在直角坐标系下二重积分的计算

1、19.2 在直角坐标系下二重积分的计算在直角坐标系下二重积分的计算何意义来寻求二重积分的计算方法.设曲顶柱体的曲顶是z=(x,y)(0),底是区域D,zyOxDz=(x,y)1( )x2( )xbaD是xy平面上由直线12( ),( )yxyx与曲线所围成.x=a, x=b(ab)若直接用二重积分的定义去计算它的值，将是复杂和困难，甚至是不可能的.下面利用二重积分的几212( )( )xyxaxb即D为为了确定曲顶柱体的体积V,在x轴上任取一点x,过该点xyO2( )yx1( )yxabxD为了确定积分区域D的范围, 在x轴上任取一点x,过该点作一条垂直于x轴的直线去穿区域,之交点不多于两个,

2、即一进一出.与D的边界曲线此区域为X型区域.3zyOxDz=(x,y)1( )x2( )xxS(x)ba体积为定积分则由定积分知:( )baVS x dx因对于区间a,b上每一个固定的x, S(x)就是一个曲边梯形的面积,此曲边梯形的曲边是由方程z=(x,y)确定的关于y的一元函数,12( )( )xx到而底边是沿着y轴方向从 的线段.作一个垂直于x轴的平面去截曲顶柱体;其截面面积设为S(x),平行切面截面面积已知的立体的4zyOz=(x,y)1( )x2( )xS(x)21( )( )( , ) ( , )bxaxDf x y df x y dy dx 故由曲边梯形的面积公式得21( )(

3、)( )( , )xxS xf x y dy或称先对y再对x的累次积分.常简写为21( )( )( , ) ( , )bxaxDf x y ddxf x y dy上式右端的积分称为二次积分5(x,y)中的x看成常数看成常数,12( )( )xx到此时积分的结果为量x的函数;21( )( )( , )xxf x y dy再将此函数对x在区间a,b上求定积分.注注2 去掉上面讨论中的限制(x,y)0,等式照样成立.xOD2( )xy1( )xyy注注1 此式告诉我们:在计算二重积分时,首先把被积将(x,y)对y从作定积分;函数=S(x)是变在y轴上任取一点y,过该点作一条垂直于y轴的直交点不多于两

4、个,即一进一出.与D的边界曲线之此区域为Y型区域.注注3线去穿区域,y6注注4 同理：当被积函数是z=(x,y),积分区域D(Y型12( )( )yxycyd即D为1( ),xy此时, (x,y)的二重积分为先对先对x再对再对y的累次积分.21( )( )( , ) ( , )dycyDf x y ddyf x y dxy=c,y=d(cd)与曲线xODdc2( )y1( )yy区域)是xy平面上由直线2( )xy常简写为所围成,7注注5 若D既不是X型区域也不是Y型区域,(如图),xyO2D1D3D123( , )( , )( , )( , )DDDDf x y df x y df x y

5、df x y d则可将D分成若干个部分,使每个部分不是X型区域就是Y型区域,再利用二重积分对积分区域的可加性进行计算.8注注6 综上所述二重积分的计算就是分别对变量x和y因而应先画出积分区域D的图形,并写出D的边界方程,作两次定积分的计算.化二重积分为二次积分的关键是:“选择积分次序和确定积分上、下限”如何根据区域D来确定两次定积分的上、下限呢?再由D的形状找出区域D内点的坐标所满足的不等式.同学们会感觉困难!9特殊地,若区域D是一矩形: axb,cyd,( , ) ( , )( , )bddbaccaDf x y ddxf x y dydyf x y dxxyOdcab即积分区域D是一矩形时

6、,其积分次序可交换.则二重积分224 (1),DIxydxdy例计算: 11, 22.Dxy 其中 为矩形10122212 (1)Idxxydy解这是先对y再对x的 累次积分.同学们一 定要注意12322113x yyydx1212864(4).33xdx212221 (1)Idyxydx或者23211213xy xxdy222864(2).33ydy要固定x为常数.对y积分时 这是先对x再对y的 累次积分.同学们一 定要注意要固定y为常数.对x积分时 115 (6),Dxyd例计算解 先作出区域D的图形：xyO2D1D111y=x+1y=1x如果按先对y再对x积分,则D应分为101:10yx

