高二数学选修2-1双曲线定义及标准方程第一课时

1、1. 1. 椭圆的定义椭圆的定义和和 等于常数等于常数2a ( 2a|F1F2|0) 的点的轨迹的点的轨迹.平面内与两定点平面内与两定点F1、F2的距离的的距离的1F2F 0, c 0, cXYO yxM,2. 引入问题：引入问题：差差等于常数等于常数的点的轨迹是什么呢？的点的轨迹是什么呢？平面内与两定点平面内与两定点F1、F2的距离的的距离的复习复习|MF1|+|MF2|=2a( 2a|F1F2|0) P= M |MF1 | - | MF2| = 2a P= M |MF1 | - | MF2| =2a 定义：平面内与两个定点定义：平面内与两个定点F F1 1，F F2 2的距离的的距离的差的

2、绝对值差的绝对值等等于常数（于常数（小于小于F F1 1F F2 2）的点的轨迹叫的点的轨迹叫双曲线。双曲线。这两个这两个定点叫双曲线的定点叫双曲线的焦点焦点, ,两焦点的距离叫双曲线的两焦点的距离叫双曲线的焦距焦距. . P= M |MF1 | - | MF2| |=2a 定义定义: 平面内与两个定点平面内与两个定点F1，F2的距离的的距离的差差 的绝对值的绝对值等于常数等于常数 的点的轨迹叫做的点的轨迹叫做双曲线双曲线.F1F2| 两个定点两个定点F1、F2焦点焦点 |F1F2|=2c 焦距焦距.oF2F1M（ =2c) 两个定点两个定点F1、F2双曲线的双曲线的焦点焦点; |F1F2|=

3、2c 焦距焦距.（1）2a0 ；双曲线定义双曲线定义思考：思考：（1）若）若2a= |F1F2|,则轨迹是？则轨迹是？（2）若）若2a |F1F2|,则轨迹是？则轨迹是？说明说明（3）若）若2a=0,则轨迹是？则轨迹是？ | |MF1| - |MF2| | = 2a( (1) )两条射线两条射线( (2) )不表示任何轨迹不表示任何轨迹1. 建系设点建系设点: :以以F1,F2所在的直线为所在的直线为x轴，线轴，线段段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，的中点为原点建立直角坐标系， 则则F1(-c,0),F2(c,0)双曲线上任双曲线上任意一点意一点M（x,y),设设M与与F1、F2的距离的的

4、距离的差的绝对值等于常数差的绝对值等于常数2a2.列式列式:2222()()2x cyx cyaF1MxOy122MFMFa4 4. .化简化简: :F22222()()2x cyx cya222222()2()x cyax cy 222()cxaaxcy 4 4. .化简化简. .令：令：c2-a2=b222222222()()yc a x aa c a22221xyab即：即：（a0，b0）2222222()44()()xcyaax cyx cy移项平方得移项平方得:整理得：整理得：，平方得：，平方得：4222222222222aa cxc xa xa cxa ca y整理得：整理得：两边

5、同除以两边同除以a2(c2-a2),得：得：222221xyaca思考：思考：如何判断双曲线如何判断双曲线焦点的位置？焦点的位置？22221xyab22221yxab(0,0)ab222cabF2 2F1 1MxOyOMF2F1xy从标准方程来看，焦点在二次从标准方程来看，焦点在二次项系数为正的那条坐标轴上项系数为正的那条坐标轴上!确定焦确定焦 点点 位置位置：椭圆看分母大小椭圆看分母大小双曲看系数正负双曲看系数正负(a0，b0)22(1)13 66 4xy22(2)1169yx双曲线的标准方程221.1169xy223.11625xy 222.1169yx课堂练习：求出课堂练习：求出下列双曲

6、线的焦下列双曲线的焦点坐标点坐标（5，0）（0，5 ）41, 0 椭圆和双曲线的标准方程以及它们之间的关系椭圆和双曲线的标准方程以及它们之间的关系 12222byax12222bxay12222bxay12222byax(a0,b0 ,a不一定不一定大于大于b )椭圆椭圆a-c=b (b0) ac0双曲线双曲线MF1|+|MF2|=2a|MF1|-|MF2|=2ac2-a2=b2(b0)ca0(ab0）(ab0）方程方程a,b,c的 关的 关系系标标准准方方程程2、已知双曲线的焦点为已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲线双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于上一点到焦点的距

