含参变量的反常积分

1、 含参变量的反常积分一致收敛的定义n形如 的积分，称为含参变量 的反常积分n定义1、若对任意给定的 存在 （此 仅与 有关），当 时，对一切 ，成立 就称 关于 为一致收敛n定义2、设 对于 上的每一 值，有一个奇点 ，又设对每一个 ，这个有奇点的反常积分存在，如果对于任意 ，存在与 上的 无关的 ，使当 时 成立，就称 关于 在 上一致收敛 adxyxf),(y0 ,dcy )( A 0,AAA aA )(0 AAAdxyxfdxyxf),(),(或 adxyxf),(,dcy badxyxf),(,dcybx y0 ,dcy)(0 )(,00 bbbbdxyxfdxyxf),(),(或 b

2、adxyxf),(y,dc二、一致收敛积分的判别法n魏尔斯特拉斯判别法 设有函数 ，使 如果积分 收敛，那么 关于 在 上一致收敛 例1、证明 在 内是一致收敛的。 )(xF,),(),(dycxaxFyxf adxxF)(y,dc adxyxf),(xdxexsin0 )0)(,00 三、一致收敛积分的性质n1、连续性定理 设 在 上连续， 关于 在 上一致收敛 ，那么 是 在 上的连续函数n2、积分顺序交换定理 设函数 在 上连续， 关于 一致收敛，那么 在 上的积分可以在积分号下进行 或者说，积分顺序可交换。),(yxf,;,dca adxyxf),(y,dc adxyxfyI),()(

3、y,dc),(yxf,;,dca adxyxf),(,dcy adxyxfyI),()(,dc dcaadcdyyxfdxdxyxfdy,),(),(n定理3、积分号下求导的定理 设函数 在 上连续， 存在， 关于 在上一致收敛，那么 的导数存在，且 或者说，求导和积分可交换。 例2、计算 之值 ),(yxf),(yxfy,;,dca adxyxf),( aydxyxf),(y adxyxfyI),()(dxyxfydxyxfdydaa),(),( )0(2cos)(022 ayxdxeyIxa阿贝尔判别法、狄立克雷判别法n1、阿贝尔判别法 设 关于 为一致收敛， 对 单调（即对每一个固定的

4、， 作为 的函数是单调的），并且关于 为一致有界，即存在数 ，对所讨论范围内的一切 ， 成立 那么积分 关于在上一致收敛。 adxyxgyxf),(),(,dcy ,dcy adxyxf),(),(yxgxy),(yxgxLxyLyxg ),(n2、狄立克雷判别法 设积分 对于 和 一致有界，即存在正数 ，使对上述 ， 成立 又 关于 为单调，并且当 时， 关于 上的 一致趋于零，即对任意给定的正数 ，有 ，当 时，对一切 成立 那么积分 关于在上一致收敛。 adxyxf),(aA KA x, dcy y adxyxgyxf),(),(KdxyxfAa ),(),(yxgx),(yxg, dc

5、y 0A0Ax , dcy ),(yxgn例3 例4、求狄立克雷积分内一致连续在关于), 0sin0 dxxxexdxxxI 0sin五、欧拉积分， 函数和 函数它们依次称为第一类和第二类欧拉积分1、 函数和 函数的连续性（1） 函数的连续性 对任何 ，常有 使 ；因为 而 收敛，所以 在 上一致收敛，从而 在 时连续B ,)1 (),(1011dxxxqpBqp ,)(01dxexsxs B B0, 0 qp00,qp0, 000 qqpp,)1 ()1 (111100 qpqpxxxxdxxxqp110100)1 ( ),(qpB);,00 qp),(qpB0, 0 qp(2)函数的连续性 在任 何 上一致收敛.事实上,对 ,而 收敛,所以 关于 在 上一致收敛 . 对 ,而 收敛 ,所以 关于 在 上一致收敛.因此 在 的范围内连续,00Ss,)(01dxexsxs )0(00Ss ),()()(2111101sIsIdxexdxexsxsxs ,1110 xsxsexexI ,1010dxexxs 1I2I,00Ss,00SsssxSxsexexI 1120,dxexxS 110)(s 0 s2、 函数的递推公式 )0(),() 1( ssss3、 函数的另一表达式（换元，令 即得。）B 201212sincos2),( dqpBqp 2cos x