均值、方差、正态分布——学生用

1、§12.6离散型随机变量的均值与方差、正态分布1离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值称E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平(2)方差称D(X) (xiE(X)2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差2均值与方差的性质(1)E(aXb)aE(X)b.(2)D(aXb)a2D(X)(a，b为常数)3两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布，则E(X)_p_，D(X)p(1p)(

2、2)若XB(n，p)，则E(X)_np_，D(X)np(1p)4正态分布(1)正态曲线：函数，(x)e，x(，)，其中和为参数(>0，R)我们称函数、(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线(2)正态曲线的性质：曲线位于x轴上方，与x轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线x对称；曲线在x处达到峰值；曲线与x轴之间的面积为_1_；当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着_的变化而沿x轴平移，如图甲所示；当一定时，曲线的形状由确定，_越小_，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；_越大_，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示(3)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b (a<

3、;b)，随机变量X满足P(a<Xb)，(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记作XN(，2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值P(<X)0.682_6；P(2<X2)0.954_4；P(3<X3)0.997_4.1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定()(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小( )(3)正态分布中的参数和完全确定了正态分布，参数是正态分布的期望，是正态分布的标准差()(4)一个随机变量如果是众多的、互

4、不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布( )2设随机变量的分布列为P(k)(k2,4,6,8,10)，则D()等于()A5 B8 C10 D163设随机变量X服从正态分布N(2,9)，若P(X>c1)P(X<c1)，则c等于()A1 B2 C3 D44有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的件数，则D(X)_.5在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是_题型一离散型随机变量的均值、方差例1(2013·浙江)设袋子中装有a个红球，b个黄球，

5、c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n1,2,3,4)现从袋中任取一球，表示所取球的标号(1)求的分布列、期望和方差；(2)若ab，E()1，D()11，试求a，b的值题型二二项分布的均值、方差例2(2012·四川)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的分布列及数学期望E()假设某

6、班级教室共有4扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被关闭，且概率均为0.5.记此时教室里敞开的窗户个数为X.(1)求X的分布列；(2)若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭，班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为Y，求Y的数学期望题型三正态分布的应用例3在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,52)，现已知该班同学中成绩在8085分的有17人试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人在某次数学考试中，考生的成绩服从正态分布，即N(100,100)，已知满分为150分(1)试求考试成绩位于区间(80

7、,120内的概率；(2)若这次考试共有2 000名考生参加，试估计这次考试及格(不小于90分)的人数离散型随机变量的均值与方差问题典例：(12分)甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有m个球，乙袋中共有2m个球，从甲袋中摸出1个球为红球的概率为，从乙袋中摸出1个球为红球的概率为P2.(1)若m10，求甲袋中红球的个数；(2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是，求P2的值；(3)设P2，若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1个球，并且从甲袋中摸1次，从乙袋中摸2次设表示摸出红球的总次数，求的分布列和均值思维启迪(1)概率的应用，知甲袋中总球数为10和摸

8、1个为红球的概率，求红球(2)利用方程的思想，列方程求解(3)求分布列和均值，关键是求的所有可能值及每个值所对应的概率规范解答解(1)设甲袋中红球的个数为x，依题意得x10×4.3分(2)由已知，得，解得P2.6分(3)的所有可能值为0,1,2,3.P(0)××，P(1)×××C××，P(2)×C×××2，P(3)×2.8分所以的分布列为0123P10分所以E()0×1×2×3×.12分求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步

9、骤：第一步：确定随机变量的所有可能值第二步：求每一个可能值所对应的概率第三步：列出离散型随机变量的分布列第四步：求均值和方差第五步：反思回顾查看关键点、易错点和答题规范温馨提醒(1)本题重点考查了概率、离散型随机变量的分布列、均值(2)本题解答中的典型错误是计算不准确以及解答不规范如第(3)问中，不明确写出的所有可能值，不逐个求概率，这都属于解答不规范方法与技巧1均值与方差的常用性质掌握下述有关性质，会给解题带来方便：(1)E(ab)aE()b；E()E()E()；D(ab)a2D()；(2)若B(n，p)，则E()np，D()np(1p)2基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和

10、标准差，可直接按定义(公式)求解；(2)已知随机变量的均值 、方差，求的线性函数ab的均值、方差和标准差，可直接用的均值、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如二项分布)，可直接利用它们的均值、方差公式求解3关于正态总体在某个区域内取值的概率求法(1)熟记P(<X)，P(2<X2)，P(3<X3)的值(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.正态曲线关于直线x对称，从而在关于x对称的区间上概率相等P(X<a)1P(Xa)，P(x<a)P(Xa)(3)3原则在实际应用中，通常认为服从正态分布N(，2)的随机变量只取(3，3之间的

11、值，取该区间外的值的概率很小，通常认为一次试验几乎不可能发生失误与防范1在没有准确判断分布列模型之前不能乱套公式2对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、方差.A组专项基础训练一、选择题1正态总体N(1,9)在区间(2,3)和(1,0)上取值的概率分别为m，n，则()Am>n Bm<nCmn D不确定2已知某一随机变量X的分布列如下，且E(X)6.3，则a的值为()X4a9P0.50.1bA.5 B6 C7 D83(2013·湖北) 如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割

12、为125个同 样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X，则X的均值E(X)等于()A. B.C. D.4某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A100 B200 C300 D4005一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为0.6，现有4颗子弹，则射击停止后剩余子弹的数目X的期望值为()A2.44 B3.376 C2.376 D2.4二、填空题6从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的分布列为X012P7 已知随机变量的分布列为P(k)，k1,2,3，n，则P(2<5)_.8已知某次英语考试的成绩X服从正态分布N(116,64)，则10 000名考生中成绩在140分以上的人数为_三、解答题9某超市为了响应环保要求，鼓励顾客自带购物袋到超市购物，采取了如下措施：对不使用超市塑料购物袋的顾客，超市给予9.6折优惠；对需要超市塑料购物袋的顾客，既要付购买费，也不享受折扣优惠假设该超市在某个时段内购物的人数为36人，其中有12位顾客自己带了购物袋，现从这36人中随机抽取两人(1)求这两人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率；(2)设这两人中享受折扣优惠的人数为，求的分布列和数学期望10为了某项大型活动能