微分方程应用3

1、常微分方程应用学校代码： 学 号： 结课论文题 目： 常微分方程应用学生姓名： 学 号： 班 级： 2014年 11月 13日目 录摘要21 引 言32 常微分方程模型32.1 建立常微分方程模型的方法和步骤32.2 建立微分方程模型的一般准则42.3 数学建模的方法与步骤53 常微分方程模型示例63.1 红绿灯问题63.2广告模型84 总 结11参考文献12摘要 常微分方程是在17世纪伴随着微积分而发展起来的一门具有重要应用价值的学科.它是研究连续量变化规律的重要工具，是众多实际问题与数学之间联系的重要桥梁.在历史上，牛顿正是通过求解常微分方程证实了地球绕太阳运动的轨道是椭圆；天文学家通过常

2、微分方程的计算，预见了海王星的存在.随着工业化的进展，常微分方程在航海、航空工业生产以及自然科学的研究中发挥了重要作用.计算机和计算技术的发展,使微分方程的求解突破了经典方法的局限,迈向数值计算和图像模拟,这为微分方程的应用提供了更为广阔的天地和有效手段,也使得建立数学模型显得尤为重要.本文主要从红绿灯问题、广告模型来论述常微分方程在数学建模中的应用。关键字：常微分方程；数学建模；红绿灯问题；广告模型；一、 引言常微分方程的形成与发展和很多学科有着密切的联系，例如力学、天文学、物理学等.数学的其他分支的快速发展，产生出很多新兴学科，这些新兴学科的产生都对常微分方程的发展有着深刻的影响，而且当前

3、计算机的快速发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具.数学解决实际问题就必须建立模型，而数学建模就是把数学语言描述实际现象的过程.利用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分重要的一步，但是也是最困难的一步.建立数学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程.要通过大量调查、收集相关数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题.因此本文先简要介绍了如何建立微分方程模型，并通过具体的实例来简单地介绍了微分方程在数学建模中的应用.二、 常微分方程模型2.1 建

4、立常微分方程模型的方法和步骤微分方程模型的特点是反映客观现实世界中量与量的变化关系，往往与时间有关是一个动态(力)系统构造常微分方程的数学模型有如下几种方法：1） 运用已知的基本定律或基本公式建立常微分方程模型主要利用各学科中已知的定理或定律来建立的.如力学中的牛顿第二运动定律，万有引力定律，弹性形变中的虎克定律，拆里定律，阿基米德原理，放射性问题中的衰变率，人口问题中的增长率等2）利用导数的定义建立微分方程模型在微积分中导数是一个重要概念，其定义为如果函数是可微的，那么就可解释为相对于在该点的瞬时变化率。把导数解释为瞬时变化率在很多建模应用问题中都有用3）利用微元法建立常微分方程模型这种方法

5、主要是通过寻求微元之间的关系式，直接对函数运用有关定律建立模型利用微元法来建立常微分方程模型，其步骤是：根据问题的具体情况，选取一个自变量，并确定其变化区间为；在区间中任意选取一个任意小的区间记作，求出相应于这个区间的部分量的近似值将近似的表示为一个连续函数在处的值与的乘积，即，记，称为量的微元等式两边同时积分就可以求出要求的量了这种方法经常被应用于在空间解析几何上可以用微元法求曲线的弧长、平面图形的面积、旋转曲面的面积、旋转体体积；代数方面求近似值以及流体混合问题；物理上求变力做功、压力、静力矩与重心4）模拟近似对于规律或现象不很清楚，比较复杂的实际问题，常用模拟近似法来建立常微分方程模型这

6、类模型一般要做一些合理假设，将要研究的问题突出出来2.2 建立微分方程模型的一般准则在建立微分方程的时候，所要求的其实是微分方程的一条解曲线，通过它来反映某些我们所要寻求的规律微分方程曲线思想是，如果知道曲线上每一点处的导数以及它的起始点，那么就能构造这条曲线(1)转化翻译：有许多表示导数的常用词，如速率、增长、衰变、边际、弹性等改变、变化、增加、减少这些词可能是一种暗示信号，只需弄清楚什么在变，随什么而变，这时也许导数就用得上(2)机理分析：将所研究的问题看成一个封闭和系统，思考研究的问题是否遵循什么原理或物理定律，是应该用已知的定律还是去推导问题的合适结果在不知道问题的机理时，合理的想象和