7、Dx 201 :01yxDx 和此时对二重积分的计算需计算两个二次积分;如果按 1,1 0.Dyxyxy 其中 由和围成12xyO111x=y1x=1y先对x再对y积分,则D可表为11:01yxyDy 此时对二重积分的计算只需计算一个二次积分.11 :01yxyDy 解 因110119(6)(6).3yyDxyddyxydx故13sin6 ,Dydxdyy例计算2 .Dyxxy其中 由直线及抛物线所围成的区域解 (如图)若先对y后对x积分,则有10sinsinxxDyydxdydxdyyy函数表示,积分难以进行;故不用此法.sin yyxyOy=x112xyxyOy=x112xy若(如图)先对

8、x后对y积分,则积分区域D为：201yxyy因的原函数不能用初等14210sinsin yyDyydxdydydxyy则210sinyyyxdyy120sin()yyydyy1100sinsinydyyydy1 sin10.1585. 并请同学们注意：凡遇22sin, sin, cos,xdxx dxx dxx1,lnxdxe dxx22,xxe dxedx等不能用初初等函数表示的积分,均须更换积分次序.但在更换积分次序时,必须15先画出积分区域D的图形,再根据积分次序的要求,重新写出D的边界方程.2211117 (1).( , ) .xxdxf x y dy例更换的积分次序2211 : 11

9、xyxDx 解 由题知积分区域 满足yx11o21yx 21yx 1116改变积分次序后区域111: 01yxyDy22211 : 10yxyDy yx2D1D11o21xy 1xy 1xy21xy11221111 ( , ) xxdxf x y dy则2211010111 ( , )( , )yyyydyf x y dxdyf x y dx12 DDD1721213(3)0010(2).( , )( , ).xxdxf x y dydxf x y dy12 ,DDD解 积分区域且xy2D1D31o210: 01yxDx 210(3) : 213yxDx且 :D改变积分次序后的区域xyx=32

10、y32 01yxyy21213(3)0010 ( , )( , )xxdxf x y dydxf x y dy则13 20( , ).yydyf x y dx1821108 .yxdxedy例计算解 因 的原函数积不出来,按先对y后对x的积分次序2yexyO11由题意知其X型区域为：(Y型区域)1 01xyx0 01xyy2221111100001 (1). 2yyyyxdxedydyedxyedye则无法计算出结果,故须改变积分次序.另解:利用分部积分公式,令21,yxuedy vx则有1922111100 ()yyxxxedyxdedy22111100 ()yyxxdxedyedy dx

11、2100 xxedx注注7 当积分区域D是一矩形:axb,cyd,且(x,y)=g(x)h(y)时,( , ) ( ) ( )bdacDf x y dxdyg x dxh y dy则二重积分209 ( ), ( ) , ,f x g xa b例设均为上的严格单增的连续函数:()( ) ( ) ( )( )bbbaaabaf x g x dxf x dxg x dx求证 C()( ) ( )( )( )bbbaaabaf x g x dxf x dxg x dx证 令 C( ) ( ) ( )( )bbbbaaaadyf x g x dxf y dyg x dx( ) ( ) ( ) ( )bb

12、bbaaaaf x g x dxdyf y g x dxdy ( )( ) ( )bbaaf xf y g x dxdy 则21 ( )( ) ( )bbaaCf yf x g y dxdy 同理2 ( )( ) ( )( )bbaaCf xf yg xg y dxdy ( ), ( ) , ,f x g xa b而均为上的严格单增的连续函数 则 ( )( ) ( )( )00f xf yg xg yC()( ) ( )( )( )bbbaaabaf x g x dxf x dxg x dx210 2 .yxyx例求由曲线与所围成平面图形的面积22xyOy=x2122yx2xy2D1D1o2yx