数值分析Newton-Cotes公式

1、1第二节第二节 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式2 2009, Henan Polytechnic University24.2.1 牛顿牛顿柯特斯柯特斯(Newton-Cotes)求积公式求积公式 nkkkbabaxfAdxxPxxf0)()(d)(中中, ,当所取节点是等距时称为牛顿当所取节点是等距时称为牛顿- -柯特斯公式。柯特斯公式。)()()(0 nkkkxfxlxP bakkdxxlA)(在插值求积公式在插值求积公式其中其中 插值多项式插值多项式 求积系数求积系数 3 2009, Henan Polytechnic University3公式的推导公式的推导

2、设将积分区间设将积分区间 a,b n等分，求积节点为等分，求积节点为那么，那么， 令令x=a+th，则t=(x-a)/h，且由且由 可知可知nkkx0 ,0jhaxbxaxjn nabhnj , 1 , 0, 0nt ,bax 4 2009, Henan Polytechnic University4所以所以nkdtitknknCnnkiiknnk, 0)()!( !)1(100)()( 记：记：Cotes系数系数)(nkCdxxxxxdxxlAbankiiikibakk 0)(dtitknknabnnkiikn 00) )()!( !) 1()( nkhdtthal0)(hdtikitnnk

3、ii 005 2009, Henan Polytechnic University5)()()()(0)(knknkbanbaxfCabdxxLdxxf 且且则有则有：), 2 , 1 , 0()()()(nkCabdxxlAnkbakk Newton-Cotes求积公式求积公式6 2009, Henan Polytechnic University6Cotes系数性质系数性质)()1()()(对称性对称性nknnkCC 1)2(n0k)( nkC几种常用的几种常用的Newton-Cotes求积公式求积公式梯形公式，辛普生公式梯形公式，辛普生公式，Cotes公式公式7 2009, Henan

4、Polytechnic University71. n=1时的梯形求积公式时的梯形求积公式按按Newton-Cotes系数公式计算得系数公式计算得 10)1(110)1(02121) 1(! 1! 011tdtCdttCab10 xxab故求积系数故求积系数A0, A1为为210abAA 8 2009, Henan Polytechnic University8 bafRbfafabdxxf)()(2)()(1记记求积公式为求积公式为)()(2bfafabT 9 2009, Henan Polytechnic University9容易验证梯形公式的代数精确度的次数为容易验证梯形公式的代数精确

5、度的次数为1.1.),()(12)()2(31bafabfR )(! 2)()2(bxaxf 1fR在在 a, b 上积分，可得上积分，可得考虑梯形求积公式的误差估计考虑梯形求积公式的误差估计假定假定 用推广的积分中值定理，将过用推广的积分中值定理，将过(a, f(a), (b, f(b)点的线性插值的余项点的线性插值的余项,)(2baCxf 10 2009, Henan Polytechnic University102. n=2=2时的时的Simpson（抛物线）（抛物线）求积公式求积公式按按Newton-Cotes系数公式可以计算出系数公式可以计算出 210 xxxab 202)2(06

6、1)2)(1(! 2! 02)1(dtttC 201)2(132)2(! 1! 12)1(dtttC 200)2(261)1(!0!22)1(dtttC620abAA )(641abA 11 2009, Henan Polytechnic University11容易验证容易验证Simpson求积公式具有求积公式具有次的代数精确度次的代数精确度余项公式为：余项公式为：),()(2880)()4(52bafabfR babfbafafabdxxf)()2(4)(6)()(所以所以上述公式称为上述公式称为Simpson求积公式求积公式。12 2009, Henan Polytechnic Univ

7、ersity123. . n=4=4时的时的Cotes求积公式求积公式按按Newton-Cotes系数公式可以计算出系数公式可以计算出 ,907,4516,152,4516,907)4(4)4(3)4(2)4(1)4(0 CCCCC)(7)(32)(12)(32)(7(90)(43210 xfxfxfxfxfabdxxfba 由此可得由此可得Cotes求积公式：求积公式：43210 xxxxxab13 2009, Henan Polytechnic University13余项公式为：余项公式为：),()()4(945)(2)6(64bafababfR n阶阶Newton-Cotes求积公式当

