行列式的定义及应用课件

1、第一章第一章 行列式行列式【主要内容主要内容】二阶和三阶行列式、二阶和三阶行列式、n 阶行列式、行列式性质与计算、阶行列式、行列式性质与计算、克莱默法则。克莱默法则。第一节第一节 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组 .,22221211212111bxaxabxaxa 1 2 :122a ,2212221212211abxaaxaa :212a ,1222221212112abxaaxaa ，得，得两式相减消去两式相减消去2x一、案例引入一、案例引入;212221121122211baabxaaaa ）（;212221121122211baabxa

2、aaa ）（，得，得类似地，消去类似地，消去1x,211211221122211abbaxaaaa ）（时，时，当当021122211 aaaa方程组的解为方程组的解为，211222112122211aaaabaabx ）（3.211222112112112aaaaabbax 由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定. . .,22221211212111bxaxabxaxa 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表称列）的数表)4(22211211aaaa即即.2112221122211211aaaaaaaaD 行行列列)5(422211211

3、21122211aaaaaaaa行行列列式式，并并记记作作）所所确确定定的的二二阶阶称称为为数数表表（表表达达式式 二、二阶行列式定义二、二阶行列式定义11a12a22a12a主对角线主对角线副对角线副对角线二阶行列式的计算二阶行列式的计算若记若记,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式则二元线性方程组的解则二元线性方程组的解,2221121122212111aaaaababDDx 注意注意 分母都为原方程组的系数行列式分母都为原方程组的系数行列式. .2221121122111122aaaaba

4、baDDx ，211222112122211aaaabaabx .211222112112112aaaaabbax 用二阶行列式可表示为用二阶行列式可表示为 .,22221211212111bxaxabxaxa22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababD .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababD .,22221211212111bxaxabxaxa,2211112babaD p . 12,12232121xxxx求

5、解二元线性方程组求解二元线性方程组解解1223 D)4(3 , 07 112121 D,14 121232 D,21 DDx11 , 2714 DDx22 . 3721 例例2 2 在在xOy平面上有一个平行四边形平面上有一个平行四边形OACB, , A,B两点的坐标分别为两点的坐标分别为(a1,b1), (a2,b2), 求其面积求其面积.OExDB (a2,b2)yCA (a1,b1) OACBSAEDCAOECBDOEDBSSSS AEDCOEDBSS 1221baba 2211baba 一般情况一般情况, ,过原点的两个几何向量过原点的两个几何向量 , , ,所构所构成的平行四边形的面

6、积等于成的平行四边形的面积等于A,BA,B两点的代数向量所两点的代数向量所构成的二阶行列式的绝对值构成的二阶行列式的绝对值. .OAOB二、三阶行列式二、三阶行列式333231232221131211)5(339aaaaaaaaa列的数表列的数表行行个数排成个数排成设有设有,312213332112322311322113312312332211)6(aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa（6 6）式称为数表（）式称为数表（5 5）所确定的）所确定的. .333231232221131211aaaaaaaaaD 323122211211aa

7、aaaa .312213332112322311aaaaaaaaa (1)(1)沙路法沙路法三阶行列式的计算三阶行列式的计算322113312312332211aaaaaaaaa D333231232221131211aaaaaaaaaD 333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 注意注意 1.1.红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号说明说明 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式322113aaa 312312aaa 312213aaa

8、332112aaa 2 2. . 三阶行列式包括三阶行列式包括3!3!项项, ,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行, ,不同列的三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积, ,其中三项为正其中三项为正, ,三项为三项为负负. . 如果三元线性方程组如果三元线性方程组 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数行列式的系数行列式333231232221131211aaaaaaaaaD , 0 利用三阶行列式求解三元线性方程组利用三阶行列式求解三元线性方程组333231232221131211aaaaaaaaaD 321bbb,

9、3332323222131211aabaabaabD 即即 如果三元线性方程组如果三元线性方程组 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数行列式的系数行列式333231232221131211aaaaaaaaaD , 0 利用三阶行列式求解三元线性方程组利用三阶行列式求解三元线性方程组 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaaD ;,333323213123232221211313212111bxaxax

