第二章 三类典型的偏微分方程

1、第二章第二章 三类典型的偏微分方程三类典型的偏微分方程三类典型的偏三类典型的偏微分方程微分方程第二章第二章 三类典型的偏微分方程三类典型的偏微分方程 一根紧拉着的一根紧拉着的均匀均匀柔软柔软弦，长为弦，长为l，两端固定在，两端固定在X轴上轴上O、L两点，当它在平衡位置附近做垂直于两点，当它在平衡位置附近做垂直于OL方向的方向的微小微小横向横向振动时，求这根弦上各点的运动规律。振动时，求这根弦上各点的运动规律。OLxy2.1 波动方程波动方程 一维波动方程一维波动方程 最典型的一维波动问题是均匀弦的横向振动问题。最典型的一维波动问题是均匀弦的横向振动问题。第二章第二章 三类典型的偏微分方程三类典

2、型的偏微分方程 讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题。讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题。要确定弦的运动方程，需要明确：要确定弦的运动方程，需要明确：确定确定弦的弦的运动运动方程方程 （2）被研究的物理量遵循哪些）被研究的物理量遵循哪些物理定理？物理定理？牛顿第二定律牛顿第二定律. （3）按物理定理写出数学物）按物理定理写出数学物理方程（即建立理方程（即建立泛定方程泛定方程） (1)要研究的物理量是什么？要研究的物理量是什么？弦沿垂直方向的位移弦沿垂直方向的位移 ( , )u x t条件条件：均匀均匀柔软柔软的细弦，在平衡位置附近产生的细弦，在平衡位置附近产生振幅极小振幅极小

3、的的 横振动。横振动。不受外力不受外力影响。影响。研究对象研究对象：线上某点在线上某点在 t 时刻沿垂直方向的位移。时刻沿垂直方向的位移。( , )u x t第二章第二章 三类典型的偏微分方程三类典型的偏微分方程简化假设：简化假设： 由于弦是柔软的，弦上的任意一点的由于弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向张力沿弦的切线方向。21 ( )xxuxxsdx 在弦上任取一小段在弦上任取一小段 它的弧长为：它的弧长为：( ,)x xx由于假定弦在平衡位置附近做由于假定弦在平衡位置附近做微小振动微小振动， 很小，从而很小，从而ux1xxxsdxx 可以认为这段弦在振动中没有伸长，由胡克定律可可

4、以认为这段弦在振动中没有伸长，由胡克定律可知，弦上每一点所受张力在运动过程中知，弦上每一点所受张力在运动过程中保持不变保持不变，与时，与时间无关。即间无关。即 点处的张力记为点处的张力记为 。x( )T x 由于振幅极小，由于振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小张力与水平方向的夹角很小。 g s M M s x T y xx x T 第二章第二章 三类典型的偏微分方程三类典型的偏微分方程cos1cos1 g s M M s x T y xx x T 横向：横向：( )cos()cosT xT xx其中：其中： 作用在这段弦上的力有张力和惯性力，下面根据作用在这段弦上的力有张力和惯性力，下面根据

5、牛顿牛顿运动定律运动定律，写出它们的表达式和平衡条件。，写出它们的表达式和平衡条件。( )()0T xT xx 也就是说，张力也就是说，张力 是一个常数。是一个常数。T横向：横向：第二章第二章 三类典型的偏微分方程三类典型的偏微分方程22(, )( , )( , )0u xx tu x tu x tTxgxxxt 22(, )( , )(, ) 01u xx tu x tu xx txxxx 由由中值定理中值定理：0 xxxx 令，此时2222( , )( , )0u x tu x tTxxgxxt ( )sin()sin T xT xxsgsa 纵向：纵向：( , )(, )sintan,

6、sintanu x tu xx txx a 为小弦段在纵向的加速度 g s M M s x T y xx x T 第二章第二章 三类典型的偏微分方程三类典型的偏微分方程22222uuagtx一维波动方程一维波动方程2Ta 令：令：-非齐次方程非齐次方程自由项自由项22222uuatx-齐次方程齐次方程忽略重力作用：忽略重力作用：2222( , )( , )u x tTux tgtxa 就是弦的振动传播速度就是弦的振动传播速度第二章第二章 三类典型的偏微分方程三类典型的偏微分方程假设外力在假设外力在 处外力密度为：处外力密度为： 方向垂直于方向垂直于 轴。轴。x( , )F x tx22(, )

7、( , )( , )( , )xxxu xx tu x tu x tTxgxFt dxxxt 等号两边用中值定理：并令等号两边用中值定理：并令0 x 2222( , )( , )( , )u x tu x tTgF x txt 22222( , )uuagf x ttx( , )( , )F x tf x t为单位质量在为单位质量在 点处所受外力。点处所受外力。x当存在外力作用时：当存在外力作用时：等号两边除以等号两边除以第二章第二章 三类典型的偏微分方程三类典型的偏微分方程 弦振动方程中只含有两个自变量：弦振动方程中只含有两个自变量： 。由于它描写的是。由于它描写的是弦的振动，因而它又称为弦