8、求积公式当n为偶数时代数精度为为偶数时代数精度为n+114 2009, Henan Polytechnic University14 10sindxxxx00.250.50.751f(x)10.98961580.9588510.90885160.8414709 10sindxxx)1()0(201ff 例：例：分别用梯形公式，辛普生公式和柯特斯公式计算分别用梯形公式，辛普生公式和柯特斯公式计算准确值为准确值为：0.94608310.9460831解解：利用梯形公式可得：利用梯形公式可得：)8414709. 01(21 9207355. 0 15 2009, Henan Polytechnic

9、University15x00.250.50.751f(x)10.98961580.9588510.90885160.8414709)1()5 . 0(4)0(601fff 946146. 0 10sindxxx利用辛普生公式得：利用辛普生公式得：利用柯特斯公式得：利用柯特斯公式得： 10sindxxx)1(7)75. 0(32)5 . 0(12)25. 0(32)0(7(9001fffff 946083. 0 16 2009, Henan Polytechnic University16例例 : : 用辛普森公式和柯特斯公式计算定积分用辛普森公式和柯特斯公式计算定积分 3123d)572(x

10、xxx的近似值的近似值, ,并估计其误差并估计其误差( (计算结果取计算结果取5 5位小数位小数) ) 解解: : 辛普森公式辛普森公式 S )(24)(6bfbafafab 25941613 3220362 17 2009, Henan Polytechnic University17由辛普森公式余项由辛普森公式余项 bafabfR,),(2880)()4(5 知其误差为知其误差为 0 fR由于由于 572)(23 xxxxf0)()4( xf18 2009, Henan Polytechnic University18柯特斯公式柯特斯公式 误差为误差为 0)( fRC )3(7)5 . 2

11、(32)2(12)5 . 1(32)1(79013fffff 978125329128353274513220 该定积分的准确值该定积分的准确值 3220 I19 2009, Henan Polytechnic University19 这个例子告诉我们，对于同一个积分，当这个例子告诉我们，对于同一个积分，当n2时，公式却是精确的，这是由于辛普森公式具有三时，公式却是精确的，这是由于辛普森公式具有三次代数精度，柯特斯公式具有五次代数精度，它们次代数精度，柯特斯公式具有五次代数精度，它们对被积函数为三次多项式当然是精确成立的。对被积函数为三次多项式当然是精确成立的。 20 2009, Henan

12、 Polytechnic University20 误差与区间长度有关，区间长度越长，误差误差与区间长度有关，区间长度越长，误差越大。越大。 利用积分区间可加性，将较长区间分成若利用积分区间可加性，将较长区间分成若干个小区间，在每个小区间上分别应用干个小区间，在每个小区间上分别应用Newton-Cotes求积公式，再相加，即可得到复化的积分求积公式，再相加，即可得到复化的积分公式。公式。4.2.2 复化求积公式及其收敛性复化求积公式及其收敛性21 2009, Henan Polytechnic University21bxxxxaban 210,上成立：上成立：设在设在 bankxxkkdxx

13、fdxxf11)()(则则2 nx2x0 xnx1x1 nx3xkhxxnabhbaxkk 0,称称为为步步长长这这时时上上等等距距离离的的分分布布在在为为简简单单起起见见，取取22 2009, Henan Polytechnic University22常用复化求积公式常用复化求积公式 1.1. 复化梯形公式复化梯形公式2 2. . 复化辛普生公式复化辛普生公式3 3. . 复化柯特斯公式复化柯特斯公式 23 2009, Henan Polytechnic University231.1.复化梯形公式复化梯形公式 上上应应用用梯梯形形公公式式得得：在在每每个个小小区区间间,1kkxx kkx

14、xkkxfxfhdxxf1)()(2)(1 bankxxkkdxxfdxxf11)()(则则 nkkkxfxfh11)()(224 2009, Henan Polytechnic University241 nx2 nx3x2x1x2h )()(2)(2110 nknkxfxfxfh )()(2)(2110 nknknxfxfxfhT复化梯形公式复化梯形公式 nkkkbankxxxfxfhdxxfdxxfkk111)()(2)()(1则则)()(10 xfxf )()(21xfxf )()(32xfxf )()(12 nnxfxf)()(1nnxfxf 2 nx2x0 xnx1x1 nx3x2

