晶体的对称性

1、固体物理学固体物理固体物理1 晶体在几何外形上表现出明显的对称性晶体在几何外形上表现出明显的对称性 对称性的性质也在物理性质上得以体现对称性的性质也在物理性质上得以体现介电常数表示为二阶张量介电常数表示为二阶张量( , , )x y z ED电位移电位移01/341.5 1.5 晶体的晶体的宏观宏观对称性对称性晶体的理想外形及其在宏观观察中表现出来的对称性称为晶体的宏观对称性. 晶体的宏观对称性是在晶体微观对称性基础上表现出来的.固体物理学固体物理固体物理2ED电位移电位移 对于立方对称的晶体对于立方对称的晶体0ED0介电常数看作一个简单的标量介电常数看作一个简单的标量固体物理学固体物理固体物

2、理3000000/ 六角对称晶体六角对称晶体 将坐标轴取在六角轴和垂直于六角轴的平面内将坐标轴取在六角轴和垂直于六角轴的平面内介电常数介电常数固体物理学固体物理固体物理4000000/E/EDEED平行轴平行轴(六角轴六角轴)分量分量垂直于六角轴分量垂直于六角轴分量 由于六角晶体的各向异性，具有光的双折射现象由于六角晶体的各向异性，具有光的双折射现象 立方晶体的光学性质则是各向同性的立方晶体的光学性质则是各向同性的固体物理学固体物理固体物理5 原子的周期性排列形成晶格原子的周期性排列形成晶格 不同的晶格表现出不同的宏观对称性不同的晶格表现出不同的宏观对称性晶体宏观对称性晶体宏观对称性 考察晶体

3、在正交变换的不变性考察晶体在正交变换的不变性 三维情况下，正交变换的表示三维情况下，正交变换的表示 矩阵是正交矩阵矩阵是正交矩阵111213122223131333xaaaxyaaayzaaaz3, 2, 1,jiaij晶体的宏观对称性的描述晶体的宏观对称性的描述05/34固体物理学固体物理固体物理6 绕绕z轴转轴转 角的正交矩阵角的正交矩阵1000cossin0sincos固体物理学固体物理固体物理7 中心反演的正交矩阵中心反演的正交矩阵100010001 空间转动，矩阵行列式等于空间转动，矩阵行列式等于1 空间转动加中心反演，矩阵行列式等于空间转动加中心反演，矩阵行列式等于1固体物理学固体

4、物理固体物理8 一个晶体在某一变换后，晶体在空间的分布保持不变，这一变换称为对称性操作。 对称操作的数目越多，晶体的对称性就越高，晶体的对称类型是由少数基本的对称操作组合而成。如果包括平移，有230种对称类型，称为空间群。若不包括平移，有32种宏观对称类型，称为点群。固体物理学固体物理固体物理91.转动 将晶体绕某轴旋转一定角度后，晶体能自身重合的操作。 若转动的角度2/n ,则称该轴为n重旋转轴。 由于晶体周期性的制约，晶体只有1，2，3，4，6五种转轴，也用C1，C2，C3，C4，C6表示。1122331000cossin0sincosxxxxxx固体物理学固体物理固体物理10为什么没有5

5、度旋转轴？ 设设B1ABA1是晶体中某一晶是晶体中某一晶面上的一个晶列，面上的一个晶列，AB为这一晶为这一晶列上相邻的两个格点列上相邻的两个格点。A1ABB1 AB 若晶体绕通过格点若晶体绕通过格点A并垂直于并垂直于纸面的纸面的u轴顺时针转轴顺时针转 角后能自身重角后能自身重合，则由于晶体的周期性，通过格合，则由于晶体的周期性，通过格点点B也有一转轴也有一转轴u。, ,ABBA2cos1BA AB是是 的整数倍，的整数倍， 固体物理学固体物理固体物理111 ,21, 0cos ,23,212,62,42相反若相反若逆时针转逆时针转 角后能自身重合，则角后能自身重合，则A1ABB1 AB, ,A

6、BBA2cos1BA AB是是 的整数倍，的整数倍， 1,21, 0cos ,32,222,32,42 643212, , , , ,n,n综合上述证明得：综合上述证明得：固体物理学固体物理固体物理12晶体对称定律：晶体对称定律：在晶体中不可能存在五次在晶体中不可能存在五次及高于六次的对称轴。及高于六次的对称轴。因为不符合空间格因为不符合空间格子规律，其对应的网孔不能毫无间隙地布子规律，其对应的网孔不能毫无间隙地布满整个平面。满整个平面。固体物理学固体物理固体物理132.中心反演 将任一点（x1,x2,x3）变成（-x1,-x2,-x3）的操作。112233100010001xxxxxx100

