弯曲切应力--材料力学

1、本次课基本要求本次课基本要求1、掌握弯曲切应力的一般表达式；掌握弯曲切应力的一般表达式；2 2、熟悉几种典型截面的切应力分布特征；、熟悉几种典型截面的切应力分布特征；4 4、了解薄壁梁横截面上切应力流的特征。、了解薄壁梁横截面上切应力流的特征。3 3、会计算实心截面梁的最大切应力；、会计算实心截面梁的最大切应力；弯曲切应力弯曲切应力 当杆件的横截面上作用有剪力当杆件的横截面上作用有剪力F FSySy或或F FSzSz时，时，与之相对应的切应力称为弯曲切应力，它们与与之相对应的切应力称为弯曲切应力，它们与由弯矩引起的正应力同时存在，且构成平衡力由弯矩引起的正应力同时存在，且构成平衡力系。系。s

2、在有剪力存在的情形下，弯曲正应力在有剪力存在的情形下，弯曲正应力公式依然成立公式依然成立s沿截面宽度方向切应力均匀分布沿截面宽度方向切应力均匀分布 在上述前提下，可由平衡直接确定横截面在上述前提下，可由平衡直接确定横截面上的切应力，而无须应用上的切应力，而无须应用“平衡，变形协调和平衡，变形协调和物性关系物性关系”。zMyI前前 提提 对于薄壁截面，与剪力相对应的切应力具对于薄壁截面，与剪力相对应的切应力具有下列显著特征：有下列显著特征：1 1、若杆件表面无切向力作用，则薄壁截面上的、若杆件表面无切向力作用，则薄壁截面上的切应力作用线必平行于截面周边的切线方向，切应力作用线必平行于截面周边的切

3、线方向，并形成并形成“切应力流切应力流”。2 2、由于壁很薄，切应力沿壁厚方向可视为均匀、由于壁很薄，切应力沿壁厚方向可视为均匀分布。分布。切应力流切应力流切应力流切应力流sss切应力流切应力流sss Fx=0FNx*+d FNx*-FNx*+ ( d x)=0+ ( d x)=0FNx*+d FNx*-FNx*其中其中FNx* xdAA *FNx*+d FNx*= ( x+d x)dAA * x=Mz yIz, Sz= ydAA *平衡方程与切应力表达式平衡方程与切应力表达式平衡方程与切应力表达式平衡方程与切应力表达式 = =FSSz* Iz弯曲切应力的一般表达式弯曲切应力的一般表达式 几种

4、典型截面梁的弯曲切应力几种典型截面梁的弯曲切应力实心截面梁的弯曲切应力实心截面梁的弯曲切应力h/2h/2byyc*A*223222412312418)(hybhFbhbhybhFbISFySSzzS矩形截面矩形截面222418242hybhyhyhbyASCz实心截面梁的弯曲切应力实心截面梁的弯曲切应力 max=32FSbh在中性轴上在中性轴上 224123hybhFyS)( h/2h/2byyc*A*矩形截面矩形截面实心截面梁的弯曲切应力实心截面梁的弯曲切应力实心截面梁的弯曲切应力误差分析实心截面梁的弯曲切应力误差分析FS Sz* Iz圆截面圆截面 max=43FSA实心截面梁的弯曲切应力实

5、心截面梁的弯曲切应力在中性轴上在中性轴上d/2dAdyy2/3222/222/43242yddyydyydASdydyz22134)(dyAFyS max= 2.0FSA圆环截面圆环截面圆环圆环截面梁的弯曲切应力截面梁的弯曲切应力在中性轴上在中性轴上dD422dDA其中工字钢截面工字钢截面b1( Iz/S* ) max=FSzmax工字钢工字钢截面梁的弯曲切应力截面梁的弯曲切应力b b1 1腹板厚度腹板厚度 如上所述，最大切应力通常发生在中性轴上各如上所述，最大切应力通常发生在中性轴上各点处，而该处的弯曲正应力为零，因此最大弯曲剪点处，而该处的弯曲正应力为零，因此最大弯曲剪应力作用点处于纯剪应

