由雷06-3全微分二元极值等20140417完成65页

1、),(),(yxfyxxf xyxfx ),(),(),(yxfyyxf yyxfy ),( 二二元元函函数数对对x和和对对y的的偏偏微微分分 二二元元函函数数对对x和和对对y的的偏偏增增量量由一元函数微分学中增量与微分的关系得由一元函数微分学中增量与微分的关系得三、全微分三、全微分 （203-206页）页） 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx的某邻域内的某邻域内有定义，并设有定义，并设),(yyxxP 为这邻域内的为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差任意一点，则称这两点的函数值之差 ),(),(yxfyyxxf 为函数在点为函数在点 P对应于自变量增量对应于自变量增量

2、yx ,的全增的全增量，记为量，记为z ， 即即 z =),(),(yxfyyxxf （1）全增量的概念）全增量的概念 （第（第203页）页）（2）全微分的定义）全微分的定义 （第（第203页定义页定义2） 函数若在某区域函数若在某区域 D 内各点处处可微分，内各点处处可微分，则称这函数在则称这函数在 D 内可微分内可微分. 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx可微分可微分, 则则函数在该点连续函数在该点连续.事实上事实上),( oyBxAz , 0lim0 z ),(lim00yyxxfyx ),(lim0zyxf ),(yxf 故故函函数数),(yxfz 在在点点),(yx处

3、处连连续续.（3）可微的条件）可微的条件 （第（第204页）页）证证如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(yxP可可微微分分, ),(yyxxPP的的某某个个邻邻域域)( oyBxAz 总成立总成立,当当0 y时，上式仍成立，时，上式仍成立，此时此时| x ,),(),(yxfyxxf |),(|xoxA Axyxfyxxfx ),(),(lim0,xz 同理可得同理可得.yzB 一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在 微分存在微分存在多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在 全微分存在全微分存在例如，（教材例如，（教材203页最后一段）页最后一段）.000),(2222

4、22 yxyxyxxyyxf在点在点)0 , 0(处有处有0)0 , 0()0 , 0( yxff)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 如如果果考考虑虑点点),(yxP 沿沿着着直直线线xy 趋趋近近于于)0 , 0(，则则 22)()(yxyx 22)()(xxxx ,21 说说明明它它不不能能随随着着0 而而趋趋于于 0,0 当当 时，时，),()0 , 0()0 , 0( oyfxfzyx 函数在点函数在点)0 , 0(处不可微处不可微.说明说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在，微分存在，证证),(),(yx

5、fyyxxfz ),(),(yyxfyyxxf ),(),(yxfyyxf ),(),(yyxfyyxxf xyyxxfx ),(1 )10(1 在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理xxyxfx 1),( （依偏导数的连续性）（依偏导数的连续性）且且当当0, 0 yx时时，01 .其中其中1 为为yx ,的函数的函数,xxyxfx 1),( yyyxfy 2),( z 2121 yx, 00 故函数故函数),(yxfz 在点在点),(yx处可微处可微.同理同理),(),(yxfyyxf ,),(2yyyxfy 当当0 y时，时，02 ,习惯上，记全微分为

6、习惯上，记全微分为 【第【第205页第页第5行行】.dyyzdxxzdz 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.dzzudyyudxxudu 我们把二元函数的全微分等于它的两个我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分偏微分之之和这件事称为二元函数的微分符合和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理也适用于二元以上函数的情况叠加原理也适用于二元以上函数的情况解解233zxyx343zyxy23(33 )(43 ).dzxy dxyx dy所求全微分所求全微分解解,10463xyyxz,3012522yxxyyz.)3012()104(52263dyyxxydx