8、的振动，因而它又称为一维波动方程一维波动方程。类似可以导出二维波。类似可以导出二维波动方程（如膜振动）和三维波动方程，它们的形式分别为：动方程（如膜振动）和三维波动方程，它们的形式分别为：, x t2222222( , , )uuuaf x y ttxy222222222( , , , )uuuuaf x y z ttxyz二维波动方程：二维波动方程：三维波动方程：三维波动方程：第二章第二章 三类典型的偏微分方程三类典型的偏微分方程 建立数学物理方程是一个辩证分析的过程。建立数学物理方程是一个辩证分析的过程。由于客观事物的复杂性，要求对所研究的对象由于客观事物的复杂性，要求对所研究的对象能够抓

9、住事物发展的主要因素，摈弃次要因素，能够抓住事物发展的主要因素，摈弃次要因素，使问题得到适度的简化。使问题得到适度的简化。 总结：总结：第二章第二章 三类典型的偏微分方程三类典型的偏微分方程 均匀杆的纵振动均匀杆的纵振动 考虑一考虑一均匀细杆均匀细杆，沿杆长方向作，沿杆长方向作微小微小振动。假设在垂直振动。假设在垂直杆长方向的任一截面上各点的振动情况杆长方向的任一截面上各点的振动情况(即偏移平衡位置位即偏移平衡位置位移移)完全相同。试写出杆的振动方程。完全相同。试写出杆的振动方程。在任一时刻在任一时刻t，此截面相对于平衡位置的位移为，此截面相对于平衡位置的位移为u(x, t)。在杆中隔离出一小

10、段在杆中隔离出一小段(x, x + dx)，分析受力：，分析受力：第二章第二章 三类典型的偏微分方程三类典型的偏微分方程通过截面通过截面x，受到弹性力，受到弹性力P(x,t)S的作用的作用通过截面通过截面x + dx受到弹性力受到弹性力P(x + dx, t)S的作用的作用P(x, t)为单位面积所受的弹性力为单位面积所受的弹性力(应力应力)，沿，沿x方向为正方向为正根据根据Newton第二定律，就得到：第二定律，就得到：22(, )( , )uP x dx tP x t SSdxtuPEx根据胡克定律根据胡克定律22uPtx22220uEutxEa令：222220uuatx第二章第二章 三类

11、典型的偏微分方程三类典型的偏微分方程 静止空气中一维微小压力波的传播静止空气中一维微小压力波的传播2 01 uutxxuuputxxpa 设设为空气的密度，为空气的密度，u u为压力诱导的速度，由一维欧拉方程：为压力诱导的速度，由一维欧拉方程：动力学方程动力学方程连续性方程连续性方程物态方程物态方程考虑到微小压力波，考虑到微小压力波，u u 是一阶小量，是一阶小量， 是二阶小量是二阶小量uuuxx和1 uuptxtx ，第二章第二章 三类典型的偏微分方程三类典型的偏微分方程utx 21pptptat1uptx 代入代入21upxat 得得对对t t求导，得求导，得22221upx tat 利用

12、利用22222ppatx得得一维声波方程。一维声波方程。第二章第二章 三类典型的偏微分方程三类典型的偏微分方程222222222ppppatxyz 静止空气中三维声波方程静止空气中三维声波方程 微幅水波动方程微幅水波动方程22222),(),(xtxattx式中：式中： gHa 水面水面波高波高为为 pa为声波速度为声波速度 水波水波速度速度为为第二章第二章 三类典型的偏微分方程三类典型的偏微分方程2.2 扩散方程扩散方程 问题问题：一根长为：一根长为l 的的均匀导热均匀导热细杆，截面为一个单位细杆，截面为一个单位面积。面积。侧面绝热侧面绝热，内部无热源内部无热源。其热传导系数为。其热传导系数

13、为k，比热，比热为为c，线密度为，线密度为。求杆内温度变化的规律。求杆内温度变化的规律。 1x2xAB一维热传导方程的推导一维热传导方程的推导热传导现象热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有热量从高温处流向低温处。热量从高温处流向低温处。第二章第二章 三类典型的偏微分方程三类典型的偏微分方程所要研究的所要研究的物理量物理量：( , )T x t1x2x( , )T x t分析分析：设杆长方向为：设杆长方向为 x 轴，考虑杆上从轴，考虑杆上从到到的一段的一段(代表代表)，设杆中温度分布为设杆中温度分布为2112t tt ttt t 热量 热量通过

