DSP第七章有限长单位冲激响应FIR

1、厦门大学通信工程系数字信号处理第七章第七章有限长单位冲激响应有限长单位冲激响应FIR数字滤波器的设计方法数字滤波器的设计方法厦门大学通信工程系数字信号处理第一节第一节引言引言厦门大学通信工程系数字信号处理一、一、IIR滤波器的优缺点滤波器的优缺点IIR数字滤波器的优点：可以利用模拟滤波器设数字滤波器的优点：可以利用模拟滤波器设计的结果计的结果，而模拟滤波器的设计有大量图表可，而模拟滤波器的设计有大量图表可查，方便简单。查，方便简单。IIR数字滤波器的缺点：相位的非线性数字滤波器的缺点：相位的非线性，将引起，将引起频率的色散，若须线性相位，则要采用全通网频率的色散，若须线性相位，则要采用全通网络

2、进行相位校正络进行相位校正,使滤波器设计变得复杂，成本使滤波器设计变得复杂，成本也高。也高。厦门大学通信工程系数字信号处理二二、FIR DF 特点特点 （1）优点：）优点：稳定和线性相位特性是稳定和线性相位特性是FIR滤波器突出滤波器突出的优点的优点。 FIR滤波器在保证幅度特性满足技术要求的同时，滤波器在保证幅度特性满足技术要求的同时，很很容易做到有严格的线性相位特性容易做到有严格的线性相位特性。 设设FIR滤波器单位冲激响应滤波器单位冲激响应h(n)长度为长度为N，其，其系统函系统函数数H(z)为：为： H(z)是是z-1的的N-1次多项式，它在次多项式，它在z平面上有平面上有N-1个零点

3、，个零点，原点原点z=0是是N-1阶重极点。因此，阶重极点。因此，H(z)永远稳定永远稳定。 且允许设计多通带（或多阻带）滤波器且允许设计多通带（或多阻带）滤波器。其中线性相位和多其中线性相位和多通带滤波器设计都是通带滤波器设计都是IIR系统不易实现的。系统不易实现的。 可更加灵活地设计出正交变换器（希尔伯特变换器）、线性可更加灵活地设计出正交变换器（希尔伯特变换器）、线性微分器及任意频率特性的滤波器。微分器及任意频率特性的滤波器。10)()(NnnznhzH厦门大学通信工程系数字信号处理（2）FIR的缺点的缺点 由于由于FIR系统只有零点，因此系统只有零点，因此FIR系统系统不不像像IIR系

4、统那样系统那样易取得比较好的易取得比较好的通带与阻通带与阻带带衰减特性衰减特性。要取得好的衰减特性，一。要取得好的衰减特性，一般要般要H(z)的阶次要高，也即的阶次要高，也即N大。大。厦门大学通信工程系数字信号处理三、为何要设计三、为何要设计FIR滤波器滤波器（1）语音处理，图象处理以及数据传输要求线）语音处理，图象处理以及数据传输要求线性相位，任意幅度。（即要求信道具有线性相性相位，任意幅度。（即要求信道具有线性相位特性）而位特性）而FIR数字滤波器具有严格的线性相位，数字滤波器具有严格的线性相位，而且同时可以具有任意的幅度特性。而且同时可以具有任意的幅度特性。（2）另外另外FIR数字滤波器

5、的单位抽样响应是有数字滤波器的单位抽样响应是有限长的，因而滤波器一定是稳定的只要经过一限长的，因而滤波器一定是稳定的只要经过一定的定的延时延时，任何非因果有限长序列都任何非因果有限长序列都可可变成因变成因果的有限序列果的有限序列。（3）FIR可以用可以用FFT算法来实现过滤信号算法来实现过滤信号，可，可极大提高效率极大提高效率。厦门大学通信工程系数字信号处理四、本章讨论的内容四、本章讨论的内容具有线性相位具有线性相位FIR滤波器，设计方法有：滤波器，设计方法有： 窗口设计法窗口设计法 频率采样设计法频率采样设计法 计算机辅助设计法计算机辅助设计法厦门大学通信工程系数字信号处理五五、FIR DF

6、 设计思路设计思路 FIR滤波器的设计方法和滤波器的设计方法和IIR滤波器的设计方滤波器的设计方法有很大不同。法有很大不同。FIR DF设计的含义是设计的含义是： 根据设计指标，求解所选运算结构要求的根据设计指标，求解所选运算结构要求的h(n)或或H(z)： 线性卷积和快速卷积型结构，求线性卷积和快速卷积型结构，求FIR DF的的h(n). 级联和频率采样型结构，求级联和频率采样型结构，求FIR DF 的的H(z).厦门大学通信工程系数字信号处理第二节第二节线性相位线性相位FIR DF的条件和特点的条件和特点厦门大学通信工程系数字信号处理一、一、FIR滤波器具有滤波器具有线性相位线性相位的条件

7、的条件 对于长度为对于长度为N的的h(n),传输函数为：传输函数为：10()()( )()( )( )() ,( )( )()NjwjwnnjwjwjwjwH eh n eH eH w eH wH eH wwHweH w 式式中中，注注意意，这这里里不不同同于于为为 的的实实函函数数，称称为为幅幅度度函函数数，可可以以称称为为取取负负值值，而而总总是是正正值值。注注幅幅度度特特性性，称称为为相相位位特特性性。幅幅度度特特性性意意幅幅频频特特性性厦门大学通信工程系数字信号处理00()( )1( )2( )( ),( )(1)(2( )jwwwwH ewwwwdwwdw 线线性性相相位位是是指指是

