浙教版中考一轮复习 第17课时 矩形、菱形、正方形

1、 矩形、菱形、正方形 【中考题精选】1(2014·宁波)菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是(D)A10 B8C6 D52(2015·台州)如果将长为6 cm，宽为5 cm的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是()A8 cm B5 cmC5.5 cm D1 cm【解析】如图，在RtABC中，AB5，BC6，由勾股定理，得AC252626164，AC是矩形内最长的线段，将矩形折叠一次，折痕的长不可能大于AC， 折痕不可能为8 cm，故选A【答案】A3(2016·嘉兴、舟山)如图，矩形ABCD中，AD2，AB3，过点A，C作相距为2的平行线段AE，

2、CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是()A BC1 D【解析】设DEx，如图，过点F作FHAE，垂足为点H，AE、CF是平行线段，FH2AD四边形ABCD是矩形，ABCD又AECF，四边形AECF为平行四边形，AFCE，DEBFx，即FA3x.在矩形ABCD中，BADDAHF90°，DAEAFH，又FHAD，ADEFHA，AEFA3x.因此在RtADE中，由勾股定理得22x2(3x)2，解得x，即DE.故选D【答案】D4(2015·衢州)如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，BAD60°，则花坛对角线AC的长是()A6 米 B6米C3 米 D3

3、米【解析】ABAD, BAD60°，可得ABD为等边三角形，BD6米设对角线AC与BD相交于点O，得BOOD3米，AOOC, ACBD，由勾股定理，得AOOC3 米，AC6 米故选A【答案】A5(2015·台州)如图，在菱形ABCD中，AB8，点E，F分别在AB，AD上，且AEAF，过点E作EGAD交CD于点G，过点F作FHAB交BC于点H，EG与FH交于点O.当四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时，AE的值为( )A6.5 B6 C5.5 D5【解析】设AEx，则EB8x，四边形ABCD是菱形，EGAD，FHAB，AEAF，四边形AEOF和四边形OHCG都是菱

4、形四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12，4x4(8x)12，解得x5.5.故选C【答案】C6(2014·宁波)如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC1，CE3，H是AF的中点，那么CH的长是()A2.5 B C D2【解析】如图，连结AC，CF，四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形，ACF90°.又H是AF的中点，CHAF，延长AD交EF于点M，则AMEF，在RtAMF中，AM 134，FM312，AF2，CH.故选B【答案】B7(2016·杭州)在菱形ABCD中，A30°.在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120

5、°的等腰三角形BDE，则EBC的度数为 【解析】如图，在EBD中，BED120°，EBED，则EBD30°.在菱形ABCD中，A30°， CA30°，CBCDCBDCDB75°.当点E在ABD内时，EBCEBDCBD30°75°105°；当点E在CBD内时，EBCCBDEBD75°30°45°.故填45°或105°.【答案】45°或105°8(2016·温州)七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”小明利用七巧板(如

6、图1所示)中各块板的边长之间的关系拼成一个凸六边形(如图2所示)，则该凸六边形的周长是 cm.【解析】如图，图形1的边长分别是16，8，8；图形2的边长分别是16，8，8；图形3的边长分别是8，4，4；图形4的边长是4；图形5的边长分别是8，4，4；图形6的边长分别是4，8，4，8；图形7的边长分别是8，8，8；凸六边形的周长8×22×84×4(3216)cm.故答案为3216.【答案】32169(2014·绍兴)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，EAF45°，延长CD到点G，使DGBE，连结EF，AG.求证：EFFG.证

7、明：在正方形ABCD中，DGBE，易证ABEADG.BAEGAD，AEAG.EAF45°，BAD90°，BAEFADGADFAD45°；GAFEAF45°，且AFAF.AEFAGF.EFFG.【中考考点梳理】考点一 矩形、菱形、正方形的性质和判定四边形项目矩形菱形正方形边对边平行且相等对边平行且四边相等对边平行且四边相等角四个角都是直角对角相等，邻角互补四个角都是直角对角线互相平分且相等互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角对称性既是中心对称图形，又是轴对称图形判定1.有一个角是直角的平行四边形2.有三个角是

8、直角的四边形3.对角线相等的平行四边形1.有一组邻边相等的平行四边形2.四条边相等的四边形3.对角线互相垂直的平行四边形1.有一个角是直角，一组邻边相等的平行四边形2.有一组邻边相等(对角线互相垂直)的矩形3.有一个角是直角(对角线相等)的菱形4.对角线相等且互相垂直的平行四边形温馨提示：1正方形的判定：(1)先证明四边形是矩形，再证明有一组邻边相等或对角线垂直；(2)先证明四边形是菱形，再证明有一个角是直角或对角线相等2矩形的面积：Sab(a，b表示长和宽)；菱形的面积等于两条对角线乘积的一半；正方形的面积等于边长的平方或对角线乘积的一半考点二 平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系温馨提示：

