高等数学第七版课件163二元函数的连续性

1、一、二元函数的连续性概念二、有界闭域上连续函数的 性质 无论是单元微积分还是多元微积分, 其中所讨论的函数, 最重要的一类就是连续函数.二元函数连续性的定义比一元函数更一般化了些; 而它们的局部性质与在有界闭域上的整体性质, 二者完全相同.3 二元函数的连续性 数学分析 第十六章多元函数的极限与连续*点击以上标题可直接前往对应内容数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社 定义11. 1. 连续性连续性0,0, 0(;)PU PD 若若只要只要, 就有就有0|()()|,(1)f Pf P 则称则称 f 关于集合关于集合 D 在点在点 连续连续.0P在不致误解的情形下在不致误解的情

2、形下, 也称也称 f 在点在点 连续连续. 0P若若 f 在在 D 上任何点都关于集合上任何点都关于集合 D 连续连续,则称则称 f 为为 D 上的上的连续函数连续函数. 3 二元函数的连续性 二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质二元函数的连续性概念2RD 设设 f 为定义在点集为定义在点集上的二元函数上的二元函数, 0P.D 后退 前进 目录 退出数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社由上述定义知道由上述定义知道: 若若 是是 D 的孤立点的孤立点, 则则 必定是必定是 0P0P00lim()().(2)PPP Df Pf P 0P 若若 是是 D 的聚点的聚点, 则

3、则 f 关于集合关于集合 D 在点在点连续等价于连续等价于 0P如果如果 是是 D 的聚点的聚点, 而而 (2) 式不成立式不成立 (其含义与一元其含义与一元0P函数的对应情形相同函数的对应情形相同 ), 则称则称 是是 f 的的不连续点不连续点 (或或 0P特别当特别当 (2) 式左边极限存在式左边极限存在, 但不等于但不等于 0()f P0P是是 f 的的可去间断点可去间断点. 时时,3 二元函数的连续性 二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质f 的连续点的连续点. 称称间间断点断点). 数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社222222,1( ,)(0, 0),(

4、,)20,( ,)(0, 0),f x yxxyyxyxyx yf x yxyx y例例如如, ,上上节节例例，上上节节例例在在原原点点均均连连续续，而而3 二元函数的连续性 二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质222( ,)310,( ,)40 xyf x yxyyxxf x y上上节节例例，, ,上上节节例例， 其其余余部部分分. .在在原原点点均均不不连连续续. . 数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社又若把上述例又若把上述例3 的函数改为的函数改为222, ( ,)( ,)|,0 ,( ,),( ,)(0,0),1xyx yx yymx xxyf x ymx

5、ym上，上，2( ,)(0,0)lim( ,)(0, 0),1x yymxmf x yfm 其中其中 m 为固定实数为固定实数, 亦即函数亦即函数 f 只定义在只定义在 ymx因此因此 f 在原点沿着直线在原点沿着直线 是连续的是连续的ymx3 二元函数的连续性 二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质这时由于这时由于数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社2( cos , sin )(cos )f rrr ( , )(0,0)lim( , )0(0,0),x yf x yf 因此因此 此时此时 f 在原点连在原点连22, ( , )(0,0),( , )(0)0,( , )

6、(0,0),xx yf x yxyx y 在坐标原点的连续性在坐标原点的连续性例例1 讨论函数讨论函数 解解 由于当由于当 20r 且且时时, ,( , )(0,0)2,lim( , )x yf x y 时时而当而当 不存在，不存在， 此时此时f在原点间断在原点间断 3 二元函数的连续性 二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质续续; 20,r 数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社2. 全增量与偏增量全增量与偏增量 00000(,)( ,),P xyP x yDxxxyyy 、设设0000(,)( ,)(,)zf xyf x yf xy 称称0000(,)(,)f xx

7、yyf xy 量形式来描述连续性量形式来描述连续性, 为函数为函数 f 在点在点 的全增量的全增量. 0P(,)(0,0)( ,)lim0 xyx yDz 时时, f 在点在点 连续连续. 0P3 二元函数的连续性 二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质和一元函数一样和一元函数一样, 可用增可用增即当即当数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社00,xy 或或如果在全增量中取如果在全增量中取 则相应得到的则相应得到的 增量称为偏增量增量称为偏增量, 000000(,)(,)(,),xf xyf xx yf xy 000000(,)(,)(,).yf xyf xyyf xy

8、一般说来一般说来, 全增量并不等于相应的两个偏增量之和全增量并不等于相应的两个偏增量之和. 若一个偏增量的极限为零若一个偏增量的极限为零, 如如 000lim(,)0,xxf xy 0yy 0( ,)f x y则表示当固定则表示当固定 时时, 作为作为 x 的函数的函数, 它它 固定固定 时时， 0(,)f xy在在 y0 连续连续. 0 xx3 二元函数的连续性 二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质分别记作分别记作则表示则表示当当 000lim(,)0,yyf xy 若若同理同理, 在在 x0 连续连续. 数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社容易证明容易证明: 当当