7、xyydz所求全微分所求全微分解解221zyxx y221zxyx y(2,1)1,5zx(2,1)2,5zy12.55dzdxdy所求全微分所求全微分解解,1yyxxz,ln xxyzy, 1)1 , 2(xz, 2ln2)1 , 2(yz.2ln2dydxdz所求全微分所求全微分解解, 1 xu,2cos21yzzeyyu ,yzyezu 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz （4）全微分在近似计算中的应用）全微分在近似计算中的应用 （第（第205页）页）都较小时，有近似等式都较小时，有近似等式连续，且连续，且个偏导数个偏导数的两的两在点在点当二元函数当

8、二元函数yxyxfyxfyxPyxfzyx ,),(),(),(),(.),(),(yyxfxyxfdzzyx 也可写成也可写成.),(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx 解解.),(yxyxf 设函数设函数1,2,0.02,0.04.xyxy 取, 1)2 , 1( f,),(1 yxyxyxf,ln),(xxyxfyy , 2)2 , 1( xf, 0)2 , 1( yf由公式得由公式得2.04(1.02)12 0.020 0.04 1.04上节课内容小结：上节课内容小结：1、偏导数及其求法、偏导数及其求法2、高阶偏导数及其求法、高阶偏导数及其求法3、全微分公式及其求法

9、、全微分公式及其求法一、多元复合函数的偏导数一、多元复合函数的偏导数 （第（第207页）页）二、全微分形式的不变性二、全微分形式的不变性 （第（第209页）页）第三节、多元复合函数和隐函数的求导第三节、多元复合函数和隐函数的求导法则法则 （第（第207-211页）页）三、隐函数的偏导数三、隐函数的偏导数 （第（第210页）页）证证),()(tttu 则则);()(tttv 一、多元复合函数的偏导数（第一、多元复合函数的偏导数（第207页）页），获得增量获得增量设设tt 由由于于函函数数),(vufz 在在点点),(vu有有连连续续偏偏导导数数,21vuvvzuuzz 当当0 u，0 v时，时，

10、01 ，02 tvtutvvztuuztz 21 当当0 t时，时， 0 u，0 v,dtdutu ,dtdvtv .lim0dtdvvzdtduuztzdtdzt 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如如dzz duz dvz dwdxu dxv dxw dxuvwxzdzdx公式中的称为全导数。 上定理还可推广到中间变量不是一元函数上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：而是多元函数的情况：).,(),(yxyxfz 如果如果),(yxu 及及),(yxv 都在点都在点),(yx具有对具有对x和和y的偏导数，且函数的偏导数，

11、且函数),(vufz 在对应在对应点点),(vu具有连续偏导数，则复合函数具有连续偏导数，则复合函数),(),(yxyxfz 在对应点在对应点),(yx的两个偏的两个偏导数存在，且可用下列公式计算导数存在，且可用下列公式计算 xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz .uvxzy链式法则如图示链式法则如图示 （208页）页） xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv 类似地再推广，设类似地再推广，设),(yxu 、),(yxv 、),(yxww 都在点都在点),(yx具有对具有对x和和y的偏导数，复合的偏导数，复合函数函数),(),(),(yxwyxyxfz 在对应点在对应

12、点),(yx两个偏导数存在，且可用下列公式计算两个偏导数存在，且可用下列公式计算 xwwzxvvzxuuzxz , ywwzyvvzyuuzyz .zwvuyx解解dzz duz dvzdxu dxv dxxsincosxveuxxcossincosxxexexx(cossin )cosxexxx解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu)cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu)cossin(vvxeu, )cos()sin(yxyxyexy。)cos()sin(yxyxxexy例：设例：设,2,2,2yxvyxuvuz求：求：.