6、力状态，而相应的强度条件应力作用点处于纯剪应力状态，而相应的强度条件则为则为maxmaxmax SzzF SI b对于等截面直梁，其对于等截面直梁，其弯曲切应力强度条件弯曲切应力强度条件为为maxmaxmax SzzFSI b实心截面梁正应力与切应力比较实心截面梁正应力与切应力比较 max=FplWzFpSz max max=b Imax对于直径为对于直径为 d 的圆截面的圆截面maxmax = 6 ( l / d )实心截面梁正应力与切应力比较实心截面梁正应力与切应力比较maxmax = 4 ( l / h )实心截面梁正应力与切应力比较实心截面梁正应力与切应力比较例例1：矩形截面梁如图，已

7、知：矩形截面梁如图，已知 l=3m，h=160mm，b=100mm，h1=40mm，F=3kN，求求m-m截面上截面上K点点的切应力。的切应力。 y F F A B z K h1 h bl/3l/3l/3mm3kNFS：+-3kN解：解：作剪力图得作剪力图得m-m截面上的剪力截面上的剪力FS=3kN44331034. 01216. 01 . 012mbhIzA*y03301024006004010myASz .例例1：矩形截面梁如图，已知：矩形截面梁如图，已知 l=3m，h=160mm，b=100mm，h1=40mm，F=3kN，求求m-m截面上截面上K点点的切应力。的切应力。4410340m

8、Iz . y F F A B z K h1 h bl/3l/3l/3mmA*y03310240mSz .3kNFS：+-3kNMPa210Pa102101010340102401036433. bISFzzSK q =10kN/m A B 1m 50 例例2 2：计算此梁内的最大正应力和最大切应力，：计算此梁内的最大正应力和最大切应力，并指出它们发生于何处。并指出它们发生于何处。FRA=5kNFRB =5kN解：解：Mmax= ql2/8 =1.25kNmFSmax=5kN最大正应力最大正应力：m axm ax331.25101020.0532zMWM P a最大正应力发生在跨中截面上最大正应

9、力发生在跨中截面上竖直直径的上、下端点上。竖直直径的上、下端点上。例例2：计算此梁内的最大正应力和最大切应力，并指出它们：计算此梁内的最大正应力和最大切应力，并指出它们发生于何处。发生于何处。 10kN/m A B 5kN 剪力图: + - 5kN 1.25kN.m + 弯矩图: Mmax= ql2/8 = 1.25kNmFSmax=5kN最大切应力：最大切应力：max232434 5 103.430.025SFRMPa 最大切应力发生在最大切应力发生在A、B截面的中性轴上。截面的中性轴上。例例2 2：计算此梁内的最大正应力和最大切应力，并：计算此梁内的最大正应力和最大切应力，并指出它们发生于

10、何处。指出它们发生于何处。 10kN/m A B 5kN 剪力图: + - 5kN 1.25kN.m + 弯矩图: 24KN 9KN 30 A B C y1 z 80 0.3m 0.3m 0.2m y2 30 110 例例3：一对称：一对称 字形截面的外伸梁如图，字形截面的外伸梁如图，y1=72mm，y2=38mm，求梁中横截面上的最大切应力，求梁中横截面上的最大切应力。9kN9kN15kN+-+FS解：作剪力图解：作剪力图|FSmax|=15kNIz=573cm41max112430.778 10zcySAyb ymyc1A*34maxmaxmax815 100.778 106.79573

11、100.03SzzFSMPaI b 6kN/m 30kN A B C D No.22a 2m 3m 3m FB=29kNFD=13kN例例4：求此梁上横截面上的最大正应力和最大切应力。：求此梁上横截面上的最大正应力和最大切应力。查型钢表：查型钢表：Wz=309cm3，b=7.5mm，Iz/Szmax=18.9cm+-17kN12kN13kN剪力图剪力图：弯矩图弯矩图：12kNm+-39kNm 6kN/m 30kN A B C D No.22a 2m 3m 3m 29kN 13kN 解：解：|Mz|max=39kNm|FS|max=17kN查型钢表：查型钢表：Wz=309cm3，b=7.5mm，

