第一课有限元基本理论及软件介绍(西交大)

1、有限元方法及有限元方法及CAE软件软件 刘恒刘恒由NordriDesign提供XYZ课程安排西安交通大学研究生课程教学计划进度表西安交通大学研究生课程教学计划进度表课程代码：课程代码：012183 课程名称：有限元方法及课程名称：有限元方法及CAE软件软件 总学分：总学分：4 学时：学时：80 开课季节：秋上开课季节：秋上周次上课时间任课教师教学内容学时上课地点教学形式备注(均晚19:00开始,100台机)2周五晚上(9.16)刘恒教授有限元基本理论及软件介绍3主楼B203室讲课75%，讨论25%周六(9.17)晚上机实验3学时3周五晚上(9.23)刘恒教授ANSYS及其基本操作3主楼B203

2、室讲课75%，讨论25%周六(9.24)晚上机实验3学时4周五晚上(9.30)耿海鹏讲师ANSYS建模3主楼B203室讲课75%，讨论25%周六(10.8)晚上机实验3学时6周五晚上(10.14)耿海鹏讲师ANSYS求解3主楼B203室讲课75%，讨论25%周六(10.15)晚上机实验3学时7周五晚上(10.21)耿海鹏讲师动力学分析13主楼B203室讲课75%，讨论25%周六(10.22)晚上机实验3学时8周五晚上(10.28)耿海鹏讲师动力学分析22主楼B203室讲课75%，讨论25%周六(10.29)晚上机实验2学时9周五晚上(11.4)耿海鹏讲师热分析13主楼B203室讲课75%，讨论

3、25%周六(11.5)晚上机实验3学时10周五晚上(11.11)耿海鹏讲师热分析22主楼B203室讲课75%，讨论25%周六(11.12)晚上机实验2学时11周五晚上(11.18)耿海鹏讲师热分析32主楼B203室讲课75%，讨论25%周六(11.19)晚上机实验2学时12周五晚上(11.25)耿海鹏讲师ANSYS workbench3主楼B203室讲课75%，讨论25%周六(11.26)晚上机实验3学时13周五晚上(12.2)孙岩桦副教授非线性有限元13主楼B203室讲课75%，讨论25%周六(12.3)晚上机实验3学时14周五晚上(12.9)孙岩桦副教授非线性有限元23主楼B203室讲课7

4、5%，讨论25%周六(12.10)晚上机实验3学时15周五晚上(12.16)孙岩桦副教授非线性有限元32主楼B203室讲课75%，讨论25%周一(12.12)晚上机实验2学时16周五晚上(12.23)孙岩桦副教授耦合场分析3主楼B203室讲课75%，讨论25%周四(12.22)晚上机实验3学时17周五晚上(12.30)孙岩桦副教授优化分析2主楼B203室讲课75%，讨论25%周六(12.31)晚上机实验2学时考试安排平时成绩占总成绩平时成绩占总成绩40%1次大作业次大作业闭卷考试占总成绩闭卷考试占总成绩60%1、填空；、填空；2、选择；、选择；3、问答题、问答题交流群：西安交大有限元交流群：西

5、安交大有限元2016群号：群号： 581365633参考书目先修课：先修课：材料力学、弹性力学、振动力学、计算方法。参考书目：参考书目：R. D. 库克，有限元分析的概念和应用，程耿东等译，北京：科学出版社，1989王勛成，邵敏，有限单元法基本原理和数值方法，北京：清华大学出版社，1995李人宪.有限元法基础. 北京：国防工业出版社，2004，ISBN 7-118-03562-9/TB138美国ANSYS公司北京办事处，ANSYS入门手册，1998美国ANSYS公司北京办事处，ANSYS结构分析指南，1998美国ANSYS公司北京办事处，ANSYS热分析指南，1998美国ANSYS公司北京办事

6、处，ANSYS动力学分析指南，1998美国ANSYS公司北京办事处，ANSYS非线性分析指南，1998美国ANSYS公司北京办事处，ANSYS耦合场分析指南，1998美国ANSYS公司北京办事处，ANSYS高级分析技术指南，1998有限元网络资源 http:/ - A website created to educate people in the latest engineering technologies, manufacturing techniques and software tools. Exellent FEM links, including links to all com

7、mercial providers of FEM software. http:/ - Extensive FEM links, categorized by analysis type (mechanical, fluids, electromagnetic, etc.) - Extensive collection of elementary and advanced material relating to the FEM. http:/www.engr.usask.ca/%7Emacphed/finite/fe_resources/fe_reso

8、urces.html - Lists many public domain and shareware programs. http:/sog1.me.qub.ac.uk/dermot/ferg/ferg.html#Finite - Home page of the the Finite Element Research Group at The Queens University of Belfast. Excellent set of FEM links. http:/ - Hundreds of links to useful and interesting CAE cited, inc

9、luding FEM, CAE, free software, and career information.http:/ - Extensive FEM links. / - National Agency for Finite Element Methods and Standards (NAFEMS).几点建议作为大型有限元分析软件，作为大型有限元分析软件，ANSYSANSYS相当难学相当难学: : 一、需要学习者有比较扎实的力学理论基础，对一、需要学习者有比较扎实的力学理论基础，对ANSYSANSYS分析结果分析结果能有个比较准确的预测和判断，可