9、1矩形、菱形和正方形都具有平行四边形的所有性质2平行四边形及特殊平行四边形的有关知识点比较多，要想做到准确而不混淆就要从“边、角、对角线、对称性”这四个方面来研究它们的性质和判定，多用数形结合法，掌握它们的区别与联系，把握它们的特征是关键【典型例题】考点一 矩形的性质与判定 (2016·台州)如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和点G，H.(1)求证：PHCCFP；(2)证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系【思路点拨】(1)由矩形的性质得出对边平行，再根据平行线的性质得出

10、相等的角，结合全等三角形的判定定理ASA即可得出PHCCFP；(2)由矩形的性质找出DB90°，再结合对边互相平行即可证出四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，然后利用矩形的对角线把矩形分成的两个三角形全等，可得两个矩形面积相等【自主解答】证明：(1)四边形ABCD是矩形，ABCD，ADBC又EFAB，GHAD，EFCD，GHBCCPFHCP，CPHPCF.PCPC，PHCCFP.(2)由(1)知ABEFCD，ADGHBC，四边形PEDH和四边形PGBF都是平行四边形四边形ABCD是矩形，DB90°，四边形PEDH和四边形PGBF都是矩形AC是矩形ABCD的对角线，SAD

11、CSABCS矩形ABCD又由(1)知PHCCFP，同理AEPPGA，SPHCSCFP，SAEPSPGA，S矩形PEDHS矩形PFBG. 如图，要使平行四边形ABCD是矩形，应添加的条件是ABC90°或ACBD(答案不唯一)(添加一个条件即可)考点二 菱形的性质与判定 (2016·丽水)如图，在菱形ABCD中，过点B作BEAD，BFCD，垂足分别为点E，F，延长BD至G，使得DGBD，连结EG，FG，若AEDE，则 【思路点拨】连结AC，EF，由ACBD及ABBD，判断出ABD是等边三角形，进而求出ADB60°，设EF与BD相交于点H，AB4x，然后根据三角形的中位

12、线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH，再求出DH，从而得到GH，利用勾股定理列式求出EG，最后求出比值即可【解析】如图，连结AC、EF，在菱形ABCD中，ACBD，BEAD，AEDE，ABBD，又菱形的边ABAD，ABD是等边三角形，ADB60°.设EF与BD相交于点H，AB4x，AEDE， 由菱形的对称性，CFDF，EF是ACD的中位线，DHDOBDx，在RtEDH中，EHDH x，DGBD，GHBDDH4xx5x， 在RtEGH中，由勾股定理得，EG2x，.【答案】方法总结：1在利用菱形计算或证明时，应充分利用菱形的性质，如“菱形的四条边都相等”“菱形的对角线互相垂直且平分

13、，并且每一组对角线平分一组对角”等2对于菱形的判定，若可证出四边形为平行四边形，则可证一组邻边相等或对角线互相垂直；若相等的边较多，则可证四条边都相等 如图，菱形ABCD的对角线AC4 cm，把它沿着对角线AC方向平移1 cm得到菱形EFGH，则图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为()A43 B32 C149 D179【解析】MEAD，MECDAC，.菱形ABCD的对角线AC4 cm，把它沿着对角线AC方向平移1 cm得到菱形EFGH，AE1 cm，EC3 cm，图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为.故选C【答案】C考点三 正方形的性质与判定 (2015·

14、嘉兴、舟山)如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AFDE，AF和DE相交于点G.(1)观察图形，写出图中所有与AED相等的角；(2)选择图中与AED相等的任意一个角，并加以证明【思路点拨】(1)由图易得DAG，AFB，CDE与AED相等；(2)根据HL证明ADE与BAF全等，即可得出AEDAFB【自主解答】解：(1)如图，与AED相等的角是DAG，AFB，CDE.(2)如图，选择12，正方形ABCD中，DABB90°，ADAB，又DEAF，ADEBAF.12.方法总结：1正方形是特殊的矩形又是特殊的菱形，具有矩形和菱形的所有性质2证明一个四边形是正方形，可以先判定为

15、矩形，再证邻边相等或对角线互相垂直；或先判定为菱形，再证有一个角是直角或对角线相等 如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BEBC，P为CE上任意一点，PQBC于点Q，PRBE于点R，则PQPR的值是(D)A B C D【课堂练习】1如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连结DE.若DEAC35，则的值为()A B C D【解析】设AE与CD交于点O，根据折叠的性质和矩形的性质得CECBAD，OACBACOCA，OAOC则AODCOE，ODOE.则AOCEOD.设DO3x，AOOC5x，则AD4x，ABCD8x.故选A【答案】A2如图，F是正方