7、类比是很重要的 不少问题都遵循下面的平衡式：净变化率输入率-输出率如果当这个平衡式出现的时候我们能理解它，并且能使用正确的物理量纲，或许就得到了需要的微分方程(3)微分方程模型：微分方程是在任何时刻必须正确的瞬时表达式如看到了表示导数的关键词，就要寻找与, 的关系首先将注意力集中在文字形式的总关系式上，如“速率=输入-输出”。写出这些关系式，然后准确填好式中的所有项 (4)单位：一旦确定了哪些项应该列入微分方程中，就要确保每一项都采用同样的物理单位，保证式子的平衡(5)定解条件：系统在某一特定时刻的信息，独立于微分方程而成立，利用它们来确定有关的常数。2.3 数学建模的方法与步骤数学模型因问题

8、不同而异，建立数学模型也没有固定的格式和标准，甚至对同一个问题，不同角度，不同要求出发，可以建立起不同的数学模型，因此，与其说数学建模是一门技术，不如说是一门艺术它需要熟练地数学技巧，丰富的想象力和敏锐的洞察力，需要大量阅读，思考别人做的模型，数学建模注重的是建模的方法和过程，一般的建模方法和步骤如下：1.模型准备如果想对某个实际问题进行数学建模，通常要先了解该问题的实际背景和建模目的，尽量弄清楚要建模的问题属于哪类学科，对该问题进行全面的，深入细致的调查和研究2.模型假设要想把实际问题变为数学问题，需要抓住主要因素，暂不考虑或忽略次要因素，对其进行必要的、合理的简化和假设3.模型建立有了模型

9、假设，就可以选择适当的数学工具并根据已有的知识和搜集的信息来描述变量之间的关系或其他数学结构在建模时有几点是需要注意的：分清变量类型，恰当使用数学工具如果实际问题中的变量时确定性变量抓住问题的本质，简化变量之间的关系模型尽可能简单要侧重于实际应用建模要有严密的推理在己定的假设下，建模过程中推理一定要严密，以保证模型的正确性，否则会造成模型错误，前功尽弃建模要有足够的精确度，所建模型应能够满足实际问题对精度的具体要求4.模型求解在已经建立起来的数学模型中可采用解方程、推理、图解、定理证明等各种传统和现代的数学方法进行求解，其中有些工作可以用计算机软件来完成如Mathlab，Mathematic等

10、5.模型检验在求得模型的解之后，需要对模型进行分析和检验模型分析主要包括误差分析、模型对数据的稳定性分析和灵敏度分析等模型检验是将所得结果的理论数值与实际数值相比较，如果两者相符，则说明所建模型是成功的；否则需要对所建模型进行修改。6.模型应用利用建模中获得的正确模型对研究的实际问题给出预报或对类似实际问题进行分析、解释和预报供决策者参考，这一过程称为模型应用一般来说，建模是预测的基础，而预测又是决策与控制的前提现实问题求解模型检验模型应用模型简化假设建立模型观察、分析确定主要因素收集数据及其相互关系数字工具解释、预测 图1 建立数学模型的步骤框图三 常微分方程模型示例建立微分方程模型就是把物

11、理、化学、生物科学、工程科学和社会科学中的规律和原理用含有待定函数的导数或微分的数学关系式表示出来下面一些微分方程模型在实际生活中的应用3.1红绿灯问题在十字路口的交通管理中，亮红灯之前，要亮一段时间的黄灯，这是为了让那些正行驶在十字路口的人注意，告诉他们红灯即将亮起，假如你能够停住，应当马上刹车，以免冲红灯违反交通规则.这里我们不妨想一下：黄灯应当亮多久才比较合适？ 现在，让我们来分析一下这个问题在十字路口行驶的车辆中，交警主要考虑的是机动车辆，因为只要机动车辆能停住，那么非机动车辆自然也应当能停住。驶近交叉路口的驾驶员在看到黄色信号灯后要立即做出决定：是停车还是通过路口如果他决定停车，必须

12、有足够的距离能让他能停得住车也就是说，在街道上存在着一条无形的线，从这条线到街口的距离与此街道的法定速度有关，法定速度越大，此距离也越大当黄灯亮起时车子到路口的距离小于此距离时不能停车，否则会冲出路口大于此距离时必须停车，等于此距离时可以停车也可以通过路口（注：此街道的法定速度由另一问题讨论，制定法定速度的目的是为了最大限度地发挥这一街道的作用）对于那些已经过线而无法停住的车辆，黄灯又必须留下足够的时间使它们能顺利地通过路口根据上述分析，我们确定了求解这一问题的步骤如下：步1. 根据该街道的法定速度求出停车线位置（即停车线到街口的距离）步2. 根据停车线位置及法定速度确定黄灯该亮多久停车线的确

