现代数学与中学数学1《微积分——从黎曼到勒贝格》

1、l陈惠勇 l江西师范大学数学与信息科学学院l第一讲 微积分的基本思想l 从黎曼到勒贝格)()()(xfdttfRdxdxal若f(x)在a,b上连续，则)()()( )(aFxFdttFRxal若F (x) 在a,b上连续，则导数（切线斜率）xi-1 xi定积分（面积）创立（17世纪）：Newton（力学）Leibniz（几何）(无穷小)严格化（19世纪）: Cauchy, Riemann, Weierstrass(极限理论(-N, -语言)，实数理论)外微分形式（20世纪初）：Grassmann, Poincare, Cartan（微积分基本定理如何在高维空间得到体现）l外微分形式 (整体微

2、分几何)（微积分基本定理如何在高维空间得到体现）l复数域上的微积分（复变函数）l微积分的深化和拓展（实变函数）(1) Riemann积分的定义积分与分割、介点集的取法无关几何意义（非负函数）：函数图象下方图形的面积。xi-1 xiiniiTbaxfdxxfR10|)(lim)()(其中iiiiiixxxxx11 f(x)在a,b上Riemann可积iniiTbaxMdxxf10|lim)(dxxfxmbainiiT)(lim10|: )(inf: )(sup11iiiiiixxxxfmxxxxfM其中：xi-1 xixi-1 xif(x)在a,b上Riemann可积iniixT1, 0，使得分

3、划iiiiiiiiimMxxxxfmxxxxfM: )(inf: )(sup11其中：xi-1 xi f(x)在a,b上Riemann可积注：连续函数、只有有限个间断点的有界函数和闭区间上的单调函数Riemann可积的总长度不超过的小区间，使得所有振幅分划，iiT, 0iiiiiniixxxii1上的振幅在为其中,),(baffbaiixxfbaii),(xi-1 xi)(),(abfba例：Dirichlet函数不Riemann可积。注：D(x)的下方图形可看成由0,1中每个有理点长出的单位线段组成。11iniixT，有分划1lim)(10|iniiTbaxMdxxf上积分0lim)(10|

4、iniiTbaxmdxxf下积分QxQxxD1 ,011 ,00)(0 1( )( )( )xaf t dtf xf a注：推荐大家看看龚昇写的l话说微积分， 简明微积分,l数学历史的启示（数学教学，2001.1）,l微积分严格化后(高等数学研究,2002,1-3） 1881年Volterra作出一可微函数，导函数有界但不Riemann可积；例：设rn为0,1中全体有理数(因为其为可数集，故可把它排成序列)，作0,1上的函数列1 231 231 , , , , 00,1 , , , , ( )1,2,3,nnxr r rrnxr r rrf xndxxfdxxfnnbanban)(lim)(l

5、imQxQxnnxDxf1 , 011 , 00)()(lim则 fn(x)在a,b上Riemann可积,但不Riemann可积。Riemann积分iniiTbaxfdxxfR10|)(lim)()(xi-1 xi为使f(x)在a,b上Riemann可积，按Riemann积分思想，必须使得分划后在多数小区间上的振幅足够小，这迫使在较多地方振动的函数不可积。Lebesgue提出，不从分割定义域入手，而从分割值域入手；(积分与分割、介点集的取法无关)1902年Lebesgue在其论文“积分、长度与面积”中提出（参见：Lebesgue积分的产生及其影响，数学进展，2002.1）iniibamEdxx

6、fL10,lim)()(yiyi-1)(:1iiiyxfyxEiiiyy1用 mEi 表示 Ei 的“长度”iniibamEdxxfL10,lim)()(取“极限”)(:1iiiyxfyxE取点集yiyi-1f(x)在 Ei上的振幅不会大于iniimEs1作和iiiyy1其中 mEi 表示 Ei 的“长度”，Mxfmyyii)(,1其中Myyyymn210, 0 作分划即：对此Lebesgue自己曾经作过一个比喻，他说：l假如我欠人家一笔钱，现在要还，此时按钞票的面值的大小分类，然后计算每一类的面额总值，再相加，这就是Lebesgue积分思想；l如不按面额大小分类，而是按从钱袋取出的先后次序来

7、计算总数，那就是Riemann积分思想即采取对值域作分划，相应得到对定义域的分划（每一块不一定是区间），使得在每一块上的振幅都很小，即按函数值的大小对定义域的点加以归类yiyi-10 1l(1) 集合Ei 的“长度”如何定义（测度论）； l(2)怎样的函数可使 Ei 都有“长度”（可测函数）；l(3)定义Lebesgue积分并研究其性质（积分论）；yiyi-1)(:1iiiyxfyxE(1) Achilles追龟 问题：时间由时刻组成，每一时刻，甲、乙都在一确定点上由于甲、乙跑完相应路程所用时间一样，故甲、乙所用“时刻数”一样，从而跑过的点的“个数”也一样。21111112222nnn0(甲)

8、 （乙） 3/4 7/8 15/16 1甲的速度为1，乙的速度为1/2 1, 2, 3, 4, 5, 6, a1, a2, a3, a4, a5, a6, 问下列情况是否能把新来的人安排下：1 又来了有限个人b1, b2, b3, ，bn3 每个人带无限多个亲戚（亲戚可排个队）4 又来了0,1个人2 每个人带一个亲戚b1, b2, b3, , bn, 1 b1, b2, b3 , , bn , a1 , a2 , a3 , 1, 2, 3, 4, 5, 6, a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , 4 不能安排进去（0,1是不可数集）2 b1, a1 , b2, a2 , b3, a3 , 3 a1 , a2 , a3 , a4 , a11, a12, a13, a14, a21, a22, a23, a24, a31, a32, a33, a34, l1、周民强，实变函数论，北