7、010001A固体物理学固体物理固体物理143.镜面反演 以x1=0的平面为镜面，将任一点（x1,x2,x3）变成（-x1, x2, x3）的操作。112233100010001xxxxxx100010001A固体物理学固体物理固体物理4.旋转反演操作（象转操作） 若绕某轴旋转2/n 角度后再经中心反演，晶体能自身重合，则称该操作为旋转反演操作，此轴称为n度旋转反演轴。n=1,2,3,4,6.分别用 表示。3i (表示联合操作）36i (表示联合操作）664321,固体物理学固体物理固体物理161 立方体的对称操作立方体的对称操作 1) 绕三个立方轴转动绕三个立方轴转动 9个对称操作个对称操作

8、23,2固体物理学固体物理固体物理17 共有共有6个对称操作个对称操作2) 绕绕6条面对角线轴转动条面对角线轴转动固体物理学固体物理固体物理18 8个对称操作个对称操作3) 绕绕4个立方体对角线个立方体对角线轴转动轴转动34,324) 正交变换正交变换(不动不动) 1个对称操作个对称操作10001000110/34固体物理学固体物理固体物理19 立方体的对称操作共有立方体的对称操作共有48个个5) 以上以上24个对称操作个对称操作 加中心反演仍是对称操作加中心反演仍是对称操作固体物理学固体物理固体物理202 正四面体的对称操作正四面体的对称操作 四个原子位于正四个原子位于正四面体的四个顶角上四

9、面体的四个顶角上 金刚石晶格金刚石晶格 对称操作包含在对称操作包含在 立方体操作之中立方体操作之中 固体物理学固体物理固体物理21 共有共有3个对称操作个对称操作1) 绕三个立方轴转动绕三个立方轴转动 8个对称操作个对称操作2) 绕绕4个立方体对角线轴转动个立方体对角线轴转动34,323) 正交变换正交变换 1个对称操作个对称操作100010001固体物理学固体物理固体物理22 6个对称操作个对称操作4) 绕三个立方轴转动绕三个立方轴转动23,2加中心反演加中心反演 6个对称操作个对称操作5) 绕绕6条面对角线轴转动条面对角线轴转动加上中心反演加上中心反演 正四面体正四面体 对称操作共有对称操

10、作共有24个个15/34固体物理学固体物理固体物理233 正六面柱的对称操作正六面柱的对称操作 1) 绕中心轴线转动绕中心轴线转动35,34,32,3 5个个 3个个3) 绕相对面中心连线转动绕相对面中心连线转动 3个个4) 正交变换正交变换5) 12个对称操作加中心反演个对称操作加中心反演 正六面柱的对称操作有正六面柱的对称操作有24个个2) 绕对棱中点连线转动绕对棱中点连线转动 1个个固体物理学固体物理固体物理24对称素对称素 简洁明了地概括一个物体的对称性简洁明了地概括一个物体的对称性对称素对称素 一个物体的旋转轴、旋转反演轴一个物体的旋转轴、旋转反演轴 物体绕某一个转轴转动物体绕某一个

11、转轴转动 加上中心反演的联合操作加上中心反演的联合操作 以及其联合操作的倍数不变时以及其联合操作的倍数不变时 该轴为该轴为n重旋转反演轴，计为重旋转反演轴，计为2 /nn4 对称素对称素 物体绕某一个转轴转动物体绕某一个转轴转动 ，以及其倍数不变时，以及其倍数不变时 该轴为该轴为n重旋转轴，计为重旋转轴，计为2 /nn固体物理学固体物理固体物理25面对角线面对角线 为为2重轴，计为重轴，计为2( ) 立方体立方体3(,)22立方轴立方轴 为为4重轴，计为重轴，计为44同时也是同时也是4重旋转反演轴，计为重旋转反演轴，计为2同时也是同时也是2重旋转反演轴，计为重旋转反演轴，计为固体物理学固体物理

12、固体物理2624(,)33体对角线轴体对角线轴 为为3重轴，计为重轴，计为33同时也是同时也是3重旋转反演轴，计为重旋转反演轴，计为固体物理学固体物理固体物理27 正四面体正四面体体对角线轴是体对角线轴是3重轴重轴 不是不是3重旋转反演轴重旋转反演轴 立方轴是立方轴是4重旋转反演轴重旋转反演轴 不是不是4重轴重轴面对角线是面对角线是2重旋转反演轴重旋转反演轴 不是不是2重轴重轴20/34固体物理学固体物理固体物理28 对称素对称素 的含义的含义2 先绕轴转动角度先绕轴转动角度 ，再作中心反演，再作中心反演 A点是点是A点在通过中心垂直于转轴的平面点在通过中心垂直于转轴的平面M的镜像的镜像 对称