16、形ABCD的边CD上的一个动点，BF的垂直平分线交对角线AC于点E，连结BE，FE，则EBF的度数是()A45° B50°C60° D不确定【解析】如图，过E作HIBC，分别交AB，CD于点H，I，则BHEEIF90°，E是BF的垂直平分线EM上的点，EFEBE是BCD角平分线上一点，E到BC和CD的距离相等，即BHEI，在RtBHE和RtEIF中，RtBHERtEIF(HL)，HBEIEF.HBEHEB90°，IEFHEB90°，BEF90°.BEEF，EBFEFB45°.故选A【答案】A3(2015·

17、丽水)如图，四边形ABCD与四边形AECF都是菱形，点E，F在BD上，已知BAD120°，EAF30°，则 【解析】如图，连结AC，过点E作ENAB于点N，四边形ABCD与四边形AECF都是菱形，点E，F在BD上，BAD120°，EAF30°，ABD30°，EAC15°，则BAE45°，设ANx，则NEx，AEx，BNx，. 【答案】4(2016·绍兴、义乌)如图，矩形ABCD中，AB4，BC2，E是AB的中点，直线l平行于直线EC，且直线l与直线EC之间的距离为2，点F在矩形ABCD边上，将矩形ABCD沿直线EF

18、折叠，使点A恰好落在直线l上，则DF的长为 【解析】如图，当直线l在直线CE上方时，连结DE交直线l于点M，四边形ABCD是矩形，AB90°，ADBCAB4，ADBC2，ADAEEBBC2，ADE，ECB是等腰直角三角形，AEDBEC45°，DEC90°， lEC，EDl，EM2AE.点A、点M关于直线EF对称MDFMFD45°，DMMFDEEM22，DFDM42.当直线l在直线EC下方时，延长DE交l于点N，则点A、点N关于直线EF对称，DEF1BEF1DF1E，DF1DE2，综上所述DF的长为42或2.故答案为42或2.【答案】42或25(2016&

19、#183;台州)如图，把一个菱形绕着它的对角线的交点旋转90°，旋转前后的两个菱形构成一个“星形”(阴影部分)，若菱形的一个内角为60°，边长为2，则该“星形”的面积是 【解析】在图中标上字母，令AB与AD的交点为点E，过E作EFAC于点F，如图所示四边形ABCD为菱形，AB2，BAD60°，BAO30°，AOB 90°，AOAB·cosBAO，BOAB·sinBAO1.同理可知：AO，DO1，ADAODO1.ADO90°30°60°，BAO30°，AED30°EAD，DEA

20、D 1.在RtEDF中，ED1，EDF60°， EFED·sinEDF.S阴影S菱形ABCD4SADE×2AO×2BO4×AD·EF66.【答案】666如图，已知点D在ABC的BC边上，DEAC交AB于点E，DFAB交AC于点F.(1)证明：AEDF；证明：DEAC，DFAB，四边形AEDF是平行四边形，AEDF.(2)若AD平分BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由解：四边形AEDF是菱形理由如下：由(1)可知四边形AEDF是平行四边形，EADFDAAD平分BAC，EADFAD，FADFDAAFDF.平行四边形AEDF为菱形

21、【能力提升训练】1下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是(C)A对角线相等 B对角线互相平分C对角线互相垂直 D邻边互相垂直2如图，在矩形ABCD中(ADAB)，点E是BC上一点，且DEDA，AFDE，垂足为点F.在下列结论中，不一定正确的是()AAFDDCE BAFADCABAF DBEADDF【解析】由矩形ABCD，AFDE可得CAFD90°.ADBC，ADFDEC又DEAD，AFDDCE(AAS)，故选项A正确；ADF不一定等于30°，直角三角形ADF中，AF不一定等于AD的一半，故选项B错误；由AFDDCE，可得AFCD，由矩形ABCD，可得ABCD，ABAF，故

22、选项C正确；由AFDDCE，可得CEDF，由矩形ABCD，可得BCAD，BEBCCEADDF，故选项D正确故选B【答案】B3(2016·台州初级中学检测)如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使MEMC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为(D)A1 B3 C1 D14如图，将ABC沿BC方向平移得到DCE，连结AD，下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是(A)AABBC BACBCCB60° DACB60°5如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为AD的中点，若OE3，则菱形ABCD的周长为24【

23、解析】四边形ABCD为菱形，ACBD，ABBCCDDA，AOD为直角三角形OE3，且点E为线段AD的中点，AD2OE6，C菱形ABCD4AD4×624.6如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CEBD，连结AE，如果ADB30°，则E 【解析】如图，连结AC，四边形ABCD是矩形，ADBE，ACBD，且ADBCAD30°，EDAE.又BDCE，CECA，ECAE.CADCAEDAE30°，EE30°，即E15°.【答案】15°7如图，在菱形ABCD中，BAD2B，E，F分别为BC，CD的中点，连结AE，AC，AF，则图中与