10、abxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabaD 得得 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaaD ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabaD 得得 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa.3323122221112113baabaabaaD ,333312

11、3221131112abaabaabaD .3323122221112113baabaabaaD 则三元线性方程组的解为则三元线性方程组的解为: :,11DDx ,22DDx .33DDx 333231232221131211aaaaaaaaaD ,3332323222131211aabaabaabD 2-43-122-4-21D 计算三阶行列式计算三阶行列式按对角线法则，有按对角线法则，有 D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 .14 . 094321112 xx求解方程求解方程方程左端方程左端1229184322 xxxxD, 652

12、xx解得解得由由0652 xx3.2 xx或或例例4 4 解线性方程组解线性方程组 . 0, 132, 22321321321xxxxxxxxx由于方程组的系数行列式由于方程组的系数行列式111312121 D 111 132 121 111 122 131 5 , 0 同理可得同理可得1103111221 D, 5 1013121212 D,10 0111122213 D, 5 故方程组的解为故方程组的解为: :, 111 DDx, 222 DDx. 133 DDx 二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的程组引入的. .对角线法则对角线法则二阶

13、与三阶行列式的计算二阶与三阶行列式的计算.2112221122211211aaaaaaaa ,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa三、小结三、小结第二节第二节 n 阶行列式定义阶行列式定义一、三阶行列式一、三阶行列式,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa 3223332211aaaaa 3321312312aaaaa 3122322113aa

14、aaa 323122211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa 二二.余子式和代数余子式余子式和代数余子式在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作nijaij1 nija.Mij ，记记ijjiijMA 1叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式ija例如例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44424134323114121123aaaaaaaaaM 23

15、32231MA .23M a23 23 的余子式为的余子式为: : a23 23 的代数余子式为的代数余子式为: : ,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ,44434134333124232112aaaaaaaaaM 1221121MA .12M ,33323123222113121144aaaaaaaaaM .144444444MMA .个个代代数数余余子子式式对对应应着着一一个个余余子子式式和和一一行行列列式式的的每每个个元元素素分分别别三、三、n 阶行列式的定义阶行列式的定义,), 2 , 1,(n212222111211

16、n阶阶行行列列式式称称为为竖竖线线的的算算试试，即即并并在在左左、右右两两边边各各加加一一列列行行排排列列成成个个数数由由naaaaaaaaaDnnnjiannnnnnnij定义定义).det(ija简记作简记作的元素的元素称为行列式称为行列式数数)det(ijijaa1111111aaDn 时时）当）当（规定：规定：211222112221121122)2(aaaaaaaaDn 时时当当 njjjnnnAaAaAaAaDn11111121211112)3(时时当当说明说明1、 行列式是一种特定的行列式是一种特定的算式算式，它是根据求解方，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要

17、而程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的定义的;2、 一阶行列式一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆不要与绝对值记号相混淆;aa 例例1 计算行列式的值计算行列式的值.40000300002000011D80006500124043212D.1608541.244321四四.特殊形式行列式特殊形式行列式p(1)上三角行列式上三角行列式: 主主对角线下的元素都为对角线下的元素都为0的行列式的行列式.nnnnaaaaaa00022211211nnaaa2211 p(2)下三角行列式下三角行列式: 主对角线上的元素都为主对角线上的元素都为0的行列式的行列式.11212212300000nnn

18、nnaaaaaaa.2211nnaaa 五五.n阶行列式定义拓展阶行列式定义拓展定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即素与其对应的代数余子式乘积之和，即ininiiiiAaAaAaD 2211 ni, 2 , 1 njnjjjjjAaAaAaD 2211 nj, 2 , 1 这个定理叫做行列式按行这个定理叫做行列式按行( (列列) )展开法则展开法则, ,利用它利用它可对行列式进行降阶计算可对行列式进行降阶计算. .44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 33332

19、3231313AaAaAa 例例2 计算行列式计算行列式0011153200236012 150 0532004140013202527102135 D思考思考:六、行列式定义补充六、行列式定义补充三阶行列式三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 说明说明（1）三阶行列式共有）三阶行列式共有 项，即项，即 项项6!3（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积乘积（3）乘积项一半正的）乘积项一半正的,一半负的一半负的