8、是 的的线线性性函函数数，即即（）如如果果满满足足下下式式：（ ）严严格格地地说说，此此时时不不具具有有线线性性相相位位，但但以以上上两两种种情情况况都都满满足足群群时时延延是是一一个个常常数数，即即也也称称这这种种情情况况为为线线性性相相为为常常数数，是是起起始始相相位位一一般般满满足足式式是是第第一一类类线线性性相相位位，满满足足 ）式式为为第第二二类类线线位位。性性相相位位。1、H(ejw)线性相位线性相位厦门大学通信工程系数字信号处理2、FIR滤波器具有滤波器具有线性线性相位的条件相位的条件( )(1)( )(1)( )(1)/2( )(1(12)/2)FIRh nh Nnh nh N

9、FIRhnh nNhNnNnn 滤滤波波器器的的单单位位冲冲激激响响应应为为因因果果、有有限限长长、实实数数、且且满满足足以以下下任任一一条条件件：其其对对滤滤波波器器就就具具有有准准确确的的线线性性相相位位条条件件是是：偶偶对对称称称称中中心心在在处处。满满足足第第一一类类线线性性相相位位的的条条件件是是：第第二二类类：奇奇对对称称：其其中中是是实实序序列列且且对对偶偶对对称称。满满足足是是实实序序列列线线性性相相位位的的条条件件是是：且且对对奇奇对对称称。厦门大学通信工程系数字信号处理二、线性相位条件的证明二、线性相位条件的证明 我们将根据单位冲激响应我们将根据单位冲激响应h(n)的奇对称

10、和偶的奇对称和偶对称进行讨论。对称进行讨论。 由下面讨论可知：由下面讨论可知：00( )(1), ( ),( )(1) ( )(2) ()1) ( )h nh nh nh Nnwwh nh Nnww 为为偶偶对对称称时时第第一一类类线线性性相相：是是：，是是起起始始相相位位为为位位为为奇奇对对称称时时第第二二类类线线性性相相位位。厦门大学通信工程系数字信号处理1、第一类线性相位条件证明、第一类线性相位条件证明110011(1(1)001)1011( )(1):( )( )(1)1()()()( )( )()NNnnnnNNNmNmNmmNmmh nh NnH zh n zh Nn zNnmh

11、m zzh m zHh nH zzzzHhzm ）为为偶偶对对称称情情，令令况况即即厦门大学通信工程系数字信号处理(1)111(11(1)1)001(1)0122201( )()21( )( )2( ):(1( )2)( )2NNnnNNNNnNnNnnnNnNnnjwH zzH zh n zzh n zh nH zH zzzzhznzzze可可将将表表示示则则将将代代入入上上为为式式，得得到到：厦门大学通信工程系数字信号处理1011()()1122()2101()20()( )21:()( )cos ()(2)1( )cos ()1: ()()21(2( )()()2jwNNjNNj nwj

12、 nwNNjwnNnwneeeh nNH wh nnH eNh nnwh nhwNwwNwen 幅幅度度函函数数为为相相位位函函数数为为只只要要是是实实序序列列，其其群群看看出出：且且时时延延为为)为为偶偶对对称称，那那么么该该滤滤波波器器就就一一定定具具有有第第一一类类线线性性相相位位。厦门大学通信工程系数字信号处理2、第二类线性相位条件证明、第二类线性相位条件证明110011(1(1)00111)10( )( )(1):( )(1)1()()()( )( )()()NNnnnnNNNmNmmmNNmmh nh nh Nnh n zh Nn zNnmh m zzH zhH zzH zm zH

13、 zh m z ）为为奇奇对对称称情情况况，即即令令厦门大学通信工程系数字信号处理(1)111(11(1)11)001(1)22002( ):1( )()21( )( )21( )( )2)2NNNnNnnnNnNnnjwNNnnNNnH zH zzH zh n zzh n zh nH zzzzzzezzh n同同样样可可表表示示为为将将代代入入上上式式，得得到到：厦门大学通信工程系数字信号处理11()()1122()20110()012()( )21:()( )sin ()2()1( )sin ()2(1:()()22)1()()2jwNnNNj nwj nwNNjwnNnNjweeeh n

14、NH wh nnjeHwNwwNeNhnwwnh n 其其群群时时延延为为看看出出：幅幅度度函函数数为为相相位位函函数数为为只只要要是是实实序序列列( )h n，且且为为奇奇对对称称，那那么么该该滤滤波波器器就就一一定定具具有有第第二二类类线线性性相相位位。厦门大学通信工程系数字信号处理注意注意从第二类线性相位看出：从第二类线性相位看出： 零频率零频率w=0有有 2的截距，说明不仅有：的截距，说明不仅有： 也就是：也就是：h(n)为奇对称时为奇对称时，FIR滤波器是一个滤波器是一个具有准确的线性相位的具有准确的线性相位的理想正交变换网络理想正交变换网络。个抽样间隔的延时，而且还产生一个个抽样间

15、隔的延时，而且还产生一个90 的相移，的相移，这种使频率皆为这种使频率皆为90 的网络，的网络，称为正交变换网络称为正交变换网络，它具有重要的理论和实际意义。它具有重要的理论和实际意义。21N厦门大学通信工程系数字信号处理三、线性相位三、线性相位FIR滤波器幅度特性滤波器幅度特性H(w)的特点的特点 由于由于h(n)的长度的长度N取奇数还是偶数，对取奇数还是偶数，对H(w)的特性有影响，的特性有影响，因此，对于两类线性相位，下面因此，对于两类线性相位，下面我们分四种情况讨论其幅度特性的特点：我们分四种情况讨论其幅度特性的特点：（1）h(n)=h(N-1-n)，即，即h(n)为为偶偶对称对称，N