24、ABE全等的三角形(ABE除外)有()A1个 B2个 C3个 D4个【解析】四边形ABCD是菱形，ABBCCDDA，DB，ADBC，BADB180°.BAD2B，B60°，DB60°，ABC与ACD是全等的等边三角形E，F分别为BC，CD的中点，BECECFDFAB在ABE与ACE中，ABAC，BACB60°，BECE，ABEACE(SAS)同理，ACFADFABE，图中与ABE全等的三角形(ABE除外)有3个故选C【答案】C8如图，在正方形ABCD中，ABE和CDF为 直角三角形，AEBCFD90°，AECF5，BEDF12，则EF的长是(

25、)A7 B8 C7 D7【解析】四边形ABCD是正方形，BADABCBCDADC90°，ABBCCDAD在ABE和CDF中，ABECDF(SSS)，ABECDF.BAD90°，BAEDAG90°.AEBCFD90°，ABEBAE90°，ABEDAGCDF.同理可得ABEDAGCDFBCH，DAGADGCDFADG90°，即DGA90°，同理可得CHB90°.在ABE和DAG中，ABEDAG(AAS)，AEDG，BEAG，同理可得AEBH，BECH，即AEDGCFBH5，BEAGDFCH12，EGGFFHEF1257

26、.GEH180°90°90°，四边形EGFH是正方形，EFEG7.故选C【答案】C9(2016·杭州文澜中学模拟)如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C上，若AB6，BC9，则BF的长为(A)A4 B3 C4.5 D510如图，矩形纸片ABCD中，AB4，BC6.将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是()A6 B3 C2.5 D2【解析】如图，以BC为边作等腰直角三角形EBC，延长BE交AD于点F，得ABF是等腰直角三角形，作EGCD于点G，得EGC是等腰直角三角形，在矩形ABCD中剪去ABF，BCE

27、，ECG得到四边形EFDG，由等腰直角三角形的性质易得ECBE3，EGCG3，此时剩余部分面积的最小值4×6×4×4×3×6×3×32.5.故选C【答案】C11如图，矩形ABCD中，AB8，BC4，点E在AB上，点F在CD上，点G，H在对角线AC上若四边形EGFH是菱形，则AE的长是()A2 B3 C5 D6【解析】如图，连结EF交AC于点O，根据菱形性质，得FEAC，OGOH，易证OAOC由矩形ABCD，得B90°.根据勾股定理，得AC4，OA2.易证AOEABC，进而可得，即，AE5.故选C【答案】C12如图，

28、在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则S正方形MNPQ S正方形AEFG 的值等于 【解析】在正方形ABCD中， ABDCBD45°，四边形MNPQ和AEFG均为正方形，BEFAEF90°，BMNQMN90°，BEF与BMN是等腰直角三角形， FEBEAEAB，BMMNQM.同理DQMQ，MNBDAB，S正方形MNPQ S正方形AEFG.【答案】13如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，E是OC的中点，连结BE，过点A作AMBE于点M，交BD

29、于点F，则FM的长为 【解析】在正方形ABCD中，AOBO，AOFBOE90°.AMBE，AFOBFM，FAOEBO，AFOBEO(ASA)，FOEO.正方形ABCD的边长为2，E是OC的中点，FOEO1BF，BO2，直角三角形BOE中，BE.由FBMEBO，FMBEOB，可得BFMBEO，即，FM.【答案】14如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中，A(10，0)，C(0，4)，D为OA的中点，P为BC边上一点若POD为等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为 【解析】四边形OABC是矩形，OCB90°，OC4，BCOA10.D为OA的中点，ODAD5.若

30、POD为等腰三角形，分三种情况讨论：(1)当POPD时，点P在OD的垂直平分线上，点P的坐标为(2.5，4)；(2)当OPOD时，如图1所示，则OPOD5，PC3，点P的坐标为(3，4)；(3)当DPDO时，作PEOA于点E，则PED90°，DE3；分两种情况：当点E在点D的左侧时，如图2所示，OE532，点P的坐标为(2，4)；当点E在点D的右侧时，如图3所示，OE538，点P的坐标为(8，4)综上可得，点P的坐标为(2.5，4)或(3，4)或(2，4)或(8，4)【答案】(2.5，4)或(3，4)或(2，4)或(8，4)15(2016·衢州华茂外国语学校模拟)我们给出如下定义：顺次连结任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形(1)如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点求证：中点四边形EFGH是平行四边形； (2)如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PAPB，PCPD，APBCPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；(3)若改变(2)中的条件，使APBCPD90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状(不必证明)(1)证明：如图，连结BD点E，H分别为边AB，AD的中点，EHBD，EHBD点F，G分别为边