20、; 每项的正负号都取每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的下标排列决于位于不同行不同列的三个元素的下标排列为这个排列的逆序数为这个排列的逆序数的一个排列，的一个排列，为自然数为自然数其中其中tnpppn2121nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD212121212122221112111pn阶行列式阶行列式（1）n阶行列式共有阶行列式共有 项项!n（2）每项都是位于不同行不同列的）每项都是位于不同行不同列的n个元素的乘积个元素的乘积（3）乘积项一半正的）乘积项一半正的,一半负的一半负的; 每项的正负号都取每项的正负号都取决于位于不同行不同列的决于位于不同

21、行不同列的n个元素的下标排列个元素的下标排列三、小结三、小结3.3.几类特殊的几类特殊的n n阶行列式阶行列式2.2.行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和代数余子式乘积之和1.n1.n阶行列式定义阶行列式定义第三节第三节 行列式的性质行列式的性质一、行列式的性质一、行列式的性质 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等. .行列式行列式 称为行列式称为行列式 的的转置行列式转置行列式. TDD记记nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa D2121nnaaannaaa2112 TDnnaaa2211

22、 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）, ,行列式变号行列式变号. .说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此行列因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.例如例如推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零此行列式为零. .证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 . 0 D,DD ,571571 266853.825825 361567567361266853 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 ，等于用数，

23、等于用数 乘此行列式乘此行列式. .kknnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 行列式的某一行（列）中所有元素的公因行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面子可以提到行列式符号的外面例如例如性质性质行列式中如果有两行（列）元素成比行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零例，则此行列式为零证明证明nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211 . 0 性质性质5 5若行列式的某一列（

24、行）的元素都是两若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和数之和. .nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(2122222211111211 则则D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 122211111122211111例如例如例如例如222xaxaybybzczc 222xaaybbzcc 0 xxayybzzc 性质性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列

25、式不变列式不变njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111njnjnjninjjjinjjijiaakaaaaakaaaaakaaakcc)()()(1222221111111 k例如例如例如例如312rr 1230121001 123012247 行列式性质中的符号：行列式性质中的符号：p以以 ri 表示第表示第 i 行，行，ci 表示第表示第 i 列列;p交换交换 i、 j 两行，记作两行，记作 ；交换；交换i、j两两列记作列记作p第第 i 行乘以行乘以 k，记作，记作p第第 i 行提出公因子行提出公因子 k，记作，记作p以数以数 k 乘第乘第 j 行加到第行加

26、到第 i 行上，记作行上，记作第四节第四节 行列式的计算行列式的计算定理定理1 1 行列式等于它的任一行（列）的各元素行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即与其对应的代数余子式乘积之和，即ininiiiiAaAaAaD 2211 ni, 2 , 1 1、应用行列式按行、应用行列式按行(列列)展开法则计算展开法则计算njnjjjjjAaAaAaD 2211 nj, 2 , 1 这个定理叫做行列式按行这个定理叫做行列式按行( (列列) )展开法则展开法则, ,利用它利用它可对行列式进行降阶计算可对行列式进行降阶计算. .4443424134333231242322211

27、4131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 333323231313AaAaAa 例例1 计算行列式计算行列式3351110243152113 D03550100131111115 312 cc 34cc 0551111115)1(33 0551111115)1(33 055026115 5526)1(31 5028 .40 12rr 例例2 计算行列式计算行列式277010353 D解解27013 D.27 按第一行展开，得按第一行展开，得27005 77103 另解另解 按第二行展开，得按第二行展开，得用按行用按行(列列)展开计算行列式方法展开计算行列式方法p（1）用性质）用性质 6

28、 将行列式某一行或某一列化将行列式某一行或某一列化为只有一个元素不为零。为只有一个元素不为零。p（2）按该行或该列展开行列式，行列式就）按该行或该列展开行列式，行列式就降了一阶。（展开式为降了一阶。（展开式为:p p 该行或列唯一不为零元素该行或列唯一不为零元素p（3）继续将结果重复（）继续将结果重复（1）、（）、（2）步直到）步直到行列式降为二阶，就可就算出行列式的值了行列式降为二阶，就可就算出行列式的值了。 ijjiijMa 1课堂练习课堂练习0532004140013202527102135 D例例3 计算行列式计算行列式66027013210 6627210 .1080124220 5

