第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计

1、第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 7.1 线性相位线性相位FIR数字滤波器的条件和特点数字滤波器的条件和特点 7.2 利用窗函数法设计利用窗函数法设计FIR滤波器滤波器7.3 利用频率采样法设计利用频率采样法设计FIR滤波器滤波器7.4 利用切比雪夫逼近法设计利用切比雪夫逼近法设计FIR滤波器滤波器7.5 IIR和和FIR数字滤波器的比较数字滤波器的比较第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计7.1 线性相位线性相位FIR数字滤波器的条件和特点数字滤波器的条件和特

2、点 本节主要介绍FIR滤波器具有线性相位的条件及幅度特性以及零点、网络结构的特点。 1. 线性相位条件 对于长度为N的h(n)，传输函数为(7.1.1) (7.1.2) 10)()(NnnjjenheH)()()(jgjeHeH第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 式中，Hg()称为幅度特性，()称为相位特性。注意，这里Hg()不同于|H(ej)|, Hg()为的实函数，可能取负值，而|H(ej)|总是正值。 H(ej)线性相位是指()是的线性函数，即 ，为常数 (7.1.3) 或 ，0是起始相位 (7.1.4) )(0)(第一类线性相位第二类线性相位第第7章章

3、 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计第一类线性相位的条件： h(n)是实序列且对(N-1)/2偶对称，即 h(n)=h(N-n-1) (7.1.5)1021cos)()(NngNnnhH) 1(21)(N 幅度函数Hg()和相位函数分别为：(7.1.8)(7.1.9)第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计第二类线性相位的条件： h(n)是实序列且对(N-1)/2奇对称，即 h(n)=-h(N-n-1) (7.1.6)1021sin)()(NngnNnhH22) 1()(N 幅度函数Hg()和相位函数分别为：(7.1.11)(7.1.12)第第

4、7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 2. 线性相位线性相位FIR滤波器幅度特性滤波器幅度特性Hg()的特点的特点 h(n)的长度N取奇数和偶数对Hg()的特性有影响。对于两类线性相位，分四种情况讨论。 1) h(n)=h(N-n-1), N=奇数 按照(7.1.8)式，幅度函数H g()为101( )( )cos() 2NgnNHh nn 式中，h(n)对(N-1)/2偶对称，余弦项也对(N-1)/2偶对称，可以以(N-1)/2为中心，把两两相等的项进行合并，由于N是奇数，故余下中间项n=(N-1)/2。这样幅度函数表示为第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有

5、限脉冲响应数字滤波器的设计令m=(N-1)/2-n, 则有(7.1.13) 1(0)()211( )2 (),1,2,3,22NahNNa nhn n(7.1.14) 式中 23021cos)(221)(NngNnnhNhH211cos21221)(NmgmmNhNhH210cos)(Nnnna第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 按照(7.1.13)式，由于式中cosn项对=0,2皆为偶对称，因此幅度特性Hg()的特点为： 对对=0,2偶对称偶对称 2) h(n)=h(N-n-1), N=偶数 推导情况和前面N=奇数相似，不同点是由于N=偶数，Hg()中没有单

6、独项，相等的项合并成N/2项。 101201( )( )cos() 212 ( )cos ()2NgnNnNHh nnNh nn第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计令m=N/2-n,则有/21/211( )2 ()cos ()221( )( )cos ()2( )2 (),1,2,)22NgmNgnNHhmmHb nnNNb nhn n(7.1.15) (7.1.16) =时，(7.1.15)式中余弦项为0，且关于=奇对称，因此幅度特性Hg()的特点为： 对对=奇对称，且在奇对称，且在=处有一零点，使处有一零点，使Hg()0高通和带阻不适合第第7章章 有限脉冲响

7、应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 3) h(n)=-h(N-n-1),N=奇数 将(7.1.11)式重写如下：101( )( )sin ()2NgnNHh nn 令m=(N-1)/2-n，则有(1)/21( )( )sin11( )2 (),1,2,22NgnHc nnNNc nhn n(7.1.17) (7.1.18) 幅度特性Hg()的特点为： 对对=0,2处为处为0，即在，即在z=1处为零点，且处为零点，且Hg()对对0,2呈奇对称呈奇对称第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 4) h(n)=-h(N-n-1), N=偶数 类似上面3)情况，

8、推导如下：1120011( )( )sin ()2 ( )sin)22NNgnnNNHh nnh nn令m=N/2-n,则有/21/211( )2 ()sin ()221( )( )sin ()2( )2 (),1,2,3,22NgmNgnNHhmmHd nnNNd nhn n(7.1.19) (7.1.20)第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计幅度特性Hg()的特点为： 对对=0, 2处为处为0，即在，即在z=1处为零点，且处为零点，且Hg()对对=0, 2呈奇对称，对呈奇对称，对= 偶对称偶对称第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的