12、Iz/Szmax=18.9cm3maxmax339 100.309 10126zMWMPa 6kN/m 30kN A B C D No.22a 2m 3m 3m 29kN 13kN |Mz|max=39kNm|FS|max=17kN查型钢表：查型钢表：Wz=309cm3，b=7.5mm，Iz/Szmax=18.9cmmaxmaxmax33317107.51018.91012SzzFbISMPa例例4：求此梁上横截面上的最大正应力和最大切应力。：求此梁上横截面上的最大正应力和最大切应力。例例5：已知形心主惯性矩：已知形心主惯性矩Iz=39800cm4，求，求（1）梁的最大拉应力和最大压应力及其所

13、在位置；）梁的最大拉应力和最大压应力及其所在位置；（2）若该梁是由两个矩形截面的厚板条沿图示截面）若该梁是由两个矩形截面的厚板条沿图示截面上的上的ab线（实际是一水平面）胶合而成，为保证该线（实际是一水平面）胶合而成，为保证该梁的胶合连接强度，水平胶合面上的许用剪应力值梁的胶合连接强度，水平胶合面上的许用剪应力值是多少？是多少？ 18kN 12kN q=3kN/m A B C D 3m 3m 6m 80200300148.550zyab（1）求梁的最大拉）求梁的最大拉应力和最大压应力及应力和最大压应力及其所在位置其所在位置.12kN22kN4kN14kN+-FS图：图：+-32.68kN.m3

14、6kN.mM图：图：解：作剪力图弯矩图解：作剪力图弯矩图 最大拉应力发生在最大最大拉应力发生在最大负弯矩截面的上边缘各点；负弯矩截面的上边缘各点；最大压应力发生在最大正弯最大压应力发生在最大正弯矩截面的上边缘各点。矩截面的上边缘各点。 18kN 12kN q=3kN/m A B C D 3m 3m 6m 80200300148.550zyabIz=39800cm4（1）求梁的最大拉）求梁的最大拉应力和最大压应力及应力和最大压应力及其所在位置其所在位置.12KN22kN4kN14kN+-FS图：图：maxmaxmax33836 10201.5 1039800 1016.5MPazMyI+-32.

15、68kN.m36kN.mM图：图： 18kN 12kN q=3kN/m A B C D 3m 3m 6m 80200300148.550zyabIz=39800cm4（1）求梁的最大拉）求梁的最大拉应力和最大压应力及应力和最大压应力及其所在位置其所在位置.12KN22kN4kN14kN+-FS图：图：maxmaxmax33832.68 10201.5 1039800 1015MPazMyI+-32.68kN.m36kN.mM图：图： 18kN 12kN q=3kN/m A B C D 3m 3m 6m 80200300148.550zyabIz=39800cm412kN22kN4kN14kN+

16、-FS图：图：（2）求水平胶合面上的）求水平胶合面上的许用剪应力值许用剪应力值 最大剪力发生在最大剪力发生在C截截面左侧，面左侧，FSmax=22kN，b1=80mm，b2=200mm，320 5 12.351235abScm *36max8122 101235 100.08 39800 100.85MPaSababzFSb I上 18kN 12kN q=3kN/m A B C D 3m 3m 6m 80200300148.550zyabIz=39800cm4+-32.68kN.m36kN.mM图：图：12kN22kN4kN14kN+-FS图：图：（2）求水平胶合面上的）求水平胶合面上的许用剪

17、应力值许用剪应力值 最大剪力发生在最大剪力发生在C截截面左侧，面左侧，FSmax=22kN，b1=80mm，b2=200mm，320 5 12.351235abScm 18kN 12kN q=3kN/m A B C D 3m 3m 6m 80200300148.550zyabIz=39800cm4*36max8222 101235 100.2 39800 100.34MPaSababzFSb I下+-32.68kN.m36kN.mM图：图： 18KN 12KN q=3KN/m A B C D 3m 3m 6m 80200300148.550zyabIz=39800cm4201.5（2）求水平胶