15、5 2009, Henan Polytechnic University25复化梯形公式（单击播放）复化梯形公式（单击播放）26 2009, Henan Polytechnic University262.2.复化辛普生（抛物线）公式复化辛普生（抛物线）公式 上上应应用用辛辛普普生生公公式式得得：在在每每个个小小区区间间,1kkxx kkxxkkkxfxfxfhdxxf1)()(4)(6)(211 bankxxkkdxxfdxxf11)()(则则)21(021hkxxk nkkkkxfxfxfh1211)()(4)(627 2009, Henan Polytechnic University2

16、71 nx2 nx3x2x1x6h )()(4)(2)(6111210 nknnkkkxfxfxfxfh)()(4)(12110 xfxfxf nkkkkbaxfxfxfhxf1211)()(4)(6)(则则)()(4)(22121xfxfxf )()(4)(32132xfxfxf )()(4)(12112 nnnxfxfxf)()(4)(211nnnxfxfxf 2 nx2x0 xnx1x1 nx3x28 2009, Henan Polytechnic University28复化辛普生（抛物线）公式复化辛普生（抛物线）公式 )()(4)(2)(6111210 nknnkkknxfxfxfx

17、fhS29 2009, Henan Polytechnic University29复化辛普生（抛物线）（单击播放）复化辛普生（抛物线）（单击播放）30 2009, Henan Polytechnic University303.3.复化柯特斯公式复化柯特斯公式 仿照同样的方法可得仿照同样的方法可得复化柯特斯公式：复化柯特斯公式： )(7)(14)(32)(12)(32)(790111043102110410nnkknkknkknkknxfxfxfxfxfxfhC 31 2009, Henan Polytechnic University31 10sindxxx8T 10sindxxx(212

18、5. 0 例：例：分别用复化的梯形公式，辛普生公式和柯特斯分别用复化的梯形公式，辛普生公式和柯特斯公式计算公式计算准确值为：准确值为：0.94608310.9460831解：解：利用复化梯形公式可得：利用复化梯形公式可得：x00.1250.250.3750.50.6250.750.8751f(x)10.99739780.98961580.97672670.9588510.93615560.90885160.87719250.8414709)25. 0()125. 0(ff 9456909. 0 2)0( f)75. 0()625. 0()5 . 0()375. 0(ffff )1()875.

19、0(ff 32 2009, Henan Polytechnic University32 10sindxxx4S (625. 0 准确值为：准确值为：0.94608310.9460831利用复化辛普生公式得：利用复化辛普生公式得：x00.1250.250.3750.50.6250.750.8751f(x)10.99739780.98961580.97672670.9588510.93615560.90885160.87719250.8414709)0(f)875. 0()625. 0()375. 0()125. 0(ffff )1()75. 0()5 . 0()25. 0(ffff 94608

20、32. 0 2 4 33 2009, Henan Polytechnic University33 10sindxxx利用复化柯特斯公式得：利用复化柯特斯公式得：x00.1250.250.3750.50.6250.750.8751f(x)10.99739780.98961580.97672670.9588510.93615560.90885160.87719250.84147092C 905 . 0 32)0(7( f)625. 0()125. 0(ff 12)5 . 0( f)75. 0()25. 0(ff )1(7)875. 0()375. 0(fff 14 32 946083012. 0

21、 准确值为：准确值为：0.94608310.946083134 2009, Henan Polytechnic University34 比较上面复化求积公式结果，它们都需要提供比较上面复化求积公式结果，它们都需要提供9 9个点上的函数值，计算量基本相同，然而精度却差个点上的函数值，计算量基本相同，然而精度却差别很大，同积分的准确值比较，复化梯形法的结果别很大，同积分的准确值比较，复化梯形法的结果只有三位有效数字，而复化辛普生法的结果却有六只有三位有效数字，而复化辛普生法的结果却有六位有效数字。下面我们考察复化求积公式的截断误位有效数字。下面我们考察复化求积公式的截断误差。差。 35 2009, Henan Polytechnic Un