10、以说，理论水平的高低在很大程度能有个比较准确的预测和判断，可以说，理论水平的高低在很大程度上决定了上决定了ANSYSANSYS使用水平；使用水平； 二、需要学习者不断摸索出软件的使用经验不断总结以提高解决二、需要学习者不断摸索出软件的使用经验不断总结以提高解决问题的效率。问题的效率。几点建议：几点建议：（1 1）将）将ANSYSANSYS的学习紧密与工程力学专业结合起来；的学习紧密与工程力学专业结合起来；（2 2）多问多思考多积累经验（一是要多问但不要不懂就问；二是要有）多问多思考多积累经验（一是要多问但不要不懂就问；二是要有耐心，不要郁闷，多思考；三是注意积累经验，不断总结经验）；耐心，不要

11、郁闷，多思考；三是注意积累经验，不断总结经验）；（3 3）练习使用）练习使用ANSYSANSYS最好直接找力学专业书后的习题来做（三点）；最好直接找力学专业书后的习题来做（三点）；（ 4 4 ）保持带着问题去看）保持带着问题去看ANSYSANSYS是怎样处理相关问题的良好习惯；是怎样处理相关问题的良好习惯；（ 5 5 ）熟悉）熟悉GUIGUI操作之后再来使用命令流。操作之后再来使用命令流。第一讲 有限元方法概述引言偏微分方程偏微分方程的解有限元分析的实例有限元基础知识有限元中数学原理各种有限元软件引言各门力学学科分支间的关系中学力学中学力学对象；质点对象；质点特征；无变形特征；无变形 无形状无

12、形状变量：变量： 1 1）质点描述质心）质点描述质心 2 2）运动状态描述）运动状态描述 3 3）力平衡描述）力平衡描述方程：方程： 质点牛顿三定律质点牛顿三定律求解：积分方法求解：积分方法理论力学理论力学对象；质点及刚体对象；质点及刚体特征；无变形特征；无变形 形状复杂的体形状复杂的体变量：变量： 1) 1)刚体描述刚体描述转动转动 2) 2)运动状态描述运动状态描述 3) 3)力平衡描述力平衡描述方程：方程： 质点和刚体的牛顿质点和刚体的牛顿三定律三定律求解：积分方法求解：积分方法材料力学材料力学对象；简单变形体对象；简单变形体特征；变形小特征；变形小 简单形状的体简单形状的体变量：变量：

13、 1 1）材料物性描述）材料物性描述 2 2）变形方面描述）变形方面描述 3 3）力的平衡描述）力的平衡描述方程：方程： 1 1）物理本构方程）物理本构方程 2 2）几何变形方程）几何变形方程 3 3）力的平衡方程）力的平衡方程三大变量三大变量三大方程三大方程求解：简化求解方法求解：简化求解方法结构力学结构力学对象；简单多变形体对象；简单多变形体特征；变形小特征；变形小 简单形状的多体简单形状的多体变量：变量： 1 1）材料物性描述）材料物性描述 2 2）变形方面描述）变形方面描述 3 3）力的平衡描述）力的平衡描述方程：方程： 1 1）物理本构方程）物理本构方程 2 2）几何变形方程）几何变

14、形方程 3 3）力的平衡方程）力的平衡方程三大变量三大变量三大方程三大方程求解：简化求解方法求解：简化求解方法弹性力学弹性力学对象；任意变形体对象；任意变形体特征；变形小特征；变形小 任意形状的体任意形状的体变量：变量： 1 1）材料物性描述）材料物性描述 2 2）变形方面描述）变形方面描述 3 3）力的平衡描述）力的平衡描述方程方程( (微体微体dxdydz):dxdydz): 1 1）物理本构方程）物理本构方程 2 2）几何变形方程）几何变形方程 3 3）力的平衡方程）力的平衡方程三大变量三大变量三大方程三大方程求解求解: :解析半解析法解析半解析法弹塑性力学弹塑性力学对象；任意变形体对象

15、；任意变形体特征；变形特征；变形( (屈服屈服) ) 任意形状的体任意形状的体变量：变量：1) 1)材料弹塑物性描述材料弹塑物性描述2) 2)变形方面描述变形方面描述3) 3)力的平衡描述力的平衡描述方程方程( (微体微体dxdydz):dxdydz): 1 1）物理本构方程）物理本构方程 ( (屈服、非线性屈服、非线性) ) 2 2）几何变形方程）几何变形方程 3 3）力的平衡方程）力的平衡方程三大变量三大变量三大方程三大方程求解求解: :解析半解析法解析半解析法非变形体（刚体）非变形体（刚体）变形体变形体引言变形体及其受力情况的描述基本变量：基本变量： u u = u ui i ij ij

16、 ij ij ( (位移位移) ) ( (应变应变) ) ( (应力应力) ) ( (如研究如研究xyzxyz三个方向，对应张量描述三个方向，对应张量描述) )基本方程：基本方程： 1 1）材料方面）材料方面 2 2）几何方面）几何方面 3 3）力平衡方面）力平衡方面求解方法：求解方法： 1 1）经典解析方法）经典解析方法 2 2）半解析方法）半解析方法 3 3）传统数值求解方法）传统数值求解方法 4 4）现代数值求解）现代数值求解( (规范化、标准化、规模化、计算机化规范化、标准化、规模化、计算机化) )三大类变量三大类方程引言有限元的思路和发展过程思路：以计算机为工具，分析任意变形体以获得