13、素对称素 存在一个对称面存在一个对称面M2 用用 表示表示m or一个物体的全部对称操一个物体的全部对称操作构成一个对称操作群作构成一个对称操作群 对称素为镜面对称素为镜面固体物理学固体物理固体物理29旋转-反演对称轴并不都是独立的基本对称素。如：12i1123456i 3312m21 固体物理学固体物理固体物理30ABDCEFGH正四面体既无四正四面体既无四度轴也无对称心度轴也无对称心6=3+m12345661 2 3 4 5 123443 1 4 2 CADGFHEB固体物理学固体物理固体物理311 1，2 2，3 3，4 4，6 6 度旋转对称操作。度旋转对称操作。 1 1，2 2，3

14、3，4 4，6 6度旋转反演对称操作。度旋转反演对称操作。(3)(3)中心反中心反演演：i。(4)(4)镜象反映：镜象反映：m。 C1，C2，C3，C4，C6 （用熊夫利符号表示）（用熊夫利符号表示）S1，S2，S3，S4，S6（用熊夫利符号表示）（用熊夫利符号表示）点对称操作：点对称操作：(2)(2)旋转反演对称操作：旋转反演对称操作：(1)(1)旋转对称操作：旋转对称操作： 独立的对称操作有8种, ,即即1 1，2 2，3 3，4 4，6 6，i i，m m， 。 或或C1，C2，C3，C4，C6 ，Ci，Cs，S4。 4固体物理学固体物理固体物理32立方体对称性立方体对称性(1)(1)立

15、方轴立方轴C4：3 3个立方轴；个立方轴；4个个3度轴；度轴；(2)体对角线体对角线C3：(3)面对角线面对角线C2：6个个2度轴；度轴；固体物理学固体物理固体物理33 所有点对称操作都可由这所有点对称操作都可由这8种操作或它们的组合来完成。种操作或它们的组合来完成。一个晶体的全部对称操作构成一个群，每个操作都是群的一个，每个操作都是群的一个元素。对称性不同的晶体属于不同的群。由旋转、中心反演、元素。对称性不同的晶体属于不同的群。由旋转、中心反演、镜象和旋转镜象和旋转-反演点对称操作构成的群，称作点群。反演点对称操作构成的群，称作点群。 理论证明，所有理论证明，所有晶体只有32种点群，即只有，

16、即只有32种不同的点对种不同的点对称操作类型。这种对称性在宏观上表现为晶体外形的对称及物理称操作类型。这种对称性在宏观上表现为晶体外形的对称及物理性质在不同方向上的对称性。所以又称宏观对称性。性质在不同方向上的对称性。所以又称宏观对称性。如果考虑平移，还有两种情况，即如果考虑平移，还有两种情况，即螺旋轴和滑移反映面。固体物理学固体物理固体物理34 （5 5）n度螺旋轴度螺旋轴：若绕轴旋转：若绕轴旋转2 / /n角以后，再角以后，再沿轴方向平移l( (T/ /n) )，晶体能自身重合，则称此轴为，晶体能自身重合，则称此轴为n度螺旋轴。其中度螺旋轴。其中T是是轴方向的周期，轴方向的周期， l是小于

17、是小于n的整数。的整数。 n只能取只能取1、2、3、4、6。 （6 6）滑移反映面滑移反映面：若经过某面：若经过某面进行镜象操作后，再沿平行于该面进行镜象操作后，再沿平行于该面的某个方向平移的某个方向平移T/ /n后，晶体能自后，晶体能自身重合，则称此面为滑移反映面。身重合，则称此面为滑移反映面。 T是平行方向的周期，是平行方向的周期， n可取可取2或或4。固体物理学固体物理固体物理35点群（点群（32种）种） Schnflies符号：用符号：用主轴脚标主轴脚标表示表示 国际符号：以国际符号：以特征方向的对称性特征方向的对称性来表示来表示主轴：主轴：Cn、Dn、Sn、T和和OCn：n次旋转轴次

