多元函数的微分法及其应用

1、18.1 预备知识预备知识8.2 多元函数的概念多元函数的概念8.3 偏导数偏导数8.4 全微分及其应用全微分及其应用8.5 多元复合函数的微分法多元复合函数的微分法8.6 隐函数的微分法隐函数的微分法8.8 二元函数的极值与最值二元函数的极值与最值第八章第八章 多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用( , )zf x y 2zbxyOac第八章第八章 多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用 下面在一元函数微分法的基础上, 来研究多元函数的微分法. 因从一元函数到二元函数将会面临一些新问题, 而从二元函数到二元以上的多元函数, 可完全类推; 需首先介绍一些空间故下面主要研究

2、二元要研究多元函数,现就必备知识作解析几何知识.简单介绍.函数的微分法及其应用.38.18.1预备知识预备知识 要求大家了解空间解析几何的初步知识.下面仅简要地介绍有关解空间解析几何的一些基本概念.1.空间直角坐标系及空间中的点与坐标一一. . 空间解析几何简介空间解析几何简介其几何直观, 如图:oxoyoz、.ozoxyz 过空间中的一个定点O, 作三条相互垂直的直线再规定一个长度单位和按照右手螺旋法则去确定的正方向, 就构成一个空间直角坐标系, 并记为 O123123123xyzox oy、 、4oxyzoxoyoz、及O123123123xyz在空间直角坐标系 中, 点O称为坐标原点;分

3、别称为x轴(横轴) 、y轴(纵轴)及z轴(竖轴), 并统称为坐标轴.任意两条坐标轴构成的平面称为坐标面, 分别简称为xy平面、yz平面及 zx平坐标面; 且它们将空间分割成八个部分, 称每一个部分为一个卦限.5xyz以后依次称为第、卦限.把含三个坐标轴正方向的那个卦限为第一卦限.如图:在xy坐标平面的上部, 依次称为第、卦限.在xy坐标平面的下部与第一卦限相对应的称为第卦限;6对于空间中的任意点M, 过点M作三个平面分别垂直于的坐标依次为x、y、z; zyOxPQRMxyz在建立了空间直角坐标系后，就可以建立空间的点与有序数组(x, y, z)之间的对应关系.且与x轴、y轴、z轴的交点依次为P

4、、Q、三条坐标轴.R.(如图)P、Q、R三点在三个坐标轴上定了一个三元有序数组这样空间的点M就唯一确(x, y, z).7把x、y、z称为点M的横坐标 、纵坐标及竖坐标, 记为M (x, y, z). 反之, 对于任给的三元有序数组(x, y, z), 可依次在 x 轴、y轴、z轴上分别找出坐标为zyOxPQRMxyz这样空间任一点M和一个三元有序数组(x, y, z)建立了并把有序数组(x, y, z) 称为点M的空间直角坐标,并依次这三个平面的交点M， 就是以数组(x, y, z)为坐标的点.x、y、z 的三点P、Q、R， 然后过此三点作是三个平面分别垂直于 x轴、y轴、z轴，一一对应关系

5、.8xyzyz面上点的坐标为(0, y, z) x轴上点的坐标为(x , 0, 0)y轴上点的坐标为(0, y, 0)z轴上点的坐标为(0, 0, z)xy面上点的坐标为(x, y, 0)xz面上点的坐标为(x, 0, z) 由以上规定知道:坐标原点O的坐标为(0, 0, 0)9二二.空间任意两点间的距离1111( ,)Mx y z 与2222(,)Mxyz ，22212212121()()() .dM Mxxyyzz给定空间两点这两点间的距离d为可证明这与平面解几中两点间的距离公式是一样的.过 各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面.12,M M10zyOx1x2x1y2y1M2M3Md1m3m

6、向 xy面投影,并设点12M M12,M M13,.m m221323m mM M222121323M MM MM M则这六个平面围成一个以为对角线的长方体;(如图)在xy面的垂足各为 11222132121m mxxyy而222321M Mzz且；12222212121 ()()()dMMxxyyzz特别地,空间任一点M(x,y,z)222OMxyz例例1 1 已知两点(-1, 0, 2),(3, -2, 4), 求此两点间的距离.222 (3 1)( 20)(42)242 6d 解zyOx1x2x1y2y1M2M3Md1m3m到原点O的距离为12与平面解几相仿,空间解几利用定义定义1 1

7、若曲面S上任意一点的坐标zyOxM(x,y,z)P(x,y)下面来解决关于曲面的两个基本问题:三.空间曲面与方程空间坐标法, 把由点构成的几何图形和代数方程联系起来.则称方程F(x,y,z)=0为曲面S的方程, 而称曲面S为方程都满足方程F(x,y,z)=0； 而不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x,y,z)=0,F(x,y,z)=0的图形.(如上图)1. 巳知曲面的几何轨迹, 建立曲面的方程S13例例2 2 一动点M( x, y, z)与两定点A(-1,0,4)和B(1,2,-1)的 MAMB解 因222222(1)(4)(1)2(1)xyzxyz（）4410110 xyz故M( x,

8、y, z)的轨迹方程x z面的方程为 y = 0 距离相等, 求此动点M的轨迹方程.(即A、B两点连线的垂直平分面的方程)为4410110 xyz因x y平面上任意一点的坐标满足z = 0；而凡满足z = 0的点又都在 x y平面上；故坐标平面的方程分别为x y面的方程为 z = 0y z面的方程为 x = 014平行于xy面的平面方程为 z = c(c为常数, 表示此平面平行于yz面的平面方程为x=a(a为常数, 表示此平面 平行于xz面的平面方程为y=b(b为常数, 表示此平面Ax + By + Cz + D = 0 重要结论重要结论: : 平面方程均为一次方程平面方程均为一次方程. .