17、所有力学信息。思路：以计算机为工具，分析任意变形体以获得所有力学信息。技术路线：技术路线：标准化标准化 ( (任意复杂问题理论研究任意复杂问题理论研究=标准化分解，单元建模标准化分解，单元建模- -有限种标准单元有限种标准单元) )规范化规范化( (前处理：前处理：CADCAD几何、力学建模、求解、后处理结果显示几何、力学建模、求解、后处理结果显示) )计算机化计算机化( (标准程序、模块标准程序、模块) )应用规模化、普及化应用规模化、普及化( (可求解大型问题：可求解大型问题：1010的的8 8次到次到1111次次DOF)DOF)有限种类标准件有限种类标准件构造任意复杂对象构造任意复杂对象

18、目前常用的计算方法包括第一原理从头计算法、分子动力学方法，蒙特卡洛方法，有限元分析等。引言计算仿真的几个层次引言有限元的思路和发展过程发展过程：发展过程：工程师工程师，boeingboeing公司公司TurnerTurner、CloughClough分分析飞机结构析飞机结构( (采用自然离散采用自然离散) )19601960，CloughClough处理平面连续弹性问题，处理平面连续弹性问题，提出提出“有限单元法有限单元法”名称名称1956-1956- ，Argyris(Univ. of Stuttgart)Argyris(Univ. of Stuttgart)，Zienkiewicz(Zie

19、nkiewicz(英国英国SwansanSwansan大学大学) )，ToppTopp等学者的大量理论及应用等学者的大量理论及应用工作工作连续体离散体自然离散(桁架)逼近离散(连续体)数学家数学家19431943，CourantCourant研究分片连续与最小研究分片连续与最小势能问题势能问题1963-19641963-1964，Besseling,Melosh,JonesBesseling,Melosh,Jones研研究究FEMFEM与与RitzRitz法的关系及变分法的关系及变分原理原理1951-1951- 至今，我国湖海昌、冯康、至今，我国湖海昌、冯康、匡振邦。匡振邦。在寻找连续系统求解

20、方法的过程中，工程师和数学家从两种不同的路线得到在寻找连续系统求解方法的过程中，工程师和数学家从两种不同的路线得到了相同的结果，即有限元法。了相同的结果，即有限元法。有限元法的形成可以回顾到二十世纪有限元法的形成可以回顾到二十世纪5050年代，来源于固体力学中矩阵结构法年代，来源于固体力学中矩阵结构法的发展和工程师对结构相似性的直觉判断。从固体力学的角度来看，桁架结的发展和工程师对结构相似性的直觉判断。从固体力学的角度来看，桁架结构等标准离散系统与人为分割成有限个分区后的连续系统在结构上存在相似构等标准离散系统与人为分割成有限个分区后的连续系统在结构上存在相似性。性。19561956年年M.J

21、.Turner, R.W.Clough, H.C.Martin,M.J.Turner, R.W.Clough, H.C.Martin, L.J.ToppL.J.Topp在纽约举行的航空在纽约举行的航空学会年会上介绍了一种新的计算方法，将学会年会上介绍了一种新的计算方法，将矩阵位移法矩阵位移法推广到求解平面应力问推广到求解平面应力问题。他们把结构划分成一个个三角形和矩形的题。他们把结构划分成一个个三角形和矩形的“单元单元”，利用单元中近似位，利用单元中近似位移函数，求得单元节点力与节点位移关系的单元刚度矩阵。移函数，求得单元节点力与节点位移关系的单元刚度矩阵。1954-19551954-1955

22、年，年，J.H.ArgyrisJ.H.Argyris在航空工程杂志上发表了一组能量原理和结构分在航空工程杂志上发表了一组能量原理和结构分析论文。析论文。1960 年年 ， Clough 在在 他他 的的 名名 为为 “ The finite element in plane stressanalysisanalysis”的论文中首次提出了的论文中首次提出了有限元（有限元（finite elementfinite element）这一术语。这一术语。引言有限元的思路和发展过程数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，变数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，变分原理和加

23、权余量法。分原理和加权余量法。在在19631963年前后，经过年前后，经过J.F.Besseling, R.J.Melosh, R.E.Jones,J.F.Besseling, R.J.Melosh, R.E.Jones,R.H.Gallaher,R.H.Gallaher, T.H.PianT.H.Pian（卞学磺）等许多人的工作，认识到（卞学磺）等许多人的工作，认识到有有限元法就是变分原理中限元法就是变分原理中RitzRitz近似法的一种变形近似法的一种变形，发展了用各种不，发展了用各种不同变分原理导出的有限元计算公式。同变分原理导出的有限元计算公式。19651965年年O.C.Zienki

24、ewiczO.C.Zienkiewicz和和Y.K.CheungY.K.Cheung（张佑启）发现只要能写成（张佑启）发现只要能写成变分形式的所有场问题，都可以用与固体力学有限元法的相同步变分形式的所有场问题，都可以用与固体力学有限元法的相同步骤求解。骤求解。1969 年年 B.A.Szabo 和和 G.C.Lee 指指 出出 可可 以以 用用 加加 权权 余余 量量 法法 特特 别别 是是GalerkinGalerkin法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。引言有限元的思路和发展过程我国的力学工作者为有限元方法的初期发展做出了许多贡献，其我国的力