9、 f 在其定义域的内点在其定义域的内点 连续时连续时, 00(,)xy0( ,)f x y0(,)f xy在在 x0 与与 在在 y0 都连续都连续. 由二元函数对单个自变量都连续，由二元函数对单个自变量都连续，函数的连续性函数的连续性 (除非另外增加条件除非另外增加条件). 10,( ,)00 xyf x yxy ，在原点处显然不连续在原点处显然不连续, 因此它在原点处对因此它在原点处对 x 和对和对 y 分别都连续分别都连续. 3 二元函数的连续性 二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质但是反过来但是反过来, 例如二元函数例如二元函数一般不能保证该一般不能保证该但由于但由于 f (0

10、, y) = f (x, 0) = 0, 数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社3. 连续函数的局部性质连续函数的局部性质 以及相应的有理运算的各个法则以及相应的有理运算的各个法则. 若二元函数在某一点连续若二元函数在某一点连续, 则与一元函数一样则与一元函数一样, 可以可以证明它在这一点近旁具有局部有界性、局部保号性证明它在这一点近旁具有局部有界性、局部保号性复合函数的连续性定理复合函数的连续性定理, 其余留给读者自己去练习其余留给读者自己去练习. 3 二元函数的连续性 二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质下面只证明二元下面只证明二元数学分析 第十六章 多元函数的极限

11、与连续高等教育出版社 定理16.7（复合函数连续性）000000(,),(,).uxyvxy 则复合函数则复合函数 ( , )( ( , ),( , )g x yfx yx y 在点在点 P0 也连续也连续. 0,0, 使得当使得当 000(,)Q u v的某邻域内有定义的某邻域内有定义, 并在点并在点 Q0 连续连续, 00|( , )(,)|.f u vf uv 00|, |uuvv时时, 有有3 二元函数的连续性 二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质设函数设函数( ,)ux y 和和 ( ,)vx y 000(,)P xy在点在点 的的某邻域内有某邻域内有定义定义, 并在并在 点

12、点 连续连续; 0Pf (u, v) 在点在点证证 由由 f 在点在点 Q0 连续可知：连续可知：其中其中 数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社又由又由 、 在点在点 P0 连续可知连续可知: 对上述对上述 0,0, 使使得当得当00|,|xxyy 时时, 有有000|( , )(,)|,uuu vuv 000|( , )(,)|.vvu vuv 0000|( ,)(,)|( , )(,)|.g x yg xyf u vf uv 00|,|xxyy 综合起来综合起来, 当当 时时, 便有便有所以所以 ( ( ,),( ,)fx yx y 在点在点 连续连续. 000(,)P

13、xy3 二元函数的连续性 二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质00|( , )(,)|.f u vf uv 00|, |uuvv时时, 有有数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社 定理16.8（复合函数连续性）本段讨论有界闭域上多元连续函数的整体性质本段讨论有界闭域上多元连续函数的整体性质. 这可以看作闭区间上一元连续函数性质的推广这可以看作闭区间上一元连续函数性质的推广. 上有界上有界且能取得最大值与最小值且能取得最大值与最小值. |()|,1, 2,.(3)nf Pnn 倘若不然倘若不然, 则则 +N ,n 存存 ,nPD 使得使得 在在 3 二元函数的连续性 二元

14、函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质有界闭域上连续函数的性质若二元函数若二元函数 f 在在有界闭域有界闭域 2RD 上连续上连续, 证证 先证明先证明 f 在在 D 上有界上有界. 则则 f 在在 D, 数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社nPD nP于是得到一个有界点列于是得到一个有界点列 , 且能使且能使 中有无中有无 由聚点定理的推论由聚点定理的推论,nP 存在收敛存在收敛 ,knP子列子列 0lim.knkPP 设设又因又因 f 在在 D上连续上连续, 当然在点当然在点 也连续也连续, 0P0lim()().knkf Pf P 这与不等式这与不等式 (3) 矛盾，

15、所以矛盾，所以 f 是是 D上的有界函数上的有界函数. 下面证明下面证明 f 在在 D 上能取到最大、小值上能取到最大、小值. inf(),sup().mf DMf D3 二元函数的连续性 二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质|()|,1, 2,.(3)nf Pnn 穷多个不同的点穷多个不同的点. 因因 D 是闭域是闭域, 从而从而 0.PD 为此设为此设于是有于是有QD ()f QM 可证必有一点可证必有一点 , 使使(同理可证最小值同理可证最小值) 数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社,PD 如若不然如若不然, 对任意对任意 都都有有()0.Mf P 1( ),(

