2012考研数二真题及解析

1、2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：18小题,每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.X2X(1) 曲线y土圣渐近线的条数为()x21(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3【答案】：C【解析】：lim厂三，所以x1为垂直的x1x12.XXlim>一1,所以y1为水平的，没有斜渐近线故两条选Cxx1(2) 设函数f(x)(ex1)(e2x2)(enxn)，其中n为正整数，则f'(0)(A) (1)n1(n1)!(B) (1)n(n1)!(C) (1)n1n!(D) (1)nn!【答

2、案】：C八一一'vOvnvvOvnvvOvnvx，cxnxxxnxxxnx【解析】:f(x)e(e2)-(en)(e1)(2e2)(en)(e1)(e2)(nen)所以f'(0)(1)n1n!(3) 设an>0(n=1,2，)，Sn=a1+a2+an，则数列(sn)有界是数列(an)收敛的(A)充分必要条件.(B)充分非必要条件.(C)必要非充分条件.(D)即非充分地非必要条件.【答案】:(B)kx2设Ikesinxdx(k=1,2,3)，则有D(A)|i<12<I3.(B)I2<I2VI3.(C)Ii<I3<Ii,(D)Ii<I2&l

3、t;I3.【答案】:(D)【解析】：Ik£必sinxdx看为以k为白变量的函数，则可知e2.一kv2Ik'esink0,k0,，即可知Ikeesinxdx关于k在0,上为单调增函数,又由于1,2,30,，则I1I2I3,故选D设函数f(x,y)可微，且对任意x,y都有f(x,y)>0,f(x,y)<0,f(x1,y1)<f(x2,y2)成立的一个充分条件是(A)x1>x2,y1<y2.(C)x1<x2,y1<y2.(B)x1>x2,y1>y1.(D)x1<x2,y1>y2.【答案】:(D)【解析】:芒®

4、;0,弋为0表示函数f(x,y)关于变量x是单调递增的，关于变量y是单调递减的。因此，当x,x2,y1y是单调递减的。因此，当x,x2,y1y是单调递减的。因此，当x,x2,y1y2必有f(x1,y)f(x2,y2),ft选D(6)设区域D由曲线ysinx,x,y1,围成，则x5y1dxdy()2(A)(B)2(C)2(D)【答案】:(D)【解析】：由二重积分的区域对称性，x5y1dxdy2dxsinxx5y1dy是()0011设10,21,31,41其中G,C2,C3,C4为任意常数，则下列向量组线性相关的GC2C3C4(A)(B)(C)(D)3,4【解析】1,3,10101GC314（8）

5、设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵0,可知1,P则Q1AQ(A)(B)(C)(D)：(B)故选（B）。100100【解析】:QP1110，则Q1110P1001001二、填空题:（9）设y【答案】:14线性相关。故选（,QC)故Q1AQ914小题,每小题1001001001100111_1_0PAP11011011101001001001200124分，共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.y（x）是由方程x2y1ey所确定的隐函数12【解析】：原式limndx1x2arctanx(11)设zflnx，其中函数f（u）可微，则xx【解析】：因为xz，所以xxy%0-（12）微分方程ydx-2(

6、x3y)dy0满足初始条件y|x=1的解为【解析】：ydx(x3y2)dydxdy3y1xydxdy3y为一阶线性微分方程【妍】：指工=0代次原方程可襟J=。方程t-F+l=#两蒲对求导有2心="曳，壬=0、V-。代人可悔，所以t£t赤空0再次求导得2-些.f冬）竺，再将*5、y-0>±=。代入可碍dx.、尿放"detJ2=P3EJ（10）计算limx所以-dyey-dyey-dyey1dy3yeydy2.3ydyC(y3C)1y又因为y1时x1,解得C(13)曲线yx2x(x0)上曲率为的点的坐标是21,0【解析】：将y'1,0【解析】：

7、将y'【解析】：将y'【解析】：将y'2x1,y”2代入曲率计算公式，有K|y|、一2、3/23(y)1(2x1)21整理有(2x1)2(y)1(2x1)21整理有(2x1)2整理有(2x1)2整理有(2x1)20或1,又x0,所以x1,这时y0,故该点坐标为1,0(14)设A为3阶矩阵,A-*.3,A为A的伴随矩阵，若交换A的第一行与第二行得到矩阵B,则*BA【答案】：-27【解析】：由于BE12A,故BAE12AA|A|E123d,所以,|BA*|3E12|33|E12|27*(1)27.三、解答题：15-23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出

8、文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)已知函数f(x)已知函数f(x)已知函数f(x)1x1、，记asinxx,limf(x)x0(1)求a的值(2)若当x(2)若当x(2)若当x0时,f(x)xk的同阶无穷小，求k【解析】：(1)limf(x)x0sinx，当x0时，由11xlim(-1)lim-9x0sinxxx0xrr11f(x)af(x)1-sinxx11,即a1xsinxxsinx又因为,当x0时,xsinx与；x3等价,故f(x)1x,即k1(16)(本题满分10分)求fx,yxe求fx,yxe求fx,yxe22的极值。【解析】：fx,y22xyxe2先求函数的驻