25、学工作者为有限元方法的初期发展做出了许多贡献，其中比较著名的有：陈伯屏（结构矩阵方法），钱令希（余能原中比较著名的有：陈伯屏（结构矩阵方法），钱令希（余能原理），钱伟长（广义变分原理），胡海昌（广义变分原理），冯理），钱伟长（广义变分原理），胡海昌（广义变分原理），冯康（有限单元法理论）。遗憾的是，从康（有限单元法理论）。遗憾的是，从19661966年开始的近十年期间，年开始的近十年期间，我国的研究工作受到阻碍。我国的研究工作受到阻碍。有限元法不仅能应用于结构分析，还能解决归结为场问题的工程有限元法不仅能应用于结构分析，还能解决归结为场问题的工程问题，从二十世纪六十年代中期以来，有限元法得到了

26、巨大的发问题，从二十世纪六十年代中期以来，有限元法得到了巨大的发展，为工程设计和优化提供了有力的工具。展，为工程设计和优化提供了有力的工具。有限元法是一种数值计算方法。可广泛应用于各种微分方程描述有限元法是一种数值计算方法。可广泛应用于各种微分方程描述的场问题的求解。的场问题的求解。引言有限元的思路和发展过程有限元法分析计算的基本思想对象离散化单元特性分析选择变量分布模式分析单元的特性计算等效节点载荷单元组集求解未知节点变量引言弹性力学（线弹性有限元基础）物体离散化物体离散化将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算模型，这一步称作单元剖分。离散后单元于单元之间利用单元的节点相互连接起来；单元节

27、点的设置、性质、数目等应视问题的性质，描述变形形态的需要和计算进度而定。用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。如果划分单元数目非常多而又合理，则所获 得的结果就与实际情况相符合。引言弹性力学（线弹性有限元基础）分析单元的特性分析单元的特性根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置及其含义等，找出单元节点载荷和节点变量的关系式，建立节点变量值与单元内任意点变量之间关系，等等，这是单元分析中的关键一步。如应用弹性力学中的几何方程和物理方程来建立力和位移的方程式，从而导出单元刚度矩阵，这是有限元法的基本步骤之一。引言弹性力学（线弹性有限元基础）计算等效节点载荷物体离散化后，假定力是通过节点从一

28、个单元 传递到另一个单元。但是，对于实际的连续体，力是从单元的公共边传递到另一个单元中去的。因而，这种作用在单元边界上的表面力、体积力和集中力都需要等效的移到节点上去，也就是用等效的节点力来代 替所有作用在单元上得力。引言弹性力学（线弹性有限元基础）单元组集（组装）利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原来的结构重新连接起来，形成整体的有限元方程求解未知节点变量可以根据方程组的具体特点来选择合适的计算方法。引言弹性力学（线弹性有限元基础）引言弹性力学（线弹性有限元基础）研究对象：任意变形体研究对象：任意变形体物体内任意两点之间可以发生相对运动。物体内任意两点之间可以发生相对运动。基本变量基

29、本方程任意变形体主位移应变应力物体变形后的形状物体的变形程度物体的受力状态几何方程物理方程平衡方程弹模引言线弹性的五个基本假设1 1）物体内的物质连续性假设：物质无空隙，可用连续函数描述；）物体内的物质连续性假设：物质无空隙，可用连续函数描述；2 2）物体内的物质均匀性假设：物体内各个位置的物质具有相同特性）物体内的物质均匀性假设：物体内各个位置的物质具有相同特性3 3）物体内的（力学）特性各向同性假设：物体内同一位置的物质在各个）物体内的（力学）特性各向同性假设：物体内同一位置的物质在各个方向上具有相同特性；方向上具有相同特性； 4 4）线性弹性假设：物体的变形与外力作用关系是线性的，外力去

30、除后物）线性弹性假设：物体的变形与外力作用关系是线性的，外力去除后物体可恢复原状；体可恢复原状；5 5）小变形假设：物体变形远小于物体的几何尺寸，在建立方程时可略去）小变形假设：物体变形远小于物体的几何尺寸，在建立方程时可略去高阶小量（二阶以上）高阶小量（二阶以上） 。引言求解弹性力学问题的主要方法和特点比较求解方法求解方法微分形式微分形式积分形式（试函数法）积分形式（试函数法）解析法解析法半解析法半解析法差分法差分法加权残量法加权残量法最小势能最小势能原理原理GalerkinGalerkin法法残值最小二乘残值最小二乘方式方式求解原微分方程求解原微分方程积分形式的极值问题积分形式的极值问题求

31、解过程求解过程直接针对原方程；分离变量；直接针对原方程；分离变量；代换；偏微分方程代换；偏微分方程-常微分常微分方程；解析或半解析方程；解析或半解析微分微分-差商差商; ;线性方程；线性方程； 求解求解假设试函数满足所有边条；假设试函数满足所有边条；由原始方程定义残差积分形由原始方程定义残差积分形式；残差最小；线性方程组式；残差最小；线性方程组设试函数满足边设试函数满足边条；势能泛函积条；势能泛函积分形式；势能最分形式；势能最小；线性方程组小；线性方程组函数的要求及函数的要求及形式形式为简化问题可事先假设解函数，进行变量分离；为简化问题可事先假设解函数，进行变量分离；函数连续性要求高函数连续性

