ej)是是Hk的线性函数，因此还可以的线性函数，因此还可以利用线性最优化的方法确定过渡带采样点的值，得到要求的滤利用线性最优化的方法确定过渡带采样点的值，得到要求的滤

53、波器的最佳逼近（而不是盲目地设定一个过渡带值）。波器的最佳逼近（而不是盲目地设定一个过渡带值）。 例如，本例中可以用简单的梯度搜索法来选择例如，本例中可以用简单的梯度搜索法来选择H9、H24,使使通带或阻带内的最大绝对误差最小化。通带或阻带内的最大绝对误差最小化。 2）过渡带的优化设计）过渡带的优化设计79 要求使阻带内最大绝对误差达到最小（也即最小衰减达要求使阻带内最大绝对误差达到最小（也即最小衰减达到最大），可计算得到最大），可计算得H9=0.3904。对应的。对应的 H(ej)的幅频特性，的幅频特性，比比H9=0.5时时 的阻带衰减大大改善的阻带衰减大大改善,衰减约衰减约-50dB 。如

54、果还要进。如果还要进一步改善阻带衰减，可以进一步加宽过渡区，添上第二个甚一步改善阻带衰减，可以进一步加宽过渡区，添上第二个甚至第三个不等于至第三个不等于0的频率取样值，当然也可用线性最优化求取的频率取样值，当然也可用线性最优化求取这些取样值。这些取样值。 3）增大）增大N 如果要进一步增加阻带衰减，但又不增加过渡带宽，可增如果要进一步增加阻带衰减，但又不增加过渡带宽，可增加采样点数加采样点数N。 例如，同样边界频率例如，同样边界频率c=0.5 , 以以N=65采样，并在采样，并在k=17和和k=48插入由阻带衰减最优化计算得到的采样值插入由阻带衰减最优化计算得到的采样值H17=H48=0.58

55、86,在在k=18、47处插入经阻带衰减最优化计算获得的采样值处插入经阻带衰减最优化计算获得的采样值H18=H47=0.1065 , 这时得到的这时得到的H(ej)，过渡带为，过渡带为6/65，而阻带衰，而阻带衰减增加了减增加了20多分贝，达多分贝，达-60dB以上以上(如图如图 (e)所示所示) ，当然，代价，当然，代价是滤波器阶数增加，运算量增加。是滤波器阶数增加，运算量增加。 80N=65;k=0:(N-1)/2;Wm=2*pi*k./N;Ad(1:(N+1)/2)=1;Ad(18)=0.5886;Ad(19)=0.1065;Ad(20:33)=0;Hd=Ad.*exp(-j*0.5*(

56、N-1)*Wm);Hd=Hd conj(fliplr( Hd(2:(N+1)/2) ) );h=real(ifft(Hd);w=linspace(0,pi-0.1,1000);H=freqz(h,1,w);plot(w/pi,20*log10(abs(H);grid;MATLAB程序：8182频率采样设计法优点：频率采样设计法优点： 直接从频域进行设计，物理概念清楚，直观方便；直接从频域进行设计，物理概念清楚，直观方便； 适合于窄带滤波器设计，这时频率响应只有少数几个非适合于窄带滤波器设计，这时频率响应只有少数几个非零值。零值。典型应用：用一串窄带滤波器组成多卜勒雷达接收机，覆盖典型应用：用一

57、串窄带滤波器组成多卜勒雷达接收机，覆盖不同的频段，多卜勒频偏可反映被测目标的运动速度；不同的频段，多卜勒频偏可反映被测目标的运动速度； 缺点：截止频率难以控制。缺点：截止频率难以控制。 因频率取样点都局限在因频率取样点都局限在2/N的整数倍点上，所以在指定的整数倍点上，所以在指定通带和阻带截止频率时，这种方法受到限制，比较死板。通带和阻带截止频率时，这种方法受到限制，比较死板。 充分加大充分加大N，可以接近任何给定的频率，但计算量和复杂性，可以接近任何给定的频率，但计算量和复杂性增加。增加。小结：小结：83例例5.7：设计一个线性相位设计一个线性相位FIR数字数字带通带通 滤波器，其理想特滤波

58、器，其理想特性为性为 采样点数采样点数 N=32。10.20.60jdHe其它 根据指标要求，在根据指标要求，在02内有内有32个取样点，所以频率间隔个取样点，所以频率间隔为为 下边界频率下边界频率 0.2位于位于 之间，上边界频率之间，上边界频率0.6位于位于 之间。之间。23222343232和229103232和 解解：根据：根据P.193的表的表5.1，能设计带通线性相位数字滤波器，能设计带通线性相位数字滤波器的有的有1、2、3三三种，因种，因N为偶数，所以为偶数，所以只能选择第二种只能选择第二种。即即 幅频特性关于幅频特性关于奇对称奇对称，也即，也即 。下面求。下面求2区区间的频响采

59、样值。间的频响采样值。-kN kHH 84-kN kHH 根据对称性：根据对称性：故故 k=49时，取样值为时，取样值为1， k=2328 ，取样值为，取样值为-1；因此：；因此：2149123280132233kkkNkHkNk 其他855.4* FIR数字滤波器的最优化设计数字滤波器的最优化设计 前面介绍了前面介绍了FIR数字滤波器的两种逼近设计方法，即窗数字滤波器的两种逼近设计方法，即窗口法（时域逼近法）和频率采样法（频域逼近法），用这两口法（时域逼近法）和频率采样法（频域逼近法），用这两种方法设计出的滤波器的频率特性都是在不同意义上对给定种方法设计出的滤波器的频率特性都是在不同意义上对

60、给定理想频率特性理想频率特性Hd(ej)的逼近。的逼近。 说到逼近，就有一个逼近得好坏的问题，对说到逼近，就有一个逼近得好坏的问题，对“好好”“”“坏坏”的衡量标准不同，也会得出不同的结论，我们前面讲过的的衡量标准不同，也会得出不同的结论，我们前面讲过的窗口法和频率采样法都是先给出逼近方法、所需变量，然后窗口法和频率采样法都是先给出逼近方法、所需变量，然后再讨论其逼近特性，如果反过来要求在某种准则下设计滤波再讨论其逼近特性，如果反过来要求在某种准则下设计滤波器各参数，以获取最优的结果，这就引出了最优化设计的概器各参数，以获取最优的结果，这就引出了最优化设计的概念，最优化设计一般需要大量的计算，