16、=奇数奇数（2）h(n)=h(N-1-n)，即即h(n)为为偶偶对称对称，N=偶数偶数（3）h(n)=-h(N-1-n)，即，即h(n)为为奇对称奇对称，N=奇数奇数（4）h(n)=-h(N-1-n)，即即h(n)为为奇对称奇对称，N=偶数偶数厦门大学通信工程系数字信号处理1. 第一种情况：第一种情况：h(n)=h(N-1-n)，N=奇数奇数10)21(cos)()(NnwnNnhwH 式中：式中：h(n)对（对（N-1)/2呈偶对称，即呈偶对称，即可以以可以以(N-1)/2为中心，把两两相等的项合并，为中心，把两两相等的项合并，由于由于N是奇数，故是奇数，故余下中间项余下中间项n=(N-1)

17、/2，即其中：即其中：wnNNwNnwnN)1(21cos)21(cos)21(cos厦门大学通信工程系数字信号处理(1)/21,11( )(2 ()cos()2212NmNNH whhNnmmmw令令则则）2/)3(0)21cos)(221()(NnwnNnhNhwH（）合并后，可得：合并后，可得：1()20()( )cos()1(0)()021( )2 ()02NnH wa nwnNahnNa nhnn其其中中：可以表示成可以表示成厦门大学通信工程系数字信号处理0)21(2)(0)21()0()cos()()()21(0nnNhnanNhawnnawHNn其中： 看出：看出：cos(nw)

18、对于对于w=0, ,2 皆为偶对称皆为偶对称，所以幅度，所以幅度函数函数H(w)也对也对 w=0, ,2 皆为偶对称。且皆为偶对称。且H(0)、H( /2), H( ),H(2 )都可不为零。都可不为零。(只要只要h (N-1)/2)不为零。所以不为零。所以w从从0 2 范围内，无任何约束，可以设计成任何一种范围内，无任何约束，可以设计成任何一种滤波器。低通、高通、带通、带阻）滤波器。低通、高通、带通、带阻）厦门大学通信工程系数字信号处理n对称中心N=7)(nh)(wHw022关于w=0及w= 偶对称可以设计任何一种滤波器可以设计任何一种滤波器厦门大学通信工程系数字信号处理2. 第二种情况第二

19、种情况h(n)=h(N-1-n)，N=偶数偶数wnNNwNnwnN)1(21cos)21(cos)21(cos10)21(cos)()(NnwnNnhwH 式中：式中：h(n)对对(N-1)/2呈偶对称，即呈偶对称，即可以以可以以(N-1)/2为中心，把两两相等的项合并为中心，把两两相等的项合并，由于，由于N是偶数，是偶数，故故H(w)无单独项。无单独项。120)21(cos)(2)(NnwnNnhwH合并后，可得：厦门大学通信工程系数字信号处理12022111( )2 ( )cos) 2,1( )2 ()co21( )2 ()s(cos() )22) )22NnNmNnNH wh nn wN

20、H whmmwmNnmNH whnnwn由由：（令令则则将将 再再用用 代代替替，得得到到厦门大学通信工程系数字信号处理211cos()02( )0,( )11(2)1( )(cos ()2)cos( ()2( )2 (),1,2,221( )Nnw nH wH wb nw nNNb nhH zzw nn nwH www 上上面面式式子子可可以以表表示示成成：其其中中：从从上上看看出出：， （，即即在在处处，且且由由于于对对是是奇奇对对称称（）当当时时必必然然有有一一个个零零点点。所所以以对对 呈呈，奇奇对对称称；（3 3）由上可知：此种情况）由上可知：此种情况不能设计高通和带不能设计高通和带

21、阻滤波器。阻滤波器。厦门大学通信工程系数字信号处理n对称中对称中心心N=6)(wHw022关于关于w=0偶对称偶对称 w= 奇对称，奇对称，H( )=0 (总是总是)只只能设计低通和带通滤波器。能设计低通和带通滤波器。)(nh0厦门大学通信工程系数字信号处理3.第三种情况第三种情况 h(n)=-h(N-1-n)，N=奇数奇数101()( )sin ()21()02( )1( )(1),211()()2211sin)sin()221si(1)/2n(11 /)2) 2NnNH wh nn wNhhNh nh NnnNNhhNNn wnwNNnnNN 即即对对呈呈奇奇对对称称，且且中中间间项项为为

22、零零。正正弦弦项项也也对对（） 呈呈（奇奇对对称称，当当时时，厦门大学通信工程系数字信号处理320121121()1121()2 ( )sin ()21212 ()()(s)ins()2in()NnNNnnH wC nnH wnNnNNH wh nn wNmnmwwNhn 中中各各项项之之间间满满足足：第第 项项第第项项两两两两相相等等的的项项合合并并，合合并并后后为为项项。令令可可表表示示为为：厦门大学通信工程系数字信号处理121()( )sin()10(0)()2111,2,( )2 ()22NnH wC nnwNnChNNnC nhn上上式式其其中中(3)(3)由上可知：此种情况由上可知