18、合面上的许用剪应力值）求水平胶合面上的许用剪应力值0.85MPaab上0.34MPaab下所以，水平胶合面上的许用剪应力值所以，水平胶合面上的许用剪应力值 =0.85MPa弯曲中心弯曲中心FaLFFmm 比较矩形截面梁与槽形截面梁比较矩形截面梁与槽形截面梁m-mm-m截面上的剪力有何特点？截面上的剪力有何特点？合力合力 向弯曲中心简化结果向弯曲中心简化结果弯曲中心弯曲中心FFSFFSm=hFTSFFTFThSFm=FSO矩形截面梁：矩形截面梁：平面弯曲平面弯曲 槽形截面梁：剪力的槽形截面梁：剪力的合力不通过截面的形合力不通过截面的形心，而是通过另一点心，而是通过另一点O（弯曲中心）。（弯曲中心

19、）。弯曲中心弯曲中心弯曲中心弯曲中心 确定弯曲中心的位置，常是比较复杂的，但确定弯曲中心的位置，常是比较复杂的，但存在下列规律：存在下列规律： 1 1、具有两个对称轴的截面，二对称轴的交点、具有两个对称轴的截面，二对称轴的交点就是弯曲中心；就是弯曲中心； 2 2、具有一个对称轴的截面，弯曲中心一定、具有一个对称轴的截面，弯曲中心一定位于对称轴上；位于对称轴上； 3 3、开口薄壁截面其中线交于一点时，该交、开口薄壁截面其中线交于一点时，该交点即为弯曲中心。点即为弯曲中心。弯曲中心的位置弯曲中心的位置4.6 4.6 梁的合理设计梁的合理设计目标：目标：1 1、成本最低、成本最低 + + 满足强度满

20、足强度 2 2、强度最高、强度最高 + + 有限成本有限成本途径：途径： 1. 降低降低 Mmax 支座的安排支座的安排载荷的布置载荷的布置更合理更合理maxmaxzWM4.6 4.6 梁的合理设计梁的合理设计5.6 5.6 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施2. 增大增大WWz z 同样面积同样面积 选选 WWz z 大的截面大的截面 截面放置截面放置 使使 WWz z 大的放置大的放置纵向纵向 物体的形状物体的形状或或结构选取结构选取由正应力强度条件：由正应力强度条件：maxmax zMW 当弯矩一定时当弯矩一定时, , 增大增大WWz z和减小截面面积和减小截面面积, , 就能达就能达

21、到提高梁的强度和减轻自重的目的。所以到提高梁的强度和减轻自重的目的。所以WW与其面积与其面积A A之比尽可能地大之比尽可能地大。例如矩形截面梁竖放优于平放。例如矩形截面梁竖放优于平放。提高弯曲强度的措施之一提高弯曲强度的措施之一 局部考虑局部考虑 1.截面的放置截面的放置与与2.同样面积下同样面积下W最大最大常见梁截面的常见梁截面的 Wz/A 值值 Wz/A 的值的值 大与小，哪个好？为什么？大与小，哪个好？为什么？提高弯曲强度的措施之一提高弯曲强度的措施之一 局部考虑局部考虑 又由于又由于W与截面高度及截面面积分布有关，截与截面高度及截面面积分布有关，截面高度愈大、面积分布得离面高度愈大、面

22、积分布得离中性轴中性轴愈远，愈远， W就就愈大。所以若将材料分布到离愈大。所以若将材料分布到离中性轴较远处，就中性轴较远处，就能充分发挥材料的潜力。能充分发挥材料的潜力。 因此，工程中常将实心圆截面梁改为空心圆因此，工程中常将实心圆截面梁改为空心圆截面梁，将矩形截面改为工字形、箱形等。截面梁，将矩形截面改为工字形、箱形等。在选取在选取合理的截面形状时，还应考虑材料的特性合理的截面形状时，还应考虑材料的特性此外，还可选择变截面梁。此外，还可选择变截面梁。3. 3. 截面选择截面选择采用以中性轴对称的截面采用以中性轴对称的截面或或采用不以中性轴对称的截面采用不以中性轴对称的截面（+）（-）（拉应力小）（拉应力小）（+）（-）（压应力小）（压应力小）ct塑性材料塑性材料ct脆性材料脆性材料ct钢筋混凝土钢筋混凝土 提高弯曲强度的措施之二提高弯曲强度的