18、旋转轴 Sn : n次旋转反映轴次旋转反映轴 Dn：n次旋转轴加上一个与之垂直的二次轴次旋转轴加上一个与之垂直的二次轴T： 四面体群四面体群 O： 八面体群八面体群 脚标：脚标：h、v、dh：垂直于：垂直于n次轴（主轴）的次轴（主轴）的水平水平面为对称面面为对称面v：含：含n次轴（主轴）在内的次轴（主轴）在内的竖直竖直对称面对称面d：垂直于主轴的两个二次轴的：垂直于主轴的两个二次轴的平分平分面为对称面面为对称面固体物理学固体物理固体物理36晶体的宏观对称类型：晶体的宏观对称类型：八类对称元素按合理组合，但不能产生5或高于6的轴次。由此，推出晶体所属的32个点群。轴 C1 C2 C3 C4 C6

19、轴面mhmv CS C2h C3h C4h C6h C2V C3V C4V C6V轴21面无面 D2 D3 D4 D6mhmv D2h D3h D4h D6h D2d D3d轴mi Ci C3i S4正四面体 T Th Td正八面体 O Oh固体物理学固体物理固体物理375 群的概念群的概念 群代表一组群代表一组“元素元素”的集合，的集合，G E, A ,B, C, D 这些这些“元素元素”被赋予一定的被赋予一定的“乘法法则乘法法则”，满足下列，满足下列性质性质1) 集合集合G中任意两个元素的中任意两个元素的“乘积乘积”仍为集合内的元素仍为集合内的元素 若若 A, B G, 则则AB=C G.

20、 叫作群的封闭性叫作群的封闭性2) 存在单位元素存在单位元素E, 使得所有元素满足：使得所有元素满足：AE = A3) 对于任意元素对于任意元素A, 存在逆元素存在逆元素A-1, 有：有：AA-1=E4) 元素间的元素间的“乘法运算乘法运算”满足结合律：满足结合律：A(BC)=(AB)C固体物理学固体物理固体物理38正实数群正实数群 所有正实数所有正实数(0 除外除外)的集合，以普通乘法为的集合，以普通乘法为 运算法则运算法则整数群整数群 所有整数的集合，以加法为运算法则所有整数的集合，以加法为运算法则 一个物体一个物体全部对称操作全部对称操作的集合满足上述群的定义的集合满足上述群的定义运算法

21、则运算法则 连续操作连续操作固体物理学固体物理固体物理39单位元素单位元素 不动操作不动操作任意元素的任意元素的逆元素逆元素 绕转轴角度绕转轴角度 ，其逆操作为绕转轴，其逆操作为绕转轴角度角度 ；中心反演的逆操作仍是中心反演；中心反演的逆操作仍是中心反演；连续进行连续进行A和和B操作操作 相当于相当于C操作操作A 操作操作 绕绕OA轴转动轴转动 /2 S点转到点转到T点点B 操作操作 绕绕OC轴转动轴转动 /2 T点转到点转到S点点S固体物理学固体物理固体物理40上述操作中上述操作中S和和O没动，而没动，而T点转动到点转动到T点点 相当于一个操作相当于一个操作C：绕：绕OS轴转动轴转动2 /3

22、CABBCA)()(BAC 表示为表示为 群的封闭性群的封闭性可以证明可以证明 满足结合律满足结合律S25/34固体物理学固体物理固体物理416 立方对称晶体的介电系数为一个标量常数的证明立方对称晶体的介电系数为一个标量常数的证明 1 ED, X，Y，Z轴分量轴分量 X，Y，Z轴为立方体的三个立方轴方向轴为立方体的三个立方轴方向假设电场沿假设电场沿Y轴方向轴方向EDxyxEDyyyEDzyzzyxzzzyzxyzyyyxxzxyxxzyxEEEDDD0,zxyEEEE固体物理学固体物理固体物理42将晶体和电场同时绕将晶体和电场同时绕Y轴转动轴转动 /2ZXYYXZ,xzzyDDE yyyyDDE zxxyDDE 转动的实施转动的实施 电场没变电场没变 同时是一个对称操作，晶体转动前后没有任何差别同时是一个对称操作，晶体转动前后没有任何差别应有应有xyzyxyzy 0zyxyDDZXY固体物理学固体物理固体物理43将晶体和电场同时绕将晶体和电场同时绕Z轴转动轴转动 /2假设电场沿假设电场沿Z轴方向轴方向0yzxyED zyx,所以所以 332211000000固体物理学固体物理固体物理44 再取电场方向沿再取电场方向沿111方向方向000000 xxxxyyyyzzzzDEDEDE13xxxEEEE3/EDxxx3/EDyyy3/EDzzz固体物理学固体物理固体物理45,ZXX