南京大学计算机科学与技术系

1、南京大学 计算机科学与技术系CH7: DFTCH7: DFT主讲教师：王崇骏南京大学 计算机科学与技术系主要内容主要内容1 引言2 DFT:离散傅利叶变换3 另一种DFT推导方法4 DFT与Z变换、DTFT的关系5 补零问题南京大学 计算机科学与技术系引言引言11011( )( )Tjnw tX nx t edtT连续离散连续离散时间频率傅立叶变换是建立以时间为自变量的信号信号与以频率为自变量的频谱频谱之间的关系。1( )( )jnw tnx tX n e( )( )jwtX wx t edt1( )( )2jwtx tX w edt()( )jwjwnnX ex n e1( )()2jwjw

2、nx nX eedw南京大学 计算机科学与技术系( )( )nnX zx n z( )|( )jwjwnz enX zx n e分析工具Z变换DTFT:福利叶傅立叶变换DFT:离散付里叶变换 意义在频域上实现数字处理有各种快速实现算法（FFT）2210()( )NjkjkNNnX ex n e南京大学 计算机科学与技术系DFT:DFT:离散傅立叶变换离散傅立叶变换一个序列的DFT定义如下：1）序列的长度是L2）周期是N当LN时候，必须对x(n)补零构成N点序列，再进行DFT运算2210()( ), 0kN-1NjkjkNNnX ex n e南京大学 计算机科学与技术系习惯表示习惯表示21100

3、( )( )( )( )NNjnknkNNnnX kDFS x nx n ex n W21100( )( )11( )( )NNjnknkNNkkx nIDFS X kX k eX k WNN正变换：反变换：2jNNWe其中：南京大学 计算机科学与技术系正变换正变换200001101(1)(0)(0).(1)(1).(2)(2).(1)(1)NNNNNNNNNNNNXxWWWXxWWWXxWWWX Nx N.2210()( )NjkjkNNnX ex n e南京大学 计算机科学与技术系反变换反变换200001(1)0(1)(1)(0)(0).(1)(1).1(2)(2).(1)(1)NNNNN

4、NNNNNNNxXWWWxXWWWxXNWWWx NX N.南京大学 计算机科学与技术系DFTDFT一种推导方法一种推导方法( ),()( )jwjwnnx nX ex n e任何一个序列其傅立叶变换是：2()()()jwjwkX eX ewkN0,2 N之间等间距采样，采样周期是112()()()jwjwkFX eFX ewkN南京大学 计算机科学与技术系112()()()jwjwkFX eFX ewkN12()()jwjwXeXe 12卷积定理：x(n)*x (n)12( )( )*()kx nx nFwkN12()()2kpNFwknNpN( )( )*()()22ppNNx nx nn

5、Npx nNp南京大学 计算机科学与技术系( )( )*()()22ppNNx nx nnNpx nNp是原序列的周期重复( )x n( )x n若信号长度L小于N，可由傅立叶变换恢复出原数字信号。南京大学 计算机科学与技术系2()()()jwjwkX eX ewkN22()() ()jkjwNkX eX ewkN1( )()2jwjwnx nX eedw傅立叶反变换：212( )() ()2jkjwnNkx nX ewk edwN南京大学 计算机科学与技术系222212( )() ()212 =()()21 =()2jkjwnNkjkjwnNkjkjknNNkx nX ewk edwNX e

6、wk edwNX ee2( )( ),01x nx nnNN( )( )*()()22ppNNx nx nnNpx nNp221( )(),01jkjknNNkx nX eenNNIDFTIDFT：离散：离散傅立叶反变傅立叶反变换换南京大学 计算机科学与技术系求下列四点序列的DFT解：N=4，所以2x(k)=sinkN例题：例题：j 2-jkN4W =e000044440123444402464444036944(0)(0)(1)(1)(2)(2)(3)(3)NNXxWWWWXxWWWWXxWWWWXxWWWW0202jj南京大学 计算机科学与技术系21()02120210()( )( )(

7、)( )Njk mN nNnNjknjmnNnNjknNnX kmNx n ex n eex n eX k周期性：( )X kN这就是说，只有个不同值。南京大学 计算机科学与技术系DFTDFT与与DTFTDTFT的关系的关系DFS可以通过以w1间隔对DTFT均匀采样得到。W1称为采样间隔，频率分辨率2( )()|jwwkNX kX e112,.kwwk wN1( )()()kjwjkwDFS X kX eX e南京大学 计算机科学与技术系例题：例题：令x(n)=0,1,2,31）计算他的离散时间傅立叶变换2）在w1=2pi/4对其进行采样3230()( )jwjwnjwj wj wnX ex