23、：此种情况不能设计低通、高通和带阻不能设计低通、高通和带阻滤波器。滤波器。 看出：看出：sin(nw)对于对于w=0, ,2 处皆为处皆为0，即即H(w)在在w=0, ,2 处必为零。处必为零。也即也即H(z)在在z= 1处都为零。处都为零。 (2) sin(nw)对对w=0, ,2 呈奇对称形式呈奇对称形式厦门大学通信工程系数字信号处理n对称中心h(n)=-h(N-1-n)，N=7奇数)(wHw022关于w=0、w= 奇对称H(0)=0 、H()=0 (总是)只能设计带通滤波器。能设计带通滤波器。)(nh0厦门大学通信工程系数字信号处理4. 第四种情况第四种情况h(n)=-h(N-1-n)，

24、N=偶数偶数10/2 10/212131()( )sin ()212 ( )sin ()2,121()2 ()sin ()222 ()sin ()22,NnNNNnnmNH wh nn wNh nn wNhmNnmNH whmwnnnwm类类似似第第 种种情情况况：令令则则有有用用 替替换换得得：厦门大学通信工程系数字信号处理1/21/21( )2 ()sin ()22( )2 ()1,2,3,1( )( )sin ()2(,2211sin ()0 2212sin ()2)0,2( )10 2NnNnNH whnnwNNH wd nnwH wwH zzd nhnnnwwnww 在在处处为为零零

25、。即即在在处处由由式式子子：可可设设其其中中：由由此此看看出出：（）由由于于在在， 处处为为零零，即即（ ）由由于于有有一一。对对：零零点点， 处处w 呈呈奇奇对对称称，对对呈呈偶偶对对称称。（3 3）由上可知：此种情况）由上可知：此种情况不能设计低通和带阻滤波器不能设计低通和带阻滤波器。厦门大学通信工程系数字信号处理n对称中对称中心心h(n)=-h(N-1-n)，N=6偶偶数数)(wHw022关于关于w=0奇对称奇对称、w= 偶对称偶对称H(0)=0 (总是总是)只只能设计带通、高通滤波器。能设计带通、高通滤波器。)(nh0厦门大学通信工程系数字信号处理总结总结 了解了线性相位了解了线性相位

26、FIR滤波器的各种滤波器的各种特性特性，便可根据实际需要选择合适的便可根据实际需要选择合适的FIR滤波器，滤波器，同时设计时要遵循有关同时设计时要遵循有关约束条件约束条件。 如：如：第第3、4种情况，对于任何频率都有种情况，对于任何频率都有一固定的一固定的 相移相移，一般微分器及，一般微分器及 相相移器采用这两种情况，而移器采用这两种情况，而选频性滤波器选频性滤波器则用第则用第1、2种情况。种情况。/290厦门大学通信工程系数字信号处理(1)要设计一个线性相位的低通要设计一个线性相位的低通DF1021( )1(0)()0201( )cos1( )2 ()2( )2 (1,2cos()22()2

27、NnNnH wa nwnH wbh nNahnnNa nhnNNb nnnnhnw从从幅幅度度特特性性考考虑虑，只只能能用用第第一一种种或或第第二二种种。偶偶即即为为。其其中中：）对对称称第第一一种种：）第第二二：），种种厦门大学通信工程系数字信号处理(2)要设计一个线性相位的高通要设计一个线性相位的高通DF10211(0)()0201( )2 ()2( )2 ( ( )( ( )( )cos1( )1,2sin()2)22NnNnNahnnNa nhnNNd nhnh nNh nNH wa nwnH wnd nw n从从幅幅度度特特性性考考虑虑，可可用用第第一一种种为为偶偶，为为奇奇）或或第

28、第四四种种为为奇奇，为为其其中中：），偶偶）。第第一一种种：）第第四四种种：）厦门大学通信工程系数字信号处理(3)要设计一个线性相位的带阻要设计一个线性相位的带阻DF101(0)()020( ( )1( )2 ()2( )cosNnh nNH wa nwNahnna nnnNh从从幅幅度度特特性性考考虑虑：只只能能选选用用第第一一种种为为偶偶，为为奇奇）。第第一一种种：）其其中中：厦门大学通信工程系数字信号处理(4)要设计一个线性相位的带通要设计一个线性相位的带通DF12010(0)()02111 2( )co( )s2 ()22NnNnChNNnCH wnnChnnw）其其中中第第三三种种：

29、其其中中：， ，从幅度特性考虑：从幅度特性考虑：可选用四种任意一种来设计滤波器。可选用四种任意一种来设计滤波器。厦门大学通信工程系数字信号处理三、线性相位三、线性相位FIR滤波器零点分滤波器零点分布特点布特点 线性相位线性相位FIR滤波器零点分布特点：滤波器零点分布特点：零点必零点必须是互为倒数的共轭对。须是互为倒数的共轭对。(1)11*1 *( )( )()( )()Niiiih nH zH zzH zzzH zzzz 如如果果是是的的零零点点，其其倒倒第第一一类类和和第第二二类类线线性性相相位位系系统统函函数数可可表表示示为为：看看出出：又又因因为为是是实实序序列列，的的零零点点必必定定共