9、其中A、B、C、D均为常数, 且A、B、C不全为0.在 z 轴上的截距)在 y 轴上的截距)在 x 轴上的截距)一般地一般地,x, y, z的三元一次方程所表示的图形均是平面的三元一次方程所表示的图形均是平面. 空间平面方程的一般形式为150,MMR则222000()()()xxyyzzR2222000()()()xxyyzzRzyOxR2222xyzR例例3 3 求球心在点 半径为R的球面方程.0000(,),Mxyz ( , , ),( , , )M x y zM x y z解 设球面上任意一点为则动点与间的长度为特别地,以原点为球心,R为半径的球面方程为;是此球面的上半部.是此球面的下半

10、部0000(,)Mxyz定点之222zRxy 222zRxy则162. 巳知曲面的方程, 研究方程的图形通常情况下,三元方程的图形为一张空间曲面;至于会得出曲面S的全貌这种方法称为一、二元方程的图形,则应由具体的坐标系而定.一般的三元方程，通常很难立即想出其图形的形状.但若依次用平行于坐标面的平面x = a、y = b和z = c去截曲面S，则可得一系列的截口曲线；再将它们综合起来就例例4 4 考察下列的图形方程: (1) 2x- z=0 (2) 2x+y+2z=4 222(3) xyR“平行截口”法.2(5) 4.x 22(4) zxy17即用平行于xz面的任何平面20 xzya与x z面的

11、交线为 2x- z = 0zOxy是直线故该方程的图形是经过y轴且且过原点的平面.解 (1)由方程2x- z = 0不含y知： D = 0.则曲面过原点.且无论 y 取何值, 都有2x- z = 0Y = a去截曲面，其截痕都18此即为平面的截距式方程.1111242xyz它与x、y、z轴的交点分别为(2, 0, 0), (0, 4, 0), (0, 0, 2).解解 由方程由方程 2x + y + 2z = 4有有(2) 2x + y + 2z = 4 zyOx24219222(3) xyR半径为R的圆.222xyR在空间，因方程222xyR222,xyRzczyx且圆的大小与c无关.o解

12、在xy面上，方程表示以原点为圆心，用平面z=c去截曲面，其截口线为不含z，则z可取 任意值,圆圆20zyxo用平面 x = a去截曲面, 其截痕为直线22yRaxa 2122xRayb zyxo用平面 y = b去截曲面, 其截痕为直线注注1 1 xy面上,定圆曲线222xyR的一个圆柱面.222xyR平行于z轴的直线叫做此圆柱面的故该曲面为母线平行于z轴、准线为圆周准线，叫做此圆柱面的母线.2222(4) zxy解 用平面z=c(c0)去截曲面,其截痕为圆22xyc当c=0时,只有原点(0, 0, 0)满足此方程；c若用平面x=a或y=b去截曲面,其截痕为当c0时,其截痕为以(0,0,c)为

13、圆心,显然c越大，其截痕圆越大.zyOx以半径为R的圆.抛物线.23曲线L称为此旋转曲面的母线,ll故曲面 是 一个旋转抛物面(如图).22zxyzyOx注注2 2 如果有一条平面曲线L，绕着同一平面内一条已知直线 旋转一周形成的曲面称为旋转曲面.Ll已知直线旋转曲面的轴.称为此24称为2222221xyzabc注注3 3 方程 所确定的曲面， 椭球面(如图)zbxyOac解 因方程缺y、z，2(5) 4x 平面且分别过点(2, 0, 0)或(-2, 0, 0)的两个平面.则等价于方程的图形是平行于 y z注注4 4 在空间解几中, 若方程缺一个变量, 则其图形必平行则其图形必平行于坐标轴;

14、若方程缺两个变量,于坐标面.25四四. . 平面上的区域平面上的区域 在讨论一元函数时, 常用邻域和区间的概念. 本章讨论多元函数时, 也要用到邻域和区域的概念. 故下面将一元函数的邻域和区间的概念加以推广. 1. 1. 邻域邻域000(,)P x y与与 22000(, )( , )()()N Px yxxyy 间间的的距距离离小小于于000(,)0,P xyxy 设设是是平平面面上上的的一一个个点点，0,P 为为点点 的的 邻邻域域 并并记记为为( , )P x y的的点点的的全全体体0(, ),N P 即即平面上平面上260(, )N P 的的几几何何意意义义为为：00,(, ),PN P 点点 的的 去去心心邻邻域域 通通常常记记为为即即 22000(, )( , ) 0()()N Px yxxyy 000(,).xyP xy 平平面面上上以以点点中中心心、以以