32、要求高试函数满足所有边条；函数连试函数满足所有边条；函数连续性要求高续性要求高只满足位移边条；只满足位移边条；函数连续要求低函数连续要求低泛函形式泛函形式无无泛函直接由原方程形成；泛函泛函直接由原方程形成；泛函导数阶次高导数阶次高需定义新泛函；需定义新泛函；泛函导数阶次低泛函导数阶次低关键点关键点寻找满足全场条件的解函数寻找满足全场条件的解函数试函数满足所有边条试函数满足所有边条只满足位移边条只满足位移边条难易程度难易程度很难很难较难较难简单简单求解精度求解精度高高较高较高低低方程最后形式方程最后形式常微分方程常微分方程差分方程差分方程积分方程积分方程-线性方程组线性方程组 线性方程组线性方程

33、组方法规范性方法规范性不规范，技巧要求高不规范，技巧要求高较规范较规范只要试函数确定，后续过程很规范只要试函数确定，后续过程很规范方法通用性方法通用性不好不好较好较好较好较好很好很好解题范围解题范围简单问题（非常有限）简单问题（非常有限） 较复杂问题较复杂问题较大较大大大其它其它具一定物理背景具一定物理背景( (最小残差最小残差) )最小势能最小势能偏微分方程科学技术领域内，对于绝大部分问题，人们已经得到了它们应遵循的基本方程（偏微分方程或常微分方程）。如：温度场方程（浓度场方程）流场动力学方程电磁场方程固体力学方程.偏微分方程温度场方程偏微分方程温度场方程傅里叶传热定律：q = kgrad热

34、传导方程： c = k y + kz kx + + Q （在 内）t x x y y z z （在 1 上）边界条件： = kxnx + k yny + kznz = qxyz（在 2 上）kxnx + k yny + kznz = h(a ) （在 3 上）xyz偏微分方程温度场方程偏微分方程固体力学方程偏微分方程固体力学方程偏微分方程固体力学方程偏微分方程电磁场方程偏微分方程电磁场方程偏微分方程分类及特点偏微分方程分类及特点偏微分方程分类及特点偏微分方程分类及特点边值问题与初值问题描述物理现象的偏微分方程常常与其边界条件或初始条件联系在一起。平衡方程:ijxj+bi =0几何方程:场方程（

35、控制方程）本构方程:1 ui uj Dij = + 2 xj xi epij =CijklDkl偏微分方程的求解Su边界条件VSp问题的域 V 和边界 S应力边界条件:运动学边界条件: ji n j = piui = ui或(在 Sp 上)ui = ui(在 Su 上)偏微分方程的求解边值问题 A1 (u) A(u) = A2 (u) = 0 B1 (u) B(u) = B2 (u) = 0（在域 V 内）（在边界 S 上）域 V 和边界 S（S=Su+Sp）界微分方程的等效积分形式VVT A(u)dV + VT B(u)dS = 0S偏微分方程的求解（一）解析法解析方法是直接应用现有的数学理

36、论和定律去推导和演绎数学方程（或模型），得到用函数形式表示的解，也就是解析解。偏微分方程的求解优点：是物理概念及逻辑推理清楚，解的函数表达式能够清楚地表达温度场的各种影响因素，有利于直观分析各参数变化对温度高低的影响。缺点：通常需要采用多种简化假设，而这些假设往往并不适合实际情况，这就使解的精确程度受到不同程度的影响。目前，只有简单的一维温度场（“半无限大”平板、圆柱体、球体）才可能获得解析解。偏微分方程的求解（二）数值方法数值方法又叫数值分析法，是用计算机程序来求解数学模型的近似解，又称为数值模拟或计算机模拟。偏微分方程的求解1.差分法差分法是把原来求解物体内随空间、时间连续分布的场量，转化

37、为求在时间领域和空间领域内有限个离散点的变量值问题，再用这些离散点上的变量值去逼近连续的变量分布。差分法的解题基础是用差商来代替微商，这样就将偏微分微分方程转换为以节点变量为未知量的线性代数方程组，得到各节点的数值解。根据不同的差分格式分为：向前差分、向后差分、平均差分、中心差分、加列金格式等。偏微分方程的求解2.有限元法有限元法是根据变分原理来求解偏微分方程的一种数值计算方法。有限元法的解题步骤是先将连续求解域分割为有限个单元组成的离散化模型，再用变分原理等数学方法将各单元内的偏微分方程转化为等价的线性方程组，最后求解全域内的总体合成矩阵。偏微分方程的求解数值计算方法分类数值计算方法分类特特

38、 点点差分法差分法等效积分法等效积分法（加权余量法或加权余量法或优缺点优缺点离散求解域；差分代替微分；解离散求解域；差分代替微分；解 要求规则边界，几何形要求规则边界，几何形代数方程组代数方程组状复杂时精度低状复杂时精度低整体场函数用近似函数代替；微整体场函数用近似函数代替；微 适合简单问题，复杂问适合简单问题，复杂问分方程及定解条件的等效积分转分方程及定解条件的等效积分转 题很难解决题很难解决化为某个泛函的变分，化为某个泛函的变分，-求极值求极值问题问题离散求解域；分片连续函数近似离散求解域；分片连续函数近似 节点可任意配置，边界节点可任意配置，边界整体未知场函数；解线形方程组整体未知场函数