30、共轭轭成成数数也也必必然然是是其其零零点点；和和也也是是对对，因因此此其其零零点点。厦门大学通信工程系数字信号处理1*11111122334,z zzzzzz zz如如图图表表示示零零点点分分布布情情况况：一一般般情情况况：是是图图中中和和（ ）情情况况。有有一一些些特特殊殊情情况况：如如果果零零点点是是，则则只只有有两两个个零零点点，如如图图中中；如如果果零零点点是是，则则是是图图；如如果果实实数数纯纯虚虚数数且且在在单单位位园园上上单单位位园园上上且且是是零零点点在在，则则只只有有一一个个零零点点，即即图图实实数数。1z*1z11z1*)(1z2z12z3z*3z4z)Re(z)Im(zj

31、厦门大学通信工程系数字信号处理第三节第三节 窗函数设计法窗函数设计法厦门大学通信工程系数字信号处理一、设计方法一、设计方法1.设计思路设计思路 （1）先给定所要求设计的）先给定所要求设计的理想滤波器理想滤波器的频率的频率响应响应Hd(ejw). （2）设计一个）设计一个可实现的可实现的FIR滤波器滤波器频率响应频率响应H(ejw)。 （3）由于设计是在时域中进行，使）由于设计是在时域中进行，使所设计滤所设计滤波器的波器的h(n)去逼近理想单位取样响应去逼近理想单位取样响应hd(n).厦门大学通信工程系数字信号处理（1）理想滤波器的频率响应）理想滤波器的频率响应Hd(ejw),()( )1( )

32、()()( )(),)2(jwjwnddnjwjwnjwddjwddddHHeh nHeh n eh nHeedwzeh n 是是与与其其对对应应的的单单位位脉脉冲冲响响应应，若若已已知知即即设设希希望望设设计计的的滤滤波波器器传传输输函函数数为为因因此此经经过过 变变换换即即可可得得到到滤滤波波器器的的可可求求出出系系统统函函数数。 一般情况下，一般情况下，Hd(ejw)逐段恒定，在边界频率处有不逐段恒定，在边界频率处有不连续点连续点，因而，因而hd(n)是是无限时宽无限时宽的，且的，且是非因果序列。是非因果序列。厦门大学通信工程系数字信号处理理想理想低通低通滤波器的传输函数滤波器的传输函数

33、Hd(ejw)()()sin()( )()0( )12( )ccjwcdcdwjwjwjwddcjwnwddHeHw eewwHwwwhneedwnhnnwhn 相相应应的的单单位位取取样样响响应应为为：由由上上式式看看到到，理理想想低低通通滤滤无无限限长长波波器器的的单单位位取取样样响响，且且是是非非应应是是因因果果序序列列。)(wHdw0)(nhdn0cwcw厦门大学通信工程系数字信号处理(2)设计实际的设计实际的FIR滤波器滤波器H(ejw)100( ),( )( )( )( )(.)( ),NMnnnndh nNH zH zh n zh n zh nhn设设实实际际实实现现的的滤滤波波

34、器器的的单单位位取取样样响响应应为为长长度度为为，其其系系统统函函数数为为，这这样样我我们们用用一一个个有有限限长长的的序序列列去去代代替替肯肯会会引引起起误误差差定定( )( )()(1( )( )( )(1)/)/222ddh nh nhn W nhnWNnNh nNM 用用）表表示示截截取取后后的的单单位位冲冲激激响响应应，即即：式式中中为为窗窗函函数数，长长度度为为。截截取取的的一一段段对对对对称称，可可保保证证所所设设计计的的滤滤波波当当时时，具具有有器器线线性性相相位位。厦门大学通信工程系数字信号处理63sin(6)3,6,( )3(6)16,132( )6ccddwFIRnwh

35、nnNNh n 例例：设设计计一一个个截截止止频频率率的的延延时时的的线线性性相相位位低低通通滤滤波波器器。可可知知理理想想低低通通滤滤波波器器是是为为中中心心偶偶对对称称的的时时域域无无限限长长的的非非因因果果序序一一个个有有限限长长的的因因果果序序列列去去列列。现现用用逼逼近近它它。厦门大学通信工程系数字信号处理( )( )01( ).( )01( )( )( )(0,(1)NdNW nRnnNh nh nnRnh nNhNnnnh nh 最最简简单单取取矩矩形形的的办办法法：，令令即即截截取取 从从的的一一段段代代表表窗窗满满足足其其它它且且即即满满足足的的线线性性相相位位。n0)(nh

36、d)(nWn112N 0厦门大学通信工程系数字信号处理2、设计步骤、设计步骤（1）先由先由Hd(ejw)求付里叶反变换求付里叶反变换hd(n).（2）砍头去尾。砍头去尾。 因为我们要设计因为我们要设计FIR滤波器滤波器h(n)是：是：(a)具有因果性具有因果性 t砍头砍头(b)由于要求所设计滤波器是线性相位，所以要求其偶由于要求所设计滤波器是线性相位，所以要求其偶对称，奇对称，由于砍头，所以必须去尾，让它们对称，奇对称，由于砍头，所以必须去尾，让它们中中心对称。心对称。即用有限长的即用有限长的h(n)去逼近无限长的去逼近无限长的hd(n).（3）时域相乘，频域卷积时域相乘，频域卷积。即即h(n

37、)=W(n) hd(n) 因此，窗函数序列的形状及长度的选择是设计关因此，窗函数序列的形状及长度的选择是设计关键键。厦门大学通信工程系数字信号处理3、窗函数设计法（窗口法）、窗函数设计法（窗口法） 用一个有限长度的用一个有限长度的窗口函数序列窗口函数序列W(n)来来截取截取hd(n)：（即进行砍头截尾），：（即进行砍头截尾）， h(n)=W(n)hd(n) 使使h(n)满足因果，有限长，实序列，并具满足因果，有限长，实序列，并具有奇、偶对称性，则可设计出具有线性有奇、偶对称性，则可设计出具有线性相位的相位的FIR滤波器。滤波器。厦门大学通信工程系数字信号处理二、利用窗函数法设计四种线二、利用窗