16、 )F PMf P 由前面的证明知道由前面的证明知道, F 在在 D上有界上有界. 上达到上确界上达到上确界 M, 使使 lim()nnf PM . 在在 D 上有界的结论相矛盾上有界的结论相矛盾, 到最大值到最大值.3 二元函数的连续性 二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质考察考察 D 上的正值连续函数上的正值连续函数 又因又因 f 不能在不能在 D 于是有于是有lim(),nnF P 这导致与这导致与 F ,nPD 所以存在收敛点列所以存在收敛点列从而证得从而证得 f 在在 D 上能取上能取 数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社 定理16.9（一致连续性定理）证证

17、 本定理可参照第七章的方法本定理可参照第七章的方法, 运用有限覆盖定理运用有限覆盖定理来证明来证明. 这里我们用聚点定理证明这里我们用聚点定理证明. 倘若倘若 f 在在 D 上连续而不一致连续上连续而不一致连续, 则存在某则存在某 00, 0, 1,1, 2,n n 对对于任意小的于任意小的 例如例如nnPQD 、(,)1nnP Qn 相应相应的的 , 虽然虽然 , 3 二元函数的连续性 二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质若函数若函数 f 在有界闭域在有界闭域 2RD 上连续上连续, 0, 即即存在只依赖于存在只依赖于 0, 的的必有必有 ,P QD 的的点点( ,)P Q 切满足切

18、满足|()()|.f Pf Q 致连续致连续. 则则 f 在在 D 上一上一使得对一使得对一总有总有 数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社由于由于 D 为有界闭域为有界闭域, 因此存在收敛子列因此存在收敛子列,knnPP 0lim.knkPPD 并设并设nQknP再在再在中取出与中取出与下下 标相同的子列标相同的子列,knQ 0(,)10,kknnkPQnk 有有0limlimkknnkkQPP. lim |()()|kknnkf Pf Q 0|()()|0kknnf Pf Q 这与这与相矛盾相矛盾, 上一致连续上一致连续. 3 二元函数的连续性 二元函数的连续性概念有界闭域

19、上连续函数的性质0|()()|.nnf Pf Q 但是但是 则因则因最后最后, 由由 f 在在 P0 连续连续, 得得 00|()()|0.f Pf Q 所以所以 f 在在 D 数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社 定理16.10（介值性定理）任意两点任意两点, 且且12()(),f Pf P 则对任何满足不等式则对任何满足不等式12()()(4)f Pf P 证证 作辅助函作辅助函数数0,PD 的实数的实数 , 必存在点必存在点 ()(),.F Pf PPD 易见易见 F 仍在仍在 D 上连续上连续, 且由且由 (4) 式知道式知道1()0,F P 0PD 0()0.F P

20、 下面证明必存在下面证明必存在, 使使3 二元函数的连续性 二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质设函数设函数 f 在区域在区域2RD 上连续上连续, 若若P1 , P2 为为 D 中中2()0.F P 0().f P 使得使得数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社 1P2PDxyO图 16 -18 由于由于 D 为区域为区域, 我们可以用有限段都在我们可以用有限段都在 D 中的折线中的折线 连结连结 P1 和和 P2 (如图如图 16-18).的函数值为的函数值为 0, 则定理得证则定理得证. 否则从一端开始逐段检查否则从一端开始逐段检查, 在它两端的函数值异号在它两端

21、的函数值异号. 必定存在某直线段必定存在某直线段,使得使得 F 3 二元函数的连续性 二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质若有某一个连接点所对应若有某一个连接点所对应数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社不失一般性不失一般性, 设连结设连结P1(x1, y1), P2(x2, y2) 的直线段含的直线段含于于 D, 121121(),01.(),xxt xxtyyt yy 在此直线段上在此直线段上, F 变为关于变为关于 t 的复合函数：的复合函数：121121( )(),(),01.G tF xt xxyt yyt 由于由于 G 为为 0, 1 上的一元连续函数上的一

22、元连续函数, 且且 12()(0)0(1)(),F PGGF P 3 二元函数的连续性 二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质其方程为其方程为数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社因此由一元函数根的存在定理因此由一元函数根的存在定理, 在在 (0, 1) 内存在一点内存在一点 0,t0( )0.G t 使得使得记记0102101021(),(),xxtxxyytyy 则有则有000(,)P xyD , 使得使得000()( )0,().F PG tf P 即即续函数续函数, 则则 f (D) 必定是一个区间必定是一个区间 (有限或无限有限或无限). 注注1 由定理由定理1

23、6. 10 又可知道又可知道, 若若 f 为区域为区域 D 上的连上的连3 二元函数的连续性 二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社有连通性的有连通性的. 界闭集界闭集 (证明过程无原则性变化证明过程无原则性变化). 中所考察的点集中所考察的点集 D 只能假设是一区域只能假设是一区域, 这是为了保这是为了保 证它具有连通性证它具有连通性, 注注2 定理定理16. 8 与与 16. 9 中的有界闭域中的有界闭域 D 可以改为有可以改为有 例例3 ( , ) , , f x ya bc d设设在在上上连连续续, , 又又有有函函数数序序( ) , ,kxa b 列列在在上上一一致致收收敛敛 且且( ), , ,1,