7、离差的绝对值等于6，则，则 (1)双曲线的标准方程为双曲线的标准方程为_(2)双曲线上一点双曲线上一点， |F1|=10,则则|F2|=_4或或16221916xy由题意：由题意：c=5,2a=6 b=c-a=1692x162y双曲线方程双曲线方程： - - =1若若F1|=7，则，则|F2|=_13双曲线及标准方程练习：已知两定点练习：已知两定点F1(-5,0),F2(5,0)求到这两点的求到这两点的距离之差的绝对值为距离之差的绝对值为8的点的轨迹方程。的点的轨迹方程。 解：解：810，由定义，所求的轨迹是，由定义，所求的轨迹是焦点在焦点在x轴轴上的上的双曲线，双曲线， c=5,a=4 ,

8、b2=c2-a2=52-42=32所以所求方程为所以所求方程为：1342222yx)0, 0(12222 babyax双曲线及标准方程练习：已知两定点练习：已知两定点F1(-5,0),F2(5,0)求到这两点的求到这两点的距离之差的绝对值为距离之差的绝对值为8的点的轨迹方程。的点的轨迹方程。变式一：若两定点改为为变式一：若两定点改为为F1(0,-5),F2(0,5) ，则轨迹如何？，则轨迹如何？变式二：若两定点改为为变式二：若两定点改为为|F1F2|=10，则轨迹方程如何？，则轨迹方程如何？1342222xy1342222yx1342222yx练习练习1：求适合下列条件的双曲线标准方程：求适合

9、下列条件的双曲线标准方程(1)a=4,b=5,焦点在焦点在y轴上。轴上。(2)a=3,c=515x4y2222143:2222yx方程为14x3y2222或或课堂练习解：解：(1)(2)012mmmm或1032012212mmmmmm 且已知方程已知方程 表示双曲线，表示双曲线，则则 的取值范围是的取值范围是_.22112xymmm若此方程表示椭圆，若此方程表示椭圆， 的取值范围？的取值范围？m解：解：练习练习2 222.,112xymRmm若方程表示哪种曲线2、焦点在焦点在y y轴上，经过点轴上，经过点( , ( , ）（）（ ， ） 求双曲线的标准方程求双曲线的标准方程33222223设双

10、曲线标准方程为：设双曲线标准方程为：由题意得：由题意得：解得：解得：双曲线方程：双曲线方程：122231332222222222baba4322ba14322xy22221yxab（a0，b0） 使使A、B两点在两点在x轴上，并轴上，并且点且点O与线段与线段AB的中点重合的中点重合解解: : 由声速及在由声速及在A A地听到炮弹爆炸声比在地听到炮弹爆炸声比在B B地晚地晚2 2s, ,可知可知A A地与爆炸点地与爆炸点的距离比的距离比B B地与爆炸点的距离远地与爆炸点的距离远680680m. .因为因为|AB|680|AB|680m, ,所以爆炸点所以爆炸点的轨迹是以的轨迹是以A A、B B为

11、焦点的双曲线在靠近为焦点的双曲线在靠近B B处的一支上处的一支上. . 例例3 3.(.(课本第课本第5454页例页例) )已知已知A,BA,B两地相距两地相距800800m, ,在在A A地听到炮弹爆地听到炮弹爆炸声比在炸声比在B B地晚地晚2 2s, ,且声速为且声速为340340m/ /s, ,求炮弹爆炸点的轨迹方程求炮弹爆炸点的轨迹方程. .如图所示，建立直角坐标系如图所示，建立直角坐标系xO Oy, ,设爆炸点设爆炸点P的坐标为的坐标为( (x, ,y) )，则则340 2680PAPB即即 2a=680，a=340800AB 8006800 ,0PAPBx1(0)11560044400 xyx22222800,400,cc xyoPBA因此炮弹爆炸点的轨迹方程为因此炮弹爆炸点的轨迹方程为44400bca 2 22 22 21、双曲线及其焦点，焦距的定义，双曲线的、双曲线及其焦点，焦距的定义，双曲线的 标准方程以及方程中的标准方程以及方程中的a、b、c之间的关系之间的关系小结：小结：2、焦点位置的确定方法、焦点位置的确定方法作业：作业：P55 练习练习 1、3 P61 习题习题 A组组 1、22：k 1,则关于则关于x、y的方程的方程(1- k )x2+y2=k2- 1所表示的曲线是所表示的曲线是 （ )