38、函数法设计四种线性相位性相位FIR DF1.低通低通2.高通高通3.带通带通4.带阻带阻厦门大学通信工程系数字信号处理1、低通、低通设设理理想想线线性性相相位位的的低低通通滤滤波波器器频频率率特特性性为为：cwcw/200()-122jwjwMccjwdeewwwHeNMw 因因为为以以群群时时延延为为其幅度特性：其幅度特性：1)(wHw厦门大学通信工程系数字信号处理20sin()2( )()21sin()2( )( )( )( )1)sin()1()22()jwcdcdjwncdMw nh nMnw nHeedNw nh nh n W nW nNnwn 其其单单位位冲冲激激响响应应为为：（由

39、由付付氏氏反反变变换换得得）则则设设计计实实际际滤滤波波器器为为：1( )2NW nN 长长度度为为 ，且且以以为为中中心心偶偶对对称称的的函函数数厦门大学通信工程系数字信号处理sin()2( )( )(1)0,1,1( )22cnNh nMw nh nW nh NnMnNDDFNF 则则取取偶偶对对称称，设设计计第第一一种种情情况况的的线线性性相相位位低低通通。，设设计计第第二二种种情情况况的的线线性性相相位位当当奇奇数数时时偶偶数数低低通通当当时时。厦门大学通信工程系数字信号处理( )( ),1sin()2( )( )( )(1)1)20,1,213sin(6)3( )(12)6)3sin

40、(5.5)3( )1312(11)5.5)NcdccW nRnNwnh nhn W nh NnNnnNwnh nNhnnwnh nhNnn 当当选选用用矩矩形形窗窗时时，则则：若若取取，奇奇数数取取，且且若若且且偶偶数数，)(nhn)(nhn例子厦门大学通信工程系数字信号处理例子例子 设计一个设计一个FIR低通滤波器，所希望的频率低通滤波器，所希望的频率响应为：响应为：()1010 20 4000.250.25jwdHeNMww 在在之之间间为为，在在之之间间为为 ，分分别别取取长长度度为为单单位位冲冲激激响响应应为为， ， ，观观察察其其幅幅频频响响应应的的特特点点。厦门大学通信工程系数字信

41、号处理/2100.25()00.25jMwjwdewHew 解解：（）由由题题意意可可知知：(2)低低通通滤滤波波器器的的理理想想单单位位冲冲时时域域激激响响应应为为：21( )()212sin()2()2ccccwjwjwnddwMwwjjwnwchnHeedweedwMw nMn厦门大学通信工程系数字信号处理(3)10,( )0sin()2( )( )( )( )()20,1,2, ( )cdMnMW nMw nh nh n W nW nh MnMnnM h nFIR 根根据据给给的的采采用用第第一一类类线线性性相相位位中中的的值值可可知知：N N的的长长度度为为，其其他他取取偶偶奇奇第第

42、对对称称可可得得出出线线性性相相位位的的滤滤一一种种情情况况设设计计。数数波波器器的的系系数数为为：厦门大学通信工程系数字信号处理10sin0.25 ()2( )( )10)210sin0.25 ()2(0)(10)0.04510)210sin0.25 (1)2(1)(9)0101)210sin0.25 (2)2(2)(8)0.07510210)2nh nW nnhhhhhMh当时，厦门大学通信工程系数字信号处理10sin0.25 (3)2(3)(7)0.1592103)210sin0.25 (4)2(4)(6)0.2251104)210sin0.25 (5)2(5)0.25105)2hhhh

43、h厦门大学通信工程系数字信号处理则则设设计计出出线线性性相相位位的的滤滤波波器器为为：0( )( )MnnH zh n zZ-1Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)y(n)Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1(0)(10)hh(1)(9)hh(2)(8)hh(3)(7)hh(4)(6)hh(5)h厦门大学通信工程系数字信号处理可以画出所设计出线性相位的滤波器的幅频特性和其单位冲激响应。01-500-400-300-200-1000Normalized Frequency ( rad/sample)Phase (degrees)00.

44、0.80.91-100-50050Normalized Frequency ( rad/sample)Magnitude (dB)01234567891000.00.25n (samples) AmplitudeImpulse Response厦门大学通信工程系数字信号处理2、高通、高通 理想理想的线性相位高通的线性相位高通DF的的频率特性为：频率特性为：/2()0-1202jwjwMcjwdceewwHewNwM 因因为为以以群群时时延延为为pcww截截止止频频率率为为：其幅度特性：其幅度特性：1)(wHwcwcw厦门大学通信工程系数字信号处理 由付

45、氏反变换得：/2/2( )si1n()sin()222()2()2112)22ccjwjwndwjwMjwnjwMjwndccwHeedweedweedhnMMnw nMnMnwwMn厦门大学通信工程系数字信号处理( )( )0,1,2,( )( )( )sin(1)( )( )()sin()22( )()2(1) dch n W nnMFIRh nh nh Nnh nh nh Nnh nMMnw nW nMnFNND 实实际际设设计计的的滤滤波波器器为为：根根据据设设计计线线性性相相位位高高通通滤滤波波器器可可知知：（1 1），对对应应于于情情当当为为奇奇数数时时第第况况线线性性相相位位即即