13、,yzxz解解 xz uzxu vzxv 1)(2222vuvu22)2()2(2)24yxyxyxyx（ yz uzyu vzyv ）（ 2)(1222vuvu22)2()2(22)22yxyxyxyx（例：设例：设),(22xyeyxfz求：求：.,yzxzxyevyxu,22令：解：解： xz uzxu vzxv ),(vufz 则：vxyufyefx 2 yz uzyu vzyv vxyufxefy 2例：设例：设,1,2xyxyz求全导数：求全导数：.dxdz解：解：xzdxdyyzdxdz）22(1221xyxxx2211xx法二：法二：xxxyz21)11(12222xxxxdx

14、dz2211xx 设函数设函数),(vufz 具有连续偏导数，则有全微分具有连续偏导数，则有全微分dvvzduuzdz ;当当),(yxu 、),(yxv 时，有时，有dyyzdxxzdz .全微分形式不变性的实质全微分形式不变性的实质： 无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.zvu、vu、二、全微分形式不变性二、全微分形式不变性 （第（第209页）页）dxxvvzxuuz dyyzdxxzdz dyyvvzyuuz dyyudxxuuz dyyvdxxvvzduuz .dvvz 解解, 0)2( zxyez

15、ed, 02)( dzedzxydezxy)()2(ydxxdyedzexyz dyexedxeyedzzxyzxy)2()2( xz ,2 zxyeyeyz .2 zxyexe上节课内容小结：上节课内容小结：1、全微分公式及其求法、全微分公式及其求法2、复合函数微分公式、复合函数微分公式2（分以下几种情况）（分以下几种情况）三、隐函数的偏导数三、隐函数的偏导数 （第（第210210页）页）0),()1( yxF0),()2( zyxF0),(.1 yxF隐函数的求导公式隐函数的求导公式解解令令则则,arctanln),(22xyyxyxF ,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyy

16、xFy yxFFdxdy xyyx.yxyx0),(. 2 zyxF解解令令则则,4),(222zzyxzyxF ,2xFx , 42 zFz,2zxFFxzzx 22xz 2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz 上节课内容小结：上节课内容小结：1、复合函数微分法公式、复合函数微分法公式2、隐函数微分法公式、隐函数微分法公式一、二元函数的极值一、二元函数的极值 （第（第212页）页）二、条件极值与拉格朗日乘数法（第二、条件极值与拉格朗日乘数法（第215页）页）（取得极值的必要条件、充分条件）（取得极值的必要条件、充分条件）第四节、二元函数的极值第四节、

17、二元函数的极值 （第（第212页）页）实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价瓶进价1元，外地牌子每瓶进价元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的元，外地牌子的每瓶卖每瓶卖 元，则每天可卖出元，则每天可卖出 瓶本瓶本地牌子的果汁，地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？取得最大收益？xyyx4570 yx7680 每天的收益为每天的收益为 ),(yxf)7680)(2 . 1()

18、4570)(1(yxyyxx 求最大收益即为求二元函数的最大值求最大收益即为求二元函数的最大值.一、问题的提出一、问题的提出二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 播放播放 设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域内的某邻域内有定义，对于该邻域内异于有定义，对于该邻域内异于),(00yx的点的点),(yx：若满足不等式若满足不等式),(),(00yxfyxf ，则称函数，则称函数在在),(00yx有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式),(),(00yxfyxf ，则称

19、函数在，则称函数在),(00yx有极有极小值；小值；1 1、二元函数极值、二元函数极值 （第（第212212页）页）极大值、极小值统称为极值极大值、极小值统称为极值. .使函数取得极值的点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点. .(1)(2)(3)例例1 1处有极小值处有极小值在在函数函数)0 , 0(4322yxz 例例处有极大值处有极大值在在函数函数)0 , 0(22yxz 例例处无极值处无极值在在函数函数)0 , 0(xyz 2 2、多元函数取得极值的条件（第、多元函数取得极值的条件（第213213页）页）不妨设不妨设),(yxfz 在点在点),(00yx处有极大值处有极大值,则则对对

20、于于),(00yx的的某某邻邻域域内内任任意意 ),(yx),(00yx都都有有 ),(yxf),(00yxf,证证故故当当0yy ，0 xx 时时，有有 ),(0yxf),(00yxf,说明一元函数说明一元函数),(0yxf在在0 xx 处有极大值处有极大值,必必有有 0),(00 yxfx;类类似似地地可可证证 0),(00 yxfy.推广推广 如果三元函数如果三元函数),(zyxfu 在点在点),(000zyxP具有偏导数，则它在具有偏导数，则它在),(000zyxP有极值的必要条有极值的必要条件为件为 0),(000 zyxfx， 0),(000 zyxfy， 0),(000 zyxf