39、；解线形方程组 适应性好；适应任意支适应性好；适应任意支撑条件和载荷；计算精撑条件和载荷；计算精度与网格疏密和单元形度与网格疏密和单元形态有关，精度可控态有关，精度可控泛函变分法）泛函变分法）有限元法有限元法偏微分方程的求解数值模拟方法的优越性经济、快速、优化、并行结果详尽 应力 应变温度 组织性能变化虚拟、灵活偏微分方程的求解有限元分析实例A380飞机有限元模型重型燃气轮机转子模型有限元分析实例新加坡国立大学工程系入口有限元分析实例有限元分析实例有限元分析实例有限元分析实例0.2 - 1.5 resolution (16000 surface nodes)23 z-levels ( 2200

40、00 3D nodes)3D view of the North Atlantic mesh有限元分析实例有限元方法的基础知识数学：求解微分方程，特别是椭圆型边值问题的一种离散化方法，其基础是变分原理和剖分逼近力学：一种将连续体离散化，以求解各种力学问题的数值方法土木工程：把物体或结构整体所具有的域(V)划分为有限多个被称为单元的子域(Vn)，以求得近似解的一种数值计算方法机械工程：对机械零件或构件等作应力分析的一种离散数值方法航空、航天工程：将结构用网格划分为计算模型的一种结构数值分析方法不同学科和工程类别从各自特有学术角度对有限元给出相应的不同定义，但有一条是共同的，即都认为有限元法是有效

41、的数值分析方法。学习有限元所需的理论基础学科理论：理论力学、材料力学、结构力学、弹性力学、流体力学、传热学等等。根据所要解决问题的不同，应具备不同的专门知识。数学基础：线性代数、变分原理、加权余量法等等计算机基础：计算机的一般知识，算法语言，计算机的使用和编程。这些知识有些我们已经掌握，有些则还没有。但是不能等全部掌握了所有这些知识再来学习有限元法，只有再学习过程中逐渐掌握。好在有限元法可以在不同的层次上理解和应用。有限元方法的基础知识基本特点以简单逼近复杂概念清楚，容易理解矩阵数学 便于编程和计算机求解适用于形状复杂问题适应性强，应用范围广泛有限元方法的基础知识基本特点适应性强弹性力学平面问

42、题扩展到了空间问题、板壳问题；静力平衡问题扩展到了动态问题；固态力学扩展到了流体力学、传热学；弹性材料问题扩展到了弹塑性、塑性、粘弹性和复合材料问题；航空工程问题扩展到了宇航、土木建筑、机械制造、水利工程及原子能学科等方面的问题。有限元方法的基础知识特点缺点：必须首先编制（或具备）计算机程序，必须运用计算机求解。计算前的数据准备，计算结果的数据整理分析工作量很大然而，计算机日益普及和功能日益强大，可以通过计算机进行有限元分析的前、后处理来大大帮助减少工作量。有限元方法的基础知识基本步骤1，求解区域离散化2，选择插值函数3，分析单元特性4，组建整体刚度矩阵5，求解系统的总体方程组6，根据需要进行

43、附加计算基本思想化整为零积零为整有限元方法的基础知识基本思想先将求解域离散为有限个单元，单元与单元只在节点相互连接；-即原始连续求解域用有限个单元的集合近似代替对每个单元选择一个简单的场函数近似表示真实场函数在其上的分布规律，该简单函数可由单元节点上物理量来表示-通常称为插值函数或位移函数基于问题的基本方程，建立单元节点的平衡方程（即单元刚度方程）借助于矩阵表示，把所有单元的刚度方程组合成整体的刚度方程，这是一组以节点物理量为未知量的线形方程组，引入边界条件求解该方程组即可。有限元方法的基础知识基本思想节点vmm(xm ym )umv jujvi单元uij(x j y j )yi( xi yi

44、 )x有限元方法的基础知识基本概念结构离散（有限元建模）内容：1）网格划分-即把结构按一定规则分割成有限单元2）边界处理-即把作用于结构边界上约束和载荷处 为节点约束和节点载荷要求：1）离散结构必须与原始结构保形-单元的几何特性2）一个单元内的物理特性必须相同-单元的物理 特性有限元方法的基础知识单元：即原始结构离散后，满足 定几何特性和物理特性的最小结构域节点：单元与单元间的连接点。节点力：单元与单元间通过节点的相互作用力节点载荷：作用于节点上的外载。基本概念单元与节点注意：1)节点是有限元法的重要概念，有限元模型中，相邻单元的作用通过节点传递，而单元边界不传递力，这是离散结构与实际结构的重

45、大差别；2）节点力与节点载荷的差别有限元方法的基础知识基本概念非法结构离散节点不合法不同材料有限元方法的基础知识单元类型单元图形节点数杆单元梁单元典型单元类型平面单元2234344平面四边形轴对称问题板壳单元四面体单元基本概念插值函数（或位移函数）用以表示单元内物理量变化（如位移或位移场）的近似函数。由于该近似函数常由单元节点物理量值插值构成，故称为插值函数，如单元内物理量为位移，则该函数称为位移函数。选择位移函数的一般原则：1）位移函数在单元节点的值应等于节点位移（即单元内部是连续的）；2）所选位移函数必须保证有限元的解收敛于真实解。注：为了便于微积分运算，位移函数一般采用多项式形式，在单元