13、定:要确定停车线位置应当考虑到两点(1)驾驶员看到黄灯并决定停车需要一段反应时间，在这段时间里，驾驶员尚未刹车(2)驾驶员刹车后，车还需要继续行驶一段距离，我们把这段距离称为刹车距离 驾驶员的反应时间（实际为平均反应时间）较易得到，可以根据经验或者统计数据求出，交通部门对驾驶员也有一个统一的要求（在考驾照时都必须经过测试）例如，不失一般性，我们可以假设它为1秒。停车时，驾驶员踩动刹车踏板产生一种摩擦力，该摩擦力使汽车减速并最终停下设汽车质量为,刹车摩擦系数为，为刹车后在t时刻内行驶的距离，根据刹车规律，可假设刹车制动力为（为重力加速度）由牛顿第二定律，刹车过程中车辆应满足下列运动方程 (3.3

14、)在方程(3.3)两边同除以并积分一次，并注意到当时，得到 (3.4)刹车时间可这样求得，当时，故将(3.4)再积分一次，得 将代入，即可求得刹车距离为据此可知，停车线到路口的距离应为： 等式右边的第一项为反应时间里驶过的路程，第二项为刹车距离黄灯时间的计算： 在黄灯转为红灯的这段时间里，应当能保证已经过线的车辆顺利地通过街口记街道的宽度为（很容易测得），平均车身长度为，这些车辆应通过的路程最长可达到，因而，为保证过线的车辆全部顺利通过，黄灯持续时间至少应当为： 3.2广告模型在商品销售中，都要靠各种媒体宣传。虽然说“只要是美的，人人喜欢”，“酒香不怕巷子深”，但是人们已越来越认识到广告的作用

15、。本模型就从数学角度探讨广告与销售量的关系，并指出广告在商品的不同销售阶段的差异。无论你是听广播，还是看报纸，或是收看电视，常可看到、听到商品广告。随着社会向现代化的发展，商品广告对企业生产所起的作用越来越得到社会的承认和人们的重视。商品广告确实是调整商品销售量的强有力手段，然而，你是否了解广告与销售之间的内在联系？如何评价不同时期的广告效果？这个问题对于生产企业、对于那些为推销商品作广告的企业极为重要。下面我们介绍独家销售的广告模型。我们假设：1.商品的销售速度会因作广告而增加，但这种增加是有一定限度的，当商品在市场上趋于饱和时，销售速度将趋于它的极限值，当速度达到它的极限值时，无论再作何种

16、形式的广告，销售速度都将减慢。2.自然衰减是销售速度的一种性质，即商品销售速度随商品的销售率增加而减小。3.令表示时刻商品销售速度；A（t）表示时刻广告水平（以费用表示）；M为销售的饱和水平，即市场对商品的最大容纳能力，它表示销售速度的上极限；为衰减因子，即广告作用随时间增加而自然衰减的速度，为常数。问题中涉及的是商品销售速度随时间的变化情况：商品销售速度的变化=增长-自然衰减。为描述商品销售速度的增长，商品销售速度的净增长率应该是商品销售速度的减函数，并且存在一个饱和水平，使得。为简单起见，我们设为的线性减函数，则有其中用表示响应系数，即广告水平对商品销售速度的影响能力，为常数。 因此可建立

17、如下微分方程模型：。从模型方程可知，当或时，都有 为求解该模型，我们选择一个广告策略。在时间段内，用于广告的总费用为，则，代入模型方程有。令，则有。其解为。若令，则。当时，模型为，其通解为，而时，所以。故 。的图形如图3-1所示。 图2 图3四、总结短暂的常微分方程课程的学习，让我对微分方程有了更加深刻的了解，我发现一切数学理论的产生都是为了解决实际应用过程中的问题.而一切数学模型的建立，都是为了更好的指导数学理论在实际生活中的应用.常微分方程的出现、以及常微分方程在数学建模中的应用，就是为了更好地使普通人理解数学理论，并更好的解决实际问题.目前，数学模型己经广泛应用于社会的各个领域，人们追求

18、定量分析和优化决策，这都离不开数学模型数学模型是为了解决现实问题而建立起来的，它能够反映现实，也能够反映现实的内在规律和数量关系数学模型作为一种模型，必须对现象做出一些必要的简化和假设，首先要忽略现实问题中许多与数量无关的因素其次还要忽略一些次要的数量因素，从而在本质上更能集中反映现实问题的数量规律由于建立数学模型可以使用所有的数学工具，现实问题又是多种多样的，所以造成数学模型的种类繁多，本文中主要是应用常微分方程这个数学工具来进行数学建模随着科学技术的发展和社会进步，常微分方程的应用不断扩大和深入而它的每一步进展都在向数学的其他分支提出需求，需要他们提供相应的定理；同时也向其他数学分支提出问题促其完善，最终促使双方的共同发展本文主要通过几个实际问题的数学建模，利用一阶常微分方程、二阶常微分方程的求解技巧来求出模型的结果，并且通过分析这个结果来解释现象或提供最佳方案本文所做的分析只是众多应用中的一个