球的表面积与体积题型

1、排液法：排液法：hHhR32:,3VR半球猜测从而? 半球半球V331RV 圆锥圆锥3VR圆柱高等于底面半径的旋转体体积对比球的体积343VR球球的体积公式343VR球则球的体积为：则球的体积为：iV 设“小锥体”的体积为设“小锥体”的体积为iVnVVVVV 321iSO OO O34133RsR24SR例例1.(1)把球的半径扩大为原来的把球的半径扩大为原来的3倍，则体积扩大为原来倍，则体积扩大为原来的的_倍倍.(2)把球队表面积扩大到原来的把球队表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大为原倍，那么体积扩大为原来的来的_倍倍.(3)三个球的表面积之比为三个球的表面积之比为1:2:3，则它们的体积

2、之比为，则它们的体积之比为_.(4)三个球的体积之比为三个球的体积之比为1:8:27，则它们的表面积之比为，则它们的表面积之比为_.82233:22:19:4:1例题讲解例题讲解（4）.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是_.2422:134:1（1）.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的_倍.（2）.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的_倍.（3）.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是_.练习练习. .钢球直径是钢球直径是5cm,5cm,求它的体积求它的体积. .333445125()3326VRcm例例3.如图如图,圆柱的底面直径与高都等于球的圆柱的底面直径与高都等于

3、球的直径直径,求证求证:(1)球的表面积等于圆柱的侧面积球的表面积等于圆柱的侧面积.(2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二球的表面积等于圆柱全面积的三分之二.O O例例4.一种空心钢球的质量是一种空心钢球的质量是142g,142g,外径是外径是5cm,5cm,求它的求它的内径内径.( .(钢的密度是钢的密度是7.9g/cm7.9g/cm2 2) )解解:设空心钢球的内径为设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是则钢球的质量是答答:空心钢球的内径约为空心钢球的内径约为4.5cm.334547.9 ()142323x3.1149.73142)25(33 x由计算器算得由计算器算得:2.24x

4、5 . 42 x球的体积公式343VR球24SR球的表面积公式2)球的球的体积比体积比等于半径的等于半径的立方比立方比, 表面积之比表面积之比等于半径的等于半径的平方比平方比.1)球的体积：球的体积：数。数。球的体积是球半径的函球的体积是球半径的函, ,R R3 34 4v v3 3的函数。的函数。，球的表面积也是半径，球的表面积也是半径4 4R R球的表面积：s球的表面积：s2 2表表规律小结规律小结:问问:若三个球的体积之比为若三个球的体积之比为1:8:27,则它们的半径之比则它们的半径之比 . (1) V1:V2=R13:R23; S1:S2=R12:R22.(3) 解这类问题的关键解这

5、类问题的关键:找到变化前后找到变化前后半径半径的大小关系的大小关系.AOirO.B2C2BiCiAO把垂直于底面的半径OA作n等分，经过这些分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成n层，每一层的几何体怎样？用一个平面用一个平面 去截一个去截一个球球O，截面是，截面是圆面圆面222dRrrdRO球的截面的性质：球的截面的性质：球心和截面圆心的连线垂直于截面球心和截面圆心的连线垂直于截面球心到截面的距离为球心到截面的距离为d，球的半径为，球的半径为R，则，则 例例4.4.在球心同侧有相距在球心同侧有相距9cm9cm的两个平行截面的两个平行截面, ,它们的面它们的面积分别为积分别为49cm49cm和

6、和400cm,400cm,求球的表面积。求球的表面积。 若将若将“球心同侧球心同侧”这个条件去掉，又如何？这个条件去掉，又如何？OBAOOOBAOO. 2R .16444S2R,)3()2R(R222OABCO ,222AOOOOAAOORt 中中解解：在在 ;3322343433RV例例5.已知过球面上三点已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距离的距离等于球半径的一半，且等于球半径的一半，且AB=BC=CA=3cm，求球的体积，表面积求球的体积，表面积例例6.一球的球面面积为一球的球面面积为256cm2，过此球的一条半径，过此球的一条半径的中点，作垂直于这条半径的截面，求截

7、面圆的的中点，作垂直于这条半径的截面，求截面圆的面积面积.48二、球与多面体的接、切定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个多面体的外接球。定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个多面体的内切球。解决解决“接切接切”问题的关键是画出正确的问题的关键是画出正确的，把，把空间空间“接切接切”转化为平面转化为平面“接切接切”问题问题1.与正方体有关的切接问题正方体的内切球正方体的内切球的半径是棱长的一半21ar aa正方体的外接球正方体的外接球半径是体对角线的一半ABCDD1C1B

8、1A1OA AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O正方体的棱切球aa2ar222例例3 3. .如图，正方体如图，正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为a,a,它的各它的各个顶点都在球个顶点都在球O O的球面上，问球的球面上，问球O O的表面积。的表面积。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O22222113423,)2()2(:aRSaRaaRDDBRt 得得中中略略解解：A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O正方体的外接球正方

9、体的外接球：有三个球：有三个球,甲球切于正方体的各面甲球切于正方体的各面,乙球切乙球切于正方体的各侧棱于正方体的各侧棱,丙球过正方体的各顶点丙球过正方体的各顶点,求求这三个球的体积之比这三个球的体积之比. 画出正确的截面：(1)中截面；(2)对角面；找准数量关系21ar aaaa2ar222aa2ar23333:22:1 要研究球的表面积，必须考虑要研究球的表面积，必须考虑球面的特征，球面有什么特征呢？球面的特征，球面有什么特征呢？ 球面不可展，球面不可展，故球的表面积故球的表面积不便用求平面图形面积的方法来不便用求平面图形面积的方法来解决。解决。2、求长方体的外接球的有关问题、求长方体的外接