29、3241413252 53204140132021352152 13rr 122 rr 解解0532004140013202527102135 D推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即. ji,AaAaAajninjiji 02211,11111111nnnjnjininjnjnjjaaaaaaaaAaAa 证证行展开，有行展开，有按第按第把行列式把行列式jaDij)det( ,11111111nnniniininjninjiaaaaaaaaAaAa 可得可得换成换成

30、把把), 1(nkaaikjk 行行第第 j行行第第 i,时时当当ji ).(,02211jiAaAaAajninjiji 同理同理).(, 02211jiAaAaAanjnijiji 相同相同2. 化为上(下)三角形法123解解08-100-101505/2例例 22101044614753124025973313211 D2101044614753124025973313211 D3 解解2101044614753124022010013211312 rr2101044614753140202010013211 2101044614753124022010013211312 rr 2 3

31、122rr 4 42rr 2220020100140203512013211 2220035120140202010013211 144rr 133rr 2220001000211003512013211 34rr 2220020100211003512013211 23rr 2 6000001000211003512013211 612 454rr .12 6400001000211003512013211 352rr 4 1122330000001111aaaaDaa 例例3 计算行列式计算行列式 123233000000001231aaccaa 124312330000004.00012

32、34aacca a aa122213300000001211aaaccaa D例例4 计算计算 阶行列式阶行列式nabbbbabbbbabbbbaD 解解 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 D将第将第 列都加到第一列得列都加到第一列得n, 3 , 2 abbbabbbabbbbna1111) 1( babababbbbna 1) 1(00 .)() 1(1 nbabna课堂练习课堂练习p注意注意: 后一次的运算是作用在前一次运算结后一次的运算是作用在前一次运算结 果之上果之上例如例如, 下面的运算是错误的下面的运算是错误的, 出错的原因是第二次出错的原因是第二次运算找错

33、了对象运算找错了对象P P26264 4 (2)(2)P P26264 4 (4)(4)例例4 4nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaaD1111111111110 设设,)det(11111kkkkijaaaaaD ,)det(11112nnnnijbbbbbD .21DDD 证明证明证明证明;0111111kkkkkpppppD 设为设为化为下三角形行列式化为下三角形行列式，把，把作运算作运算对对11DkrrDji 化为下三角形行列式化为下三角形行列式把把作运算作运算对对22,DkccDji .0111112nnnknqqpqqD 设为设为,01111111111nnnnknkk

34、kkqqqccccpppD 化为下三角形行列式化为下三角形行列式把把算算列作运列作运，再对后，再对后行作运算行作运算的前的前对对DkccnkrrkDjiji, nnkkqqppD1111 故故.21DD 思考题思考题阶行列式阶行列式计算计算411111111111122222222ddddccccbbbbaaaaD 1 abcd已知已知思考题解答思考题解答解解111111112222dddcccbbbaaaD 1111111111112222dddcccbbbaaa dddcccbbbaaaabcd1111111111112222 dddcccbbbaaa111111111111122223

35、. 0 1. 1. 化为上三角形法计算行列式化为上三角形法计算行列式三、小结三、小结2. 2. 应用按行应用按行( (列列) )展开法则计算行列式展开法则计算行列式3. 3. 要求应用以上方法熟练计算四阶要求应用以上方法熟练计算四阶, ,五阶数字型五阶数字型行列式行列式思考题思考题阶行列式阶行列式设设nnnDn00103010021321 求第一行各元素的代数余子式之和求第一行各元素的代数余子式之和.11211nAAA 思考题解答思考题解答解解第一行各元素的代数余子式之和可以表示成第一行各元素的代数余子式之和可以表示成nAAA11211 n001030100211111 .11!2 njjn第五节第五节 克拉默法则克拉默法则二元线性方程组二元线性方程组 11112212112222a xa xba xa xb 若令若令 1211222bbaDa 1221121baDab ( (方程组的系数行列式方程组的系数行列式) )则上述二元线性方程组的解可表示为则上述二元