9、设计第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计表明：表明：若z=zi是H(z)的零点，其倒数z=zi-1也是其零点；(1) 因为h(n)是实序列， H(z)的零点必共轭对称，因而zi*和(zi-1)*也为零点第二类线性相位的系统函数满足 (7.1.10) 3. 线性相位线性相位FIR滤波器零点分布特点滤波器零点分布特点 第一类线性相位的系统函数满足 (7.1.7)()(1)1(zHzzHN(1)1( )()NH zzH z (7.1.21) 综合表示为：)()(1)1(zHzzHN第第7章章 有限脉冲

10、响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 图7.1.1 线性相位FIR滤波器零点分布 特殊情况：特殊情况：零点是实数，只有两个零点：zi、zi-1；零点是纯虚数且在单位圆上，只有两个零点zi和zi*；(1) 零点是在单位圆上且为实数，只有一个零点zi第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 4. 线性相位FIR滤波器网络结构 设N为偶数，则有11120021122(1)00( )( )( )( )( )( )(1)( )(1)NNNnnnNnmnNNnN mnmH zh n zh n zh n zH zh n zh Nmzh nh Nn 令m=N-n-1,则

11、有120)1()()(NnnNnzznhzH(7.1.22)第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计如果N为奇数，则将中间项h(N-1)/2单独列出， (7.1.23) 21 -121 -0)1(21-)()(NNnnNnzNhzznhzH第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计图7.1.2 第一类线性相位网络结构x(n)y(n)z1z1z1z1z1z1z1h(0)h(1)h(2)h(N/21)x(n)y(n)z1z1z1z1z1z1h(0)h(1)h(2)h(N1)/2)N 偶数N 奇数第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响

12、应数字滤波器的设计图7.1.3 第二类线性相位网络结构x(n)y(n)z1z1z1z1z1z1z1h(0)h(1)h(2)h(N/21)x(n)y(n)z1z1z1z1z1z1h(0)h(1)h(2)h(N1)/2)N 偶数N 奇数111111111第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计7.2 利用窗函数法设计利用窗函数法设计FIR滤波器滤波器 设希望设计的滤波器传输函数为Hd(ej), hd(n)是与其对应的单位脉冲响应，因此 nnjdjdenheH)()(deeHnhnjjdd)(21)(第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 相

13、应的单位取样响应hd(n)为,()0,j acjdceHe(7.2.1)1sin()( )2()ccj aj ncdnah needna(7.2.2) 为了构造一个长度为N的线性相位滤波器，只有将hd(n)截取一段，并保证截取的一段对(N-1)/2对称。设截取的一段用h(n)表示，即 h(n)=hd(n)RN(n) (7.2.3) 理想滤波器：无限长无限长加窗处理加窗处理第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计图7.2.1 理想低通的单位脉冲响应及矩形窗第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 我们实际实现的滤波器的单位取样响应为h(n)

14、, 长度为N，其系统函数为H(z)，10( )( )NnnH zh n z以上就是用窗函数法设计以上就是用窗函数法设计FIRFIR滤波器的思路。滤波器的思路。 我们知道，Hd(ej)是一个以2为周期的函数，可以展为傅氏级数，即()( )jj nddnHeh n e(7.2.4)第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计对(7.2.3)式进行傅里叶变换，根据复卷积定理，得到：(1()()()2jjjdNH eHeRed 式中，Hd(e j)和RN(ej)分别是hd(n)和RN(n)的傅里叶变换，即111(1)200sin(/2()( )( )sin(/2)NNjNjj

15、nj njaNNNnnNReRn eeeRe(7.2.5) sin(/21( ),sin(/2)2NNNR其中，RN()称为矩形窗的幅度函数第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计将Hd(ej)写成下式：()( )jj addHeHe按照(7.2.1)式，理想低通滤波器的幅度特性Hd()为1,( )0,cdcH将Hd(e j)和RN(e j)代入(7.2.4)式，得到：()1()( )()21( )()2jj ajadNj adNH eHeRedeHRd 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 将H(ej)写成下式： ()( )1( )

16、( )()2jj adNH eHeHHRd(7.2.6)截断后实际滤波器的幅度特性等于理想低通滤截断后实际滤波器的幅度特性等于理想低通滤波器的幅度特性与矩形窗幅度特性的卷积波器的幅度特性与矩形窗幅度特性的卷积第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 图7.2.2 矩形窗对理想低通 幅度特性的影响 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 对hd(n)加矩形窗处理后，H()和原理想低通Hd()差别有以下两点： (1)在理想特性不连续点=c附近形成过渡带。过渡带的宽度，近似等于RN()主瓣宽度，即4/N。 (2)通带内增加了波动，最大的峰值在

17、c-2/N处。阻带内产生了余振，最大的负峰在c+2/N处。波动情况与窗函数幅值谱有关， RN()波动愈快（N），通、阻带内波动愈快， RN()旁瓣的大小直接影响H()波动的大小。 吉布斯效应吉布斯效应第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计在主瓣附近，按照(7.2.5)式，RN()可近似为 sin(/2)sin( )/2NNxRNx如何减小吉布斯效应？如何减小吉布斯效应？（1）x, N主瓣幅度，旁瓣，主、旁瓣相对值不变；xxxsin 只能使过渡带变窄，不能减小吉布斯效应。只能使过渡带变窄，不能减小吉布斯效应。（2）旁瓣小的窗函数减小通带、阻带波动/加大阻带衰减第第7