46、为为偶偶对对称称，（2 2）即即为为奇奇对对称称，设设计计是是情情况况一一种种当当为为偶偶数数线线性性相相，四四种种位位高高通通时时第第厦门大学通信工程系数字信号处理sin()sin()22( )( )( )( )()2cdMMnw nh nh n W nW nMn 一一个个高高通通滤滤波波器器相相当当于于用用一一个个全全通通滤滤波波器器减减去去一一个个由由式式低低通通子子：看看出出：滤滤波波器器。厦门大学通信工程系数字信号处理( )( )sin()sin()22( )( )( )( )()20,1,2,1,sin(6)sin(6)3( )(1)(6)(0)(12), (113)(11).3N

47、cdcNW nRnMMnw nh nh n W nW nMnnNnnh nh Nnnhhhhw 取取矩矩形形窗窗函函数数时时，取取，奇奇数数：，则则：即即例子例子厦门大学通信工程系数字信号处理sin(06)sin(06)3(0)0(12)(06)hhsin(1 6)sin(1 6)3(1)0.055(11)(06)hhsin(26)sin(26)3(2)0.069(10)(26)hh sin(36)sin(36)3(3)0(9)(36)hh厦门大学通信工程系数字信号处理sin(46)sin(46)3(4)0.138(8)(46)hhsin(56)sin(56)3(5)0.276(7)(56)h

48、h 3(6)0.67cwh厦门大学通信工程系数字信号处理sin(5.5)sin(5.5)3( )(1)(5.5)(0)(11), (1)(10).12,3cnnh nh NnnhhhNwh 则则：即即取取，偶偶数数，：sin(05.5)sin(05.5)3(0)0.029(11)(05.5)hh sin(15.5)sin(15.5)3(1)0.141(10)(15.5)hh sin(25.5)sin(25.5)3(2)0.045(9)(25.5)hh 厦门大学通信工程系数字信号处理)(nhsin(45.5)sin(45.5)3(4)0.424(7)(45.5)hh sin(35.5)sin(3

49、5.5)3(3)0.063(8)(35.5)hh sin(55.5)sin(55.5)3(5)0.318(6)(55.5)hh 厦门大学通信工程系数字信号处理2、带通、带通 理想理想的线性相位带通的线性相位带通DF的的频率特性为：频率特性为：0000()00()jwdccjwdjwccHeewwwwwHw ewwwwww )(w相位特性相位特性w1()jwdHew0wcww 0cww 0202cww002cww厦门大学通信工程系数字信号处理00000000202020()2()201( )()2112212()12()sin()2cos()()ccccccccjwjwnddwwwwjwjwnj

50、wjwnwwwwwwjw nwwwwjw nwwch nHeedweedweedwej nej nw nwnnn 厦门大学通信工程系数字信号处理0( )( )( )sin()2cos()( )()0,1,2,1sin()()( )( )( )(1)dcch nh n W nw nw nW nnnNw nnNFIW nh nh nRNNDFhn 为为偶偶函函数数又又为为偶偶数数即即为为偶偶对对称称，当当时时，对对应应于于当当时时，设设计计为为奇奇数数第第一一种种线线性性相相位位带带通通为为偶偶数数第第二二种种线线性性相相位位带带通通是是厦门大学通信工程系数字信号处理 若选择若选择相位有一个相移的

51、理想的线性相位相位有一个相移的理想的线性相位带通带通DF的频率特性为：的频率特性为：)200)002()( )220jwjwddjwccjwccHeHw ewwwwwewwwwwe （）（止止带带厦门大学通信工程系数字信号处理1)(wHw0wcww 0cww 0幅度特性幅度特性)(w相位特性相位特性w2厦门大学通信工程系数字信号处理0020( )11( )()2sin(sin()122sin()( )12()2sin()()( )( )(1)(1)2jwjwnddccdh nHeedww nwnnh n W nh Nnnh Nh nNw nNwnW nNnNDFNDFn 奇奇数数时时第第三三种

52、种线线性性相相位位带带通通。偶偶数数为为奇奇对对称称当当，可可设设计计出出当当，可可设设计计时时第第四四种种线线性性相相位位通通出出带带。厦门大学通信工程系数字信号处理/2()0jwMjwlhdewwwHe方方法法二二：若若设设为为：理理想想带带通通滤滤其其波波器器的的频频他他率率特特性性hwlwlwhww()jwdHe厦门大学通信工程系数字信号处理(/2)(/2)1( )()21122sin()sin()22( )()2lhhljwjwnddwwj n Mwj n MwwwhldhnHeedwedwedwMMwnw nhnMn 则则理理想想带带通通滤滤波波器器的的单单位位冲冲激激响响应应为为

53、：求求出出( )( )( )(1)dNDh nh n W nh NnFNDF为为偶偶对对称称，可可设设计计出出，可可当当奇奇数数时时第第一一种种线线性性相相位位带带通通。当当偶偶数数时时第第二二种种线线性性相相位位出出带带通通设设计计。厦门大学通信工程系数字信号处理,sin()sin()22( )()2.hldhlMMwnw nhnwMwn 一一个个带带通通滤滤波波器器相相当当于于两两个个低低通通滤滤波波器器相相减减，其其中中截截止止频频率率在在另另一一个个截截止止频频看看出出：率率在在由由式式子子厦门大学通信工程系数字信号处理4、带阻、带阻/2,()0jwjwMlhdewwwwHe带带阻阻数