10、球的有关问题例、一个长方体的各顶点均在同一球面上，且例、一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3 ，则此球，则此球的表面积为的表面积为 .解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为 ，故球的表面积为 .1414若长方体的过同一顶点的三条棱长为a,b,c各顶点均在同一球面上,则此球的半径为 .22221cbar 已知点已知点P,A,B,C,D是球是球O表面上的点表面上的点,PA平面平面ABCD,四边形四边形ABCD是边长是边长为为3宽为宽为4的长方形的长方形.若若PA=2,则球则球O表

11、面表面积为积为_. 2、构造长方体、构造长方体3.构造直角三角形构造直角三角形1、一个四面体的所有的棱都为、一个四面体的所有的棱都为 ，四个顶点在同，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积（一球面上，则此球的表面积（ ）A 3B 43 3C D 62OBDCA1O 解：设四面体为解：设四面体为ABCD， 为其外接球为其外接球心。心。1O 球半径为球半径为R，O为为A在平面在平面BCD上的上的射影，射影，M为为CD的中点。的中点。M连结连结B1O2236().3323BOBMBC222,3AOABBO所以22211BOOBBOOO1在Rt中,由O得222223() ,43 .323RRRR球解得所

12、以SR1、一个四面体的所有的棱都为、一个四面体的所有的棱都为 ，四个顶点在同，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积（一球面上，则此球的表面积（ ）A 3B 43 3C 2D 6D1C1B1A1DCBA234()3,2S球= 解法解法2 构造棱长为构造棱长为1的正方的正方体，如图。则体，如图。则A1、C1、B、D是是棱长为棱长为 的正四面体的顶点。的正四面体的顶点。正方体的外接球也是正四面体正方体的外接球也是正四面体的外接球，此时球的直径的外接球，此时球的直径为为 ，23选选A4.补形成正方体正四面体的棱长为a ,与外接球半径R的关系为aR262边长为a的正四面体可以看成是边长是(2/2)a的正

13、方体截出来的,则其外接球直径是正方体边长的 倍.3OABCD设球的半径为 r，则 VA- BCD = VO-ABC + VO- ABD + VO-ACD + VO-BCD这四个四面体的高都是内切球的半径R,底面都是以a为边长是正三角形,利用等体积法可以求出内切球半径R的值.2、若正四体的棱长都为、若正四体的棱长都为6，内有一球与四个面都相，内有一球与四个面都相切，求球的表面积。切，求球的表面积。2、若正四体的棱长都为、若正四体的棱长都为6，内有一球与四个面都相，内有一球与四个面都相切，求球的表面积。切，求球的表面积。解法解法2：连结：连结OA、OB、OC、OP，那么，那么E EO O1 1P

14、PO OD DC CB BA A4P ABCO PABO PBCO PCAO ABCO ABCVVVVVV11,3P ABCABCVSPO因11,3O ABCABCVSOO14Or所以P162 6,.2Or易求P所以2、若正四体的棱长都为、若正四体的棱长都为6，内有一球与四个面都相，内有一球与四个面都相切，求球的表面积。切，求球的表面积。 解：作出过一条侧棱解：作出过一条侧棱PC和高和高PO的截面，则截面三角形的截面，则截面三角形PDC的的边边PD是斜高，是斜高，DC是斜高的射影，是斜高的射影，球被截成的大圆与球被截成的大圆与DP、DC相切，相切，连结连结EO，设球半径为，设球半径为r，16,

15、2rPOrDOPD得246Sr球故Rt PEO1Rt PO D由由E EO O1 1P PO OD DC CB BA A：正四面体：正四面体ABCD的棱长为的棱长为a，求，求其内切球半径其内切球半径r与外接球半径与外接球半径R.1、内切球内切球球心到多面体各面各面的距离均相等， 外接球外接球球心到多面体各顶点各顶点的距离均相等2、正多面体正多面体的内切球和外接球的球心重合球心重合3、正棱锥正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不都在高线上，但不重合重合4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理利用相似比和勾股定理5、体积分割体积分割是求内切球半径的通用做法假设正多面体的几何中心为P点,连接

16、P点和各个定点,你可以用全等三角形证明P点到各个顶点的距离相等,即P点为该多面体的外接球的球心.同理,连接P点和各个面的中心,你可以证明这些线段也相等,即P点也是该多面体的内切球球心.即为一点解题小结：解题小结：1、多面体的、多面体的“切切”、“接接”问题，必须明问题，必须明确确“切切”、“接接”位置和有关元素间的数量位置和有关元素间的数量关系，常借助关系，常借助“截面截面”图形来解决。图形来解决。2、正三棱锥、正四面体是重要的基本图形，要、正三棱锥、正四面体是重要的基本图形，要掌握其中的边、角关系。能将空间问题化为平掌握其中的边、角关系。能将空间问题化为平面问题得到解决，并注意方程思想的应用。面问题得到解决，并注意方程思想的应用。4 4、正四面体的内切球半径等于其、正四面体的内切球半径等于其高的四分之一高的四分之一，外接球半径等于其高的外接球半径等