21、z.例如例如, 点点)0 , 0(是函数是函数xyz 的驻点，的驻点，但但不不是是极极值值点点. 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的的点，均称为函数的驻点驻点.驻点驻点极值点极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？定理定理 2 2（充分条件）（充分条件）设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域内连续，的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，有一阶及二阶连续偏导数，注意：注意：又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令 Ayxfxx ),(00， Byxfx

22、y ),(00， Cyxfyy ),(00，则则),(yxf在点在点),(00yx处是否取得极值的条件如下：处是否取得极值的条件如下：（1 1）02 BAC时具有极值，时具有极值， 当当0 A时有极大值，时有极大值， 当当0 A时有极小值；时有极小值；（2 2）02 BAC时没有极值；时没有极值；（3 3）02 BAC时可能有极值时可能有极值, ,也可能没有极值，也可能没有极值，还需另作讨论还需另作讨论将方程两边分别对将方程两边分别对yx,求偏导求偏导 0422204222yyxxzzzyzzzx由由函函数数取取极极值值的的必必要要条条件件知知,驻驻点点为为)1, 1( P,将将上上方方程程组

23、组再再分分别别对对yx,求求偏偏导导数数,解解,21|, 0|,21|zzCzBzzAPyyPxyPxx 故故 )2(0)2(122 zzACB,函函数数在在P有有极极值值.将将)1, 1( P代代入入原原方方程程,有有6, 221 zz,当当21 z时时，041 A,所所以以2)1, 1( fz为为极极小小值值；当当62 z时时，041 A,所以所以6)1, 1( fz为极大值为极大值.第第一一步步 解解方方程程组组, 0),( yxfx0),( yxfy求出实数解，得驻点求出实数解，得驻点.第二步第二步 对于每一个驻点对于每一个驻点),(00yx，求求出出二二阶阶偏偏导导数数的的值值 A、

24、B、C. 第三步第三步 定出定出2BAC 的符号，再判定是否是极值的符号，再判定是否是极值.（第（第213页）页）求最值的一般方法求最值的一般方法： 将函数在将函数在D D内的所有驻点处的函数值及在内的所有驻点处的函数值及在D D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值大者即为最大值，最小者即为最小值. . 与一元函数相类似，我们可以利用函数的与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值极值来求函数的最大值和最小值.3 3、二元函数的最大值和最小值、二元函数的最大值和最小值 （第（第214214页）页）

25、解解先先求求函函数数在在D内内的的驻驻点点，xyo6 yxDD如图如图,解方程组解方程组 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得区域得区域D内唯一驻点内唯一驻点)1 , 2(, 且且4)1 , 2( f, 再再求求),(yxf在在D边边界界上上的的最最值值， 在在边边界界0 x和和0 y上上0),( yxf, 在边界在边界6 yx上，即上，即xy 6于于是是)2)(6(),(2 xxyxf,由由 02)6(42 xxxfx,得得4, 021 xx, 2|64 xxy,64)2 , 4( f 比较后可知比较后可知4)1 , 2( f为最大值为最大值,64)2 , 4( f为最小值为最小值.xyo6 yxD, 0)1()(2)1(22222 yxyxxyxzx, 0)1()(2)1(22222 yxyxyyxzy得驻点得驻点)21,21(和和)21,21( ,解解 由由即边界上的值为零即边界上的值为零.,21)21,21( z,21)21,21( z所以最大值为所以最大值为21，最小值为，最小值为21 .因为因为01lim22 yxyxyx无条件极值无条件极值：对自变量除了限制在定义域内对自变量除了限制在定义域内外，并无