46、内选取适当阶次的多项式可得到与真实解接近的近似解有限元方法的基础知识基本概念位移函数的构造方法广义坐标法一维单元位移函数：u(x) =0 +1x +1x2 + .n xn简记为u(x) = i 为待定系数，也称为广 =1 x x2 . xn义坐标T = 0 1 2 . n有限元方法的基础知识基本概念位移函数的构造方法插值函数法 即将位移函数表示为各个节点位移与已知插值基函数积的和。如一维单元u(x) = N1 ( x)u1 + N2 ( x)u2 + .= Ni ( x)uin1二维单元注：Ni可为Lagrange、Hamiton多项式或形函数，在+1-1 间变化u(x, y) = Niui1

47、nv(x, y) = Nivi1n有限元方法的基础知识基本概念有限元法的收敛准则影响有限元解的误差：1）离散误差 2）位移函数误差收敛准则：1）位移函数必须包括常量应变（即线形项）2）位移函数必须包括单元的刚性位移（即常量项）；3）位移函数在单元内部必须连续（连续性条件）；4）位移函数应使得相邻单元间的位移协调（协调性条件）；注：上述四个条件称为有限元解收敛于真实解的充分条件；前三个条件称为必要条件。满足四个条件的位移函数构成的单元称为协调元；满足前三个条件的单元称为非协调元；满足前两个条件的单元称为完备元。有限元方法的基础知识基本概念新型单元的研究1、面向特性材料（如复合材料）的单元位移模式

48、研究2、面向几何设计的新型单元（如超单元）的研究几个热点问题面向物理问题的有限元建模如有限元建模专家系统、决策支持系统、网格划分算法等有限元法计算速度的研究如并行计算等结构优化有限元方法的基础知识有限元分析 (FEA)有限元分析是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。还利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。历史典故 结构分析的有限元方法是由一批学术界和工业界的研究者在二十世纪五十年代到二十世纪六十年代创立的。 有限元分析理论已有100多年的历史，是悬索桥和蒸汽锅炉进行手算评核的基础。有限元方法的基础知识物理系统举例几何体载

49、荷物理系统结构热电磁有限元模型有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象。真实系统有限元模型自由度（DOF ）自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性。UYROTY方向结构热电流体磁自由度位移温度电位压力磁位ROTZUZUXROTX结构 DOFs节点和单元载荷节点: 空间中的坐标位置，具有一定自由度和存在相互物理作用。单元:一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵描述（称为刚度或系数矩阵)。单元有线、面或实体以及二维或三维的单元等种类。载荷有限元模型由 些简单形状的 单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。节点和单元 (续)每个单元的特性是通过一些线性方程式来描述的。作为一个整体，单元

50、形成了整体结构的数学模型。尽管梯子的有限元模型低于100个方程（即“自由度”），然而在今天一个小的 ANSYS分析就可能有5000个未知量，矩阵可能有25，000，000个刚度系数。历史典故早期 ANSYS是随计算机硬件而发展壮大的。ANSYS最早是在1970年发布的，运行在价格为1，000，000的CDC、由Univac和IBM生产的计算机上，它们的处理能力远远落后于今天的PC机。一台奔腾PC机在几分钟内可求解50005000的矩阵系统，而过去则需要几天时间。节点和单元 (续)信息是通过单元之间的公共节点传递的。2 nodes.A.B1 node.A.B具有公共节点的单元之间存在信息传递.分

51、离但节点重叠的单元A和B之间没有信息传递（需进行节点合并处理）节点和单元 (续)节点自由度是随连接该节点 单元类型 变化的J三维杆单元 (铰接)UX, UY, UZILK二维或轴对称实体单元UX, UYIIPMLINKJIJOP三维实体结构单元UX, UY, UZMLNKJILKJ三维四边形壳单元UX, UY, UZ,ROTX, ROTY, ROTZO三维实体热单元TEMPJ三维梁单元UX, UY, UZ,ROTX, ROTY, ROTZ单元形函数FEA仅仅求解节点处的DOF值。单元形函数是一种数学函数，规定了从节点DOF值到单元内所有点处DOF值的计算方法。因此，单元形函数提供出一种描述单元

52、内部结果的“形状”。单元形函数描述的是给定单元的一种假定的特性。单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影响求解精度。单元形函数(续)二次曲线的线性近(不理想结果)DOF值二次分布真实的二次曲线.1节点单元线性近似(更理想的结果).2真实的二次曲线.节点单元.二次近似 (接近于真实的二次近似拟合)(最理想结果). . . .3节点单元.4节点单元.单元形函数(续)遵循: DOF值可以精确或不太精确地等于在节点处的真实解，但单元内的平均值与实际情况吻合得很好。 这些平均意义上的典型解是从单元DOFs推导出来的（如 结构应力，热梯度）。 如果单元形函数不能精确描述单元内部的DOFs，就不能很好地得