54、数字字滤滤。令令其其波波设设他他器器的的计计lwlwhwhw()jwdHew0厦门大学通信工程系数字信号处理(/2)(/2)(/2)11( )2212sin)sin) sin)222( )2,hllhwwjw n Mjw n Mdwjw n Mwldlhhh nedwedwedwMMMnwnnwwwh nMn 则则理理想想带带阻阻数数字字滤滤波波器器的的单单位位冲冲激激响响应应为为：求求出出（一一个个带带阻阻滤滤波波器器相相当当于于一一个个低低通通滤滤波波器器加加上上一一个个高高通通滤滤波波器器，低低通通滤滤波波器器的的截截止止频频率率在在高高通通的的截截止止频频（可可以以：率率在在看看出出。

55、厦门大学通信工程系数字信号处理(),1)()()()1()jwlhjwjwjdBBBwDFwwN MNHeHHeew ewDFH 方方法法二二：设设线线性性相相位位的的带带通通（其其通通带带截截止止频频率率分分别别为为，取取其其长长度度为为若若线线性性相相位位的的带带通通滤滤波波器器的的频频响响为为则则同同样样指指标标的的线线性性相相位位的的带带阻阻的的频频响响为为：sin)sin) sin)222(,)2lhdlhMMMnwnnMnwhwwn （由由（也也可可以以看看一一个个带带阻阻滤滤波波器器相相当当于于一一个个全全通通滤滤波波器器减减去去一一个个带带通通滤滤波波器器。其其带带通通滤滤波波

56、器器的的低低端端截截止止频频率率在在高高端端的的截截止止频频率率在在出出：。厦门大学通信工程系数字信号处理()( )( )( )( )( )()1)()()21)()()()2jwjddjwdjj wdjwjwwjwddjwjwdH eHeW edH eh nhn W nHnW nHeH eHeHHeHee 最最佳佳根根据据时时域域中中两两序序列列相相乘乘。在在频频域域中中：为为与与的的卷卷积积（且且为为两两序序列列频频谱谱的的周周期期卷卷积积）以以低低通通为为例例，说说明明（） （发发生生了了什什么么？（ ）研研（频频率率特特性性变变化化什什么么窗窗函函数数使使 （逼逼究究使使近近（变变化化

57、最最小小。即即三、滤波器频率特性三、滤波器频率特性厦门大学通信工程系数字信号处理1()21100( )1( )1()sin()12(), ()()s)2sinin()2s2n()2)i (NjwNNNjwnjwnNjwnnjwRRNjwRwjWewNRneRn eeeWewNNWwwweww 矩矩形形窗窗口口的的频频率率特特性性为为：用用幅幅度度特特性性和和相相位位特特性性来来表表示示则则1、矩形窗口、矩形窗口厦门大学通信工程系数字信号处理sin()12(), ()()2sin()2()()2()RRRwwNNWwwwwwNWwWwNSaw 很很小小很很当当时时，当当时时，为为大大周周期期函函

58、数数。)(wWRw31)(w211Ntg主瓣主瓣N2N2N4N4w厦门大学通信工程系数字信号处理厦门大学通信工程系数字信号处理2、特殊点、特殊点-1( )(0)12,(0)(0)10.cRaHwNHWw ，响响应应值值一一般般情情况况下下，则则可可视视为为从从的的的的全全部部面面积积。归归一一时时化化为为零零频频厦门大学通信工程系数字信号处理厦门大学通信工程系数字信号处理特殊点特殊点-2( )()( )()()0.5(0)dcccRbH wHWwHwwwH，响响应应值值此此时时与与的的一一半半重重叠叠，即即截截止止频频率率时时厦门大学通信工程系数字信号处理厦门大学通信工程系数字信号处理特殊点特

59、殊点-32( )()()( )22()8.95cRdccwwNHcH wNWHwNw ，响响应应值值这这时时的的主主瓣瓣刚刚好好全全部部在在内内通通带带外外，而而通通带带内内的的旁旁瓣瓣的的负负面面积积旁旁负负肩肩峰峰：时时出出现现负负瓣瓣的的肩肩峰峰为为正正面面积积。厦门大学通信工程系数字信号处理厦门大学通信工程系数字信号处理特殊点特殊点-42( )()()( )2()m28.ax,95cRdccdH wNwwWwHHNwN ，响响应应值值这这时时的的全全部部正正肩肩峰峰：时时频频响响出出现现正正肩肩峰峰主主瓣瓣都都在在为为通通带带内内，厦门大学通信工程系数字信号处理厦门大学通信工程系数字信

60、号处理特殊点特殊点-5(1( )( )dRewHWw 当当 继继续续在在的的阻阻带带内内变变化化时时，在在尾尾瓣瓣将将扫扫过过通通带带，此此时时零零波波动动， 波波动动。出出现现零零波波动动。厦门大学通信工程系数字信号处理厦门大学通信工程系数字信号处理2、几个特殊点、几个特殊点-64()RWNf 过过渡渡带带（过过渡渡带带的的宽宽度度：）的的主主瓣瓣宽宽度度厦门大学通信工程系数字信号处理2、几个特殊点、几个特殊点-7( )g在在最最大大负负肩肩峰峰外外形形成成长长长长的的余余振振。出出现现：由由于于频频率率中中的的旁旁瓣瓣与与矩矩形形窗窗卷卷积积而而产产生生的的，产产生生的的窗窗口口频频谱谱的