9、点.fxx,yex0,fyx,yy0，解得函数为驻点为e,0.又Afxxe,01,Bfxye,00,Cfyye,01所以B2AC0,A0,故fx,y12在点e,0处取得极大值fe,0e.2（17）（本题满分10分）过点（0,1）点作曲线L:yInx的切线，切点为A,又L与x轴交于过点（0,1）点作曲线L:yInx的切线，切点为A,又L与x轴交于过点（0,1）点作曲线L:yInx的切线，切点为A,又L与x轴交于B点，区域D由L与直线AB及x轴围成,求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。【解析】:设切点坐标为Ax0,lnx0，斜率为上,所以设切线方程为XoInXo1-xx0，又因为该切

10、线过XoB(0,1),lx12xIe所以X0e2,故切线方程为:y2V22e2ee2ln2xdx113838383xln4e22xlne22ln1xdxe2x12e2dx1(18) (本题满分10分)计算二重积分xyd，其中区域D为曲线r1cos0与极轴围成。【解析】：xyddrcosrsinrdr00D1.一、4,-sincos(1cos)d4016sincos(2cos21)cos8d022222119.322sintcostdt162sintcostdt0088351615(19) (本题满分11分)已知函数f(x)满足方程f(x)f(x)2f(x)0及f(x)f(x)2ex求表达式f(

11、x)求曲线的拐点yf(x2)0f(t2)dt【解析】:1) 特征方程为r2r20,特征根为r1,&2,齐次微分方程f(x)f(x)2f(x)0的通解为f(x)C1exC2e2x.再由f'(x)f(x)2ex得2C1exC2e2x2ex,可知C11,C20。故f(x)exx2xt2x2xt22x2xt2曲线方程为yex0etdt,y'12xex0etdt,y''2x212x2ex0etdt令y''0得x0。为了说明x0是y''0唯一的解，我们来讨论y''在x0和x0时的符号。2x22x2_-当x0时,2x0,

12、212xe°edt0，可知y''0；当x0时,2x0,212xe°edt0,可知y''0。可知x0是y''0唯一的解。同时，由上述讨论可知曲线yf(x2)：f(t2)dt在x0左右两边的凹凸性相反，可知0,0点是曲线.,2、x2、yf(x)0f(t)dt唯一的拐点。(20)(本题满分10分)1x证明：xln1x2xcosx1,121xx【解析】：令fxxIncosx1一，可得1x2f'xlnMxJ,sinxx1x1x1x所以InInxln2x1x2sinxx2x2x1x2sinx1x1时，有ln1x10,而c10,即得

13、xln-1cosx,10,有ln-0,12x2x十11,所以-1cosx1,所以2x._-xsinx0,x1x2*xsin1x2x0,1cosxcosxcosx0,即得xln-cosxcosxcosx1（21）（本题满分11分)（1）证明方程xnxn11(n伯勺整数），在区间1,_,一，一-,1内有且仅有一个实根;2（2）记（1）中的实根为A,证明imxn存在，并求此极限。【解析】由题意得：令f（x）xnxn1x1,贝Uf(1)0,再由f（2）1（1（1）n）12（2）n10，由零点定理得在（2,1）肯定有解xg，假设在此区间还有另外一根x,nn1nn1所以X0X0X01XnXnxn1,由归纳

14、法得到X1X0,即唯一性得证(2)假设根为Xn,即f(Xn)XnnXnn1Xn10,所以f(Xn)Xn(1Xn。1Xn10,(4Xn1),n1nA1Xn1Xn110可知七1nXn1n1Xn110,由于nXnn1XnXn10,可知Xn1Xn。又由于Xn1,也即Xn是单调的。则由单调有界收敛定理可知Xn收敛，假设limXnna,可知ax2X11。时,limf(xn)limXnX)1a10,得limxn1nn1Xn1ann21a00101a0,b1001a0a0010（22）（本题满分11分）设A(I)求A（n）已知线性方程组Axb有无穷多解，求a，并求Axb的通解。【解析】:（D1a0001a00

15、01aa001a0a(1)411a011a4001a0001aa001002a01(n)1a00101a01001a00001a4a2a01a010a可知当要使得原线性方程组有无穷多解，则有10,可知1a00101a01001a0003a12aa1100110010此时，原线性方程组增广矩阵为01101，进一步化为行最简形得010110011000110000000000010101可知导出组的基础解系为，非齐次方程的特解为11，故其通解为k110101010（23）（本题满分11分）三阶矩阵,AT为矩阵A的转置，已知r(ATA)2,且.次型线性方程组Axb存在2个不同的解，有|A|0.11即：A0102.(1)(1)0，得1或-111111x1x当1时，000x20，显然不符，故1.111x31fxTAtAx。1）求a2）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。