18、章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 下面介绍几种常用的窗函数。设 h(n)=hd(n)w(n) 式中w(n)表示窗函数。 1. 矩形窗矩形窗(Rectangle Window) wR(n)=RN(n) 前面已分析过，按照(7.2.5)式，其频率响应为1(1)2sin(/2)()sin(/2)jNjRNWeedBNBdBsgn21/413；第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 2. 三角形窗(Bartlett Window)21,0(1)12( )212,(1)112BrnnNNnnNnNN(7.2.8) 其频率响应为 (7.2.9)

19、212)2sin(4sin2)(NjjBreNNeWdBNBdBsgn25/825；第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 3. 汉宁(Hanning)窗升余弦窗当N1时，N-1N， 21)()()()(12cos15 .0)(NjRgNjRNHneWnRFTeWnRNnnw)()()(HngHnHnWWFTWNWNWWWRgRgRgHng2225. 0)(5 . 0)(dBNBdBsgn44/831；第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计图7.2.3 汉宁窗的幅度特性第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设

20、计 4. 哈明(Hamming)窗改进的升余弦窗2( )0.540.46cos()( )1HmNnnRnN(7.2.11)其频域函数WHm (e j)为22()()11()0.54()0.23()0.23()22( )0.54()0.23()0.23()11jjjjNNHmRRRjHmRRRWeWeWeWeWWeWWNN其幅度函数WHm()为当N1时，可近似表示为dBNBdBsgn53/841；NWNWWWRgRgRgHmg223. 0223. 0)(54. 0)(第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 5. 布莱克曼(Blackman)窗121225. 0)(4

21、2. 0)(NWNWWWRRRBl24( )0.420.5cos0.08cos( )11BlNnnnRnNN(7.2.13) 其频域函数为22()()11R22()()11()0.42()0.25()()0.04()()jjjjNNBlRRjjNNRRWeWeWeWeWeWe其幅度函数为(7.2.14) 141404. 0NWNWRRdBNBdBsgn74/1257；第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计图7.2.4 常用的窗函数第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计图7.2.5 常用窗函数的幅度特性(a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三

22、角形窗)；(c)汉宁窗；(d)哈明窗；(e)布莱克曼窗 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 图7.2.6 理想低通加窗后的幅度特性(N=51,c=0.5) (a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)汉宁窗； (d)哈明窗；(e)布莱克曼窗第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 6. 凯塞贝塞尔窗(Kaiser-Basel Window) 002201( )( ),01( )21(1)11( )1( ) )! 2kkkInnNInNxIxk 式中 I0(x)是零阶第一类修正贝塞尔函数，可用下面级数计算：一种参数可调的窗函数一

23、种参数可调的窗函数第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 一般I0(x)取1525项，便可以满足精度要求。参数可以控制窗的形状。一般加大，主瓣加宽，旁瓣幅度减小，典型数据为4，如有，再在该点附近找出局部极值点，并用该点代替原来的点。 (3)利用和第二步相同的方法，把各频率处使|E()|的点作为新的局部极值点，从而又得到一组新的交错点组。第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计图7.4.2 雷米兹算法流程图给出M2 个交错点组频率初始值：i , i0,1,2, M1得用（7.4.7) 式计算偏差得用（7.4.9) 式计算Hd()计算误差函

24、数E()，以及局部极值点频率，在这些点上满足得到一组新的交错点组频率极值点是M2个还是M3 个？极值频率相对上次是否变化？得到最佳一致逼近的Hd()结束舍掉两个端点中使偏差较小的一个M3M2不变E() 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 3. 线性相位FIR滤波器的四种类型统一表示式 在7.1节，我们已推导出线性相位的四种情况，它们的幅度特性H-g()分别如下式： 000(1) ( )(1),1( )( )cos,2(2) ( )(1),1( )( )cos(),22(3) ( )(1),1( )( )sin,2(4) ( )(1),1( )( )cos()

25、,22MgnMgn iMgnMgnh nh NnNNHa nn Mh nh NnNNHb nnMh nh NnNNHc nn Mh nh NnNNHd nnM 奇数 奇数 偶数 偶数 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 经过推导可把H-g()统一表示为 Hg()=Q()P() (7.4.13) 式中，P()是系数不同的余弦组合式，Q()是不同的常数，四种情况的Q()和P()如表7.4.1所示。第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计表7.4.1 线性相位FIR滤波器四种情况 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 表中 、 和 与原系数b(n)，c(n)和d(n)之间关系如下： ( )b n( )c n( )d n1(1)(0)(1)21( ) (1)( )21()(1)22,3,1bbbb nb nb nb Mb MnM(7.4.14) 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的