53、到导出数据，因为这些导出数据是通过单元形函数推导出来的。单元形函数(续)遵循原则:当选择了某种单元类型时，也就十分确定地选择并接受该种单元类型所假定的单元形函数。在选定单元类型并随之确定了形函数的情况下，必须确保分析时有足够数量的单元和节点来精确描述所要求解的问题。加权余量法变分法法里兹法约束变分原理有限元方法的数学原理变分法泛函 = F(u,Vuu, )dV + E(u, , )dSSxx其中 u 是未知函数，F 和 E 是特定的算子，V 是求解域，S 是 V 的边界。泛函 取驻值的条件是，对于微小变化 u ，泛函的“变分”等于零 = 0有限元方法的数学原理加权余量法近似解u = u = N

54、i ai = Nai=1n其中ai 是待定参数；Ni 是形函数。令余量的加权积分为 0VWT A(Na)dV + WT B(Na)dS = 0jjS( j = 1 n)有限元方法的数学原理里兹法u = u = Ni ai =Nai=1n =a1 +a2 +a1a2 +an = 0an a 1 = a2 = 0a an 有限元方法的数学原理关于里兹法的几点讨论收敛性（1）完备性：试探函数 Ni（i=1n）应取自完全函数系列。（2）协调性： Ni（i=1n）应满足 Cm-1 连续性要求。应用中的困难（1）在求解域比较复杂时，难以选取满足边界条件的试探函数。（2）为了提高近似解的精度 需要增加待定参

55、数和试探函数的项数有限元方法的数学原理加权余量法示例（虚功原理）平衡方程和力边界条件： ij, j + bi = 0（在 V 内）（在 Sp 上） ij n j pi = 0等效积分形式：V ui ( ij, j + bi )dV SVui ( ij n j pi )dS = 0pV得：或ui ij, j dV = V1ui, j + u j,i ij dV + ui ij n j dSS p2S p()= ij ij dV + ui ij n j dSV ( ij ij + ui bi )dV + S VijVui pi dS = 0p ij dV = biui dV + piui dSS

56、p有限元方法的数学原理线弹性力学的最小位能原理代入：ij = CijklkleVe(ijCijklkl ui bi )dV ui pidS = 0Sp令：ijCijklkl = Cijklijkl = U(mn) ， (ui ) = biui , (ui ) = piuiee 1 2于是： p = 0其中：p = p (ij ,ui ) = U(ij ) +(ui )dV +VS (ui )dSp 1 e= Cijklijkl biui dV piuidSV 2Sp有限元方法的数学原理约束变分原理考虑附加的约束关系C(u) = 01拉格朗日乘子法T* = + C(u)dVV2罚函数法* = +

57、 V CT (u)C(u)dV有限元方法的数学原理随着数值分析方法的逐步完善，尤其是计算机运算速度的飞速发展，整个计算系统用于求解运算的时间越来越少，而数据准备和运算结果的表现问题却日益突出在现在的工程工作站上，求解一个包含10万个方程的有限元模型只需要用几十分钟。工程师在分析计算一个工程问题时有80%以上的精力都花在数据准备和结果分析上。增强可视化的前置建模和后置数据处理功能各种有限元软件发展现状增强可视化的前置建模和后置数据处理功能目前几乎所有的商业化有限元程序系统都有功能很强的前置建模和后置数据处理模块。使用户能以可视图形方式直观快速地进行网格自动划分，生成有限元分析所需数据，并按要求将

58、大量的计算结果整理成变形图、等值分布云图，便于极值搜索和所需数据的列表输出。各种有限元软件发展现状与CAD软件的无缝集成当今有限元分析系统的另一个特点是与通用CAD软件的集成使用， 即：在用CAD软件完成部件和零件的造型设计后，自动生成有限元网格并进行计算，如果分析的结果不符合设计要求则重新进行造型和计算，直到满意为止，从而极大地提高了设计水平和效率。当今所有的商业化有限元系统商都开发了和著名的CAD软 件 （ 例 如 Pro/ENGINEER 、 Unigraphics 、SolidEdge 、 SolidWorks 、 IDEAS 、 Bentley 和AutoCAD等）的接口。各种有限元

59、软件发展现状 失效分析阶段 设计验证分析阶段 保证产品正常工作分析阶段 提高产品性能分析阶段 设计创新分析阶段 产品寿命分析阶段 各种有限元软件发展现状各种有限元软件NastranNastran是美国国家航空航天局是美国国家航空航天局(National Aeronauyics and Space Administration简称简称NASA,又称美国宇航局又称美国宇航局)为适应各种工程分析为适应各种工程分析问题而开发的多用途有限元分析程序。这个系统称为问题而开发的多用途有限元分析程序。这个系统称为NASA Structural Analysis System,命名为命名为Nastran。20世

60、纪世纪60年代初年代初,美国美国宇航局为登月需要宇航局为登月需要,决定使用有限元法开发大型结构分析系统决定使用有限元法开发大型结构分析系统,并能并能在当时所有大型计算机上运行。为此在当时所有大型计算机上运行。为此,以虚构名以虚构名Tom Butler命名的命名的NASA小组制定了一套全新的通用分析系统规范。它采用了当时唯小组制定了一套全新的通用分析系统规范。它采用了当时唯一的但并不成熟的高级语言一的但并不成熟的高级语言Fortran,在计算机计算速度还很慢在计算机计算速度还很慢,内内存还很小存还很小,且没有磁盘存储器的情况下且没有磁盘存储器的情况下,创造性地完成了该系统的研创造性地完成了该系统