14、边界的流入量满足满足的物理规律：的物理规律：均匀物体均匀物体：物体的物体的密度密度为常数为常数各向同性各向同性： 物体的物体的比热和热传导系数比热和热传导系数均为常数均为常数假设假设条件：条件：第二章第二章 三类典型的偏微分方程三类典型的偏微分方程利用利用 Fourier 热力学定律热力学定律和和能量守恒定律能量守恒定律来建立来建立热传导方程。热传导方程。 由由 Fourier 热力学定律热力学定律，单位时间内通过，单位时间内通过 A 端端面的热量为：面的热量为：22(, )xT x tQk Tkx 单位时间内通过单位时间内通过 B 端面的热量为：端面的热量为：11( , )xT x tQk

15、Tkx 第二章第二章 三类典型的偏微分方程三类典型的偏微分方程在在 dt 时段内通过微元的两端流入的热量时段内通过微元的两端流入的热量 12211(, )( , )()()xxT x tT x tdQQQdtkdtxx2122( , )xxT x tkdxdtx12 , t t2211212( , )t xt xT x tQkdxdtx1( , )T x t在任意时段在任意时段内，内，同时在此时段内同时在此时段内, 微元内各点的温度由微元内各点的温度由流入微元的热量流入微元的热量 升高为升高为 2( , )T x t第二章第二章 三类典型的偏微分方程三类典型的偏微分方程21221 ( , )(

16、 , )xxQcT x tT x tdx2211( , )t xt xT x tcdxdtt12QQ12 , t t12 ,x x22TTcktx为此所需的热量为为此所需的热量为由由能量守恒定律能量守恒定律可得：可得： 由由和和的任意性可得的任意性可得第二章第二章 三类典型的偏微分方程三类典型的偏微分方程222TTatx2kac即：即：其中其中 内部有热源的情况：内部有热源的情况：22( , )TTckF x ttx( , ),F x tf x tc222,TTaf x ttx其中其中 分析分析：设热源强度：设热源强度(单位时间在单位长度中产生的热量单位时间在单位长度中产生的热量)为为F(x,

17、t)，代表段的吸热为，代表段的吸热为Fdxdt。 22113( , )t xt xQF x t dxdt第二章第二章 三类典型的偏微分方程三类典型的偏微分方程根据热学中的根据热学中的傅立叶定律傅立叶定律在在dt时间内从时间内从dS流入流入V的热量为：的热量为：从时刻从时刻t1到到t2通过通过S流入流入V的热量为的热量为 211ddttSQk TSt高斯公式高斯公式（矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分）（矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分） 2121d dttVQkT V t dd dTQkS tn d dkT nS td dk TS t 热场热场MSSVn 三维热传导方

18、程的推导三维热传导方程的推导第二章第二章 三类典型的偏微分方程三类典型的偏微分方程2121d dttVQkT V t 1( , , , )T x y z t2( , , , )T x y z t221( , , , )( , , , ) dVQcT x y z tT x y z tV21QQ 流入的热量导致流入的热量导致V V 内的温度发生变化内的温度发生变化 22112d dd dttttVVTkT V tcV tt 2TkTct2TkTtc22TaTft流入的热量：流入的热量：温度发生变化需要的热量为：温度发生变化需要的热量为：21d dttVTct Vt21d dttVTcV tt 22

19、aT三维热传导方程三维热传导方程热场热场MSSVn有热源三维热传导方程有热源三维热传导方程213d dttVQF V t 第二章第二章 三类典型的偏微分方程三类典型的偏微分方程22,CCF x ttx 一维浓度扩散方程一维浓度扩散方程 动量输运方程动量输运方程22uufxtxC为物质浓度，为物质浓度，为扩散系数。为扩散系数。 u为速度，为速度，fx为流体体积力，为流体体积力， 为流体粘性系数。为流体粘性系数。 显然，热传导、物质扩散、动量输运这些过程属于同显然，热传导、物质扩散、动量输运这些过程属于同一类物理现象，可用一类物理现象，可用同一类型方程同一类型方程来描述。来描述。 第二章第二章 三

20、类典型的偏微分方程三类典型的偏微分方程2.3 稳态方程稳态方程(调和方程调和方程) 稳态问题也是自然界中普遍存在的一类物理现象，稳态问题也是自然界中普遍存在的一类物理现象，表征物理过程达到平衡状态的情况，因此物理量不随时表征物理过程达到平衡状态的情况，因此物理量不随时间变化，但随空间发生变化。因此，稳态问题描述物理间变化，但随空间发生变化。因此，稳态问题描述物理量的空间分布状态或场的空间分布。量的空间分布状态或场的空间分布。 热传导问题，控制方程为：热传导问题，控制方程为： 2222222( , , , )TTTTaf x y z ttxyz设场内热源为稳态的，即为设场内热源为稳态的，即为 f(x, y, z) 流场温度不随时间变化，即流场温度不随时间变化，即T=T( x, y, z )