8、n eeee以w1=pi/2进行采样0()1236jX e 112 13 1()22jwjwj wj wX eeeej 2 12 14 16 1()2j wj wj wj wX eeee3 13 16 19 1()2j wj wj wj wX eeee南京大学 计算机科学与技术系Z Z变换法求变换法求DFTDFT( )x n =( )x n, 0n N-10 , 其他n10( )( )( )NnnnnX Zx n Zx n Z对 作Z变换， x n( )x n( )x n 的一个周期内序列记作 ,而且南京大学 计算机科学与技术系 可见， 是Z变换 在单位圆上抽样，抽样点在单位圆上的N个等分点上

9、，且第一个抽样点为k=0。2jkNZe2210()( )( )NjkjknNNnX ex n eX k( )X k( )X Z如果 ，则有 ZjIm ZRe1234567(N-1)N2k=0南京大学 计算机科学与技术系例题：例题：假设序列x(n)=1 ,1 ,1 ,11）求其离散时间傅立叶变换并画出他的幅度和相位。并计算下列条件的DFT2）不补03）补4个04）补8个0南京大学 计算机科学与技术系4303/21()( )1sin(2 ) = sin(/ 2)j wjwjwnjwj weX ex n eewewsin(2 )|()| |sin(/ 2)jwwX ewsin(2 )3/ 2,0si

10、n(/ 2)()sin(2 )3/ 2,0sin(/ 2)jwwwwX ewww南京大学 计算机科学与技术系不补0时的DFT：3/2440( )( ),0,1,2,3,4nkjXkx n WkWe4( )4,0,0,0Xk 1）幅度为0时，相应的相位并不是02）直流信号，在频率为0时有一个非0样本，而在其他频率没有值南京大学 计算机科学与技术系补4个0时的DFT：( )1,1,1,1,0,0,0,0 x n 7/48880( )( ),0,1,.,7,nkjXkx n WkWe南京大学 计算机科学与技术系补补4 4个个0 0补补8 8个个0 0补补1212个个0 0补补2020个个0 0南京大

11、学 计算机科学与技术系关于补关于补0 01）补0就是在原序列的后面补充更多的0，所得的更长一些的DFT对原序列的DTFT提供更为密集的样本。2）补0个数越多，运算复杂度越大，需要的运算和存储器件越多。3）补0给出了一种高密度高密度的谱，但是它并没有给出一个高分辨率高分辨率的谱图，因为补0本身没有为这个序列添加额外的信息。4）为了获得更高分辨率更高分辨率的谱，就必须从实验或观察中获取更多的数据。南京大学 计算机科学与技术系例题例题本例用于说明高密度谱高密度谱和高分辨率谱高分辨率谱之间的不同：考虑序列想要基于有限个样本数来确定它的频谱。1）求出并画出x(n),n=0,10的DFT4）求出并画出x(

12、n),n=0,100的DFT( )cos(0.48)cos(0.52)x nnn南京大学 计算机科学与技术系1）首先确定x(n)10个点的DFT由于样本太少，无法作出任何结论性的判断，因此，补充90个点试验一下。南京大学 计算机科学与技术系1）首先确定x(n)10个点的DFT（matlab程序）n=0:1:99;x=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n);n1=0:1:9;y1=x(1:1:10);subplot(2,1,1);stem(n1,y1);title(Signal x(n), 0=n=9);xlabel(n);Y1=dfs(y1,10);magy1=abs(Y1

13、(1:1:10);k1=0:1:9;w1=2*pi/10*k1;subplot(2,1,2);plot(w1/pi,magy1);title(Samples of DTFT Magnitue);xlabel(frequency in pi units);南京大学 计算机科学与技术系补充90个0这是一个高密度谱；补0只是使频谱更为光滑的样子；未获得高分辨率的谱南京大学 计算机科学与技术系补90个0（matlab程序）n=0:1:99;x=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n);n2=0:1:99;y2=x(1:1:10),zeros(1,90);subplot(2,1,1);stem(n2,y2);title(Signal x(n), 0=n=9+90 zeros);xlabel(n);Y2=dfs(y2,100);magy2=abs(Y2(1:1:100);k2=