第19讲信号与系统课件

1、第第7 7章章 离散时间系统的时域分析离散时间系统的时域分析 7.5-7.5-7.67.6离散时间系统的零状态响应和全响离散时间系统的零状态响应和全响应的求解应的求解2022-3-15信号与线性系统第19讲2n经典差分方程经典差分方程n电路差分方程电路差分方程n非时间参数的差分方程非时间参数的差分方程n前向差分、后向差分前向差分、后向差分n相同的模拟延时器相同的模拟延时器n迭代求解，确定解的形式迭代求解，确定解的形式等比形式等比形式n移序算子，特征方程，特征根，解的通式移序算子，特征方程，特征根，解的通式n特征根与系统的稳定性特征根与系统的稳定性2022-3-15信号与线性系统第19讲3n零输

2、入响应零输入响应n零状态响应零状态响应n全响应全响应n系统的稳定性系统的稳定性n激励信号的分解激励信号的分解n冲击响应的计算冲击响应的计算n卷积积分计算零状态响应卷积积分计算零状态响应n系统稳定性与冲击响应解的形式的关系系统稳定性与冲击响应解的形式的关系2022-3-15信号与线性系统第19讲4n零状态响应的表示零状态响应的表示n信号的分解激励表示为单位函数之和信号的分解激励表示为单位函数之和n设系统对单位函数设系统对单位函数(k)的响应为的响应为h(k)n根据线性移不变性质，系统对根据线性移不变性质，系统对e(k)的响应的响应yzs(k)为为n令令i=k-j，上式改写为，上式改写为n这就是卷

3、积和的计算公式。零状态响应表示为单位函数响应与激励这就是卷积和的计算公式。零状态响应表示为单位函数响应与激励信号的卷积和。记为信号的卷积和。记为( )(-2) (2) (-1) (1) (0) ( ) (1) ( -1) (2) ( -2) ( ) ( - )ie kekekekekeke ik i( )(-2) (2) (-1) (1) (0) ( ) (1) ( -1) (2) ( -2) ( ) ( - )zsiykeh keh keh keh keh ke i h k i( )() ( )zsjyke kj h j( )( )* ( )zsyke kh k2022-3-15信号与线性系

4、统第19讲5n卷积和的上下限卷积和的上下限n卷积和计算的定义式，其上下限是正负无穷大卷积和计算的定义式，其上下限是正负无穷大n考虑实际系统的因果关系和信号的有始性。激励和考虑实际系统的因果关系和信号的有始性。激励和响应都只是在各自序列的序号为正数才有意义。响应都只是在各自序列的序号为正数才有意义。nK-j0 ; j0。由此可得。由此可得 0jk是卷积和计算的上下限。是卷积和计算的上下限。n卷积和的计算卷积和的计算n定义式法根据卷积公式计算；定义式法根据卷积公式计算；n查表法根据卷积表查找结果；查表法根据卷积表查找结果；n表格法排列序列阵表格，得到卷积求和关系；表格法排列序列阵表格，得到卷积求和

5、关系；n图解法按褶、移、积、和图解法按褶、移、积、和4个步骤作图求解；个步骤作图求解；n多项式法将两序列按多项式相乘法则计算。多项式法将两序列按多项式相乘法则计算。2022-3-15信号与线性系统第19讲6n举例说明举例说明n已知已知n求两序列的卷积和求两序列的卷积和n解：解：n依次可以求得依次可以求得y(3)=6、 y(4)=5、 y(5)=3、 y(6)=0、其它, 02 , 1 , 0, 1)(kkf其它, 03 , 2 , 1 , 0,)(kkkh 0 1 2 k f(k) 0 1 2 3 k h(k) kjjkhjfkhkfky0)()()()()(000 : (0)( ) ()(0

6、) (0)0jkyfj hjfh101: (0)( ) (1)(0) (1)(1) (0)1jkyfj hjfhfh202 : (0)( ) (2)(0) (2)(1) (1)(2) (0)3jkyfj hjfhfhfh2022-3-15信号与线性系统第19讲7n作出序列阵表格作出序列阵表格n根据阵列关系计算相关乘积项的和，得到结果根据阵列关系计算相关乘积项的和，得到结果 h(0)h(k) f(0) f(1) f(2) f(3) f(k)h(1)h(2) h(3)： f(0)h(0) f(1)h(0) f(2)h(0) 0 f(0)h(1) f(1)h(1) f(2)h(1) 0 f(0)h(

7、2) f(1)h(2) f(2)h(2) 0 f(0)h(3) f(1)h(3) f(2)h(3) 0 0 0 0 0y(0)=0y(1)=1y(2)=3y(3)=6y(4)=5y(5)=32022-3-15信号与线性系统第19讲8n将有限长序列写成多项式，尾部对齐，逐项相乘将有限长序列写成多项式，尾部对齐，逐项相乘n对于本例，对于本例， f (k) = 1,1,1 h(k) = 0,1,2, ,3n相乘过程相乘过程n结果为结果为 f(k)*h(k) = 0,1,3,6,5,30 1 3 6 5 30 1 2 3 1 1 10 1 2 31 2 31 2 3+002022-3-15信号与线性系

8、统第19讲9n类似连续时间系统中的方式类似连续时间系统中的方式n反褶平移相乘取和反褶平移相乘取和n对于本例对于本例nK=0 ; y(0)=f(0)h(0)=0nK=1; y(1)=f(0)h(1)+ f(1)h(0)=1nK=2; y(2)=f(2)h(0)+ f(1)h(1)+ f(0)h(2)=3nK=3; y(3)=3+2+1=6n 0 1 2 j f(j) 0 1 2 3 jh(j) -3 -2 -1 0 jh(-j) -3 -2 -1 0 jh(1-j) -3 -2 -1 0 1 2 jh(2-j) -3 -2 -1 0 1 2 3 jh(3-j) 2022-3-15信号与线性系统第

9、19讲1012000(1)111( )( )(1)111kkkkjkjkjkkZSNjjjkkkykGjn例题例题 已知已知 求零状态响应求零状态响应yzs(k)n解：方法一，由定义求解解：方法一，由定义求解n(1)当当0k0随随k增加而减小）增加而减小）1,1()0,1NjNGjjN1001112(1)0011( )( )( )( )(1)111kNkkjkjkjZSNNNjjj NNNkjkjkNjjNkNkkykGjGjGj1 yZS(k) 0 1 2 3 N-1 k 2022-3-15信号与线性系统第19讲12n方法二，查表结合卷积运算方法二，查表结合卷积运算)()()()()()(m

10、kfmkkfkfkkf)()()(kkGkykNZS)()()(kNkkk)()1() 1()(kNkkkk)1() 1()()1(1NkkkNkkk,1-Nk时当 1(k)y1)-(N-1kZS,1-Nk时当 k)-(k1)-(k(k)(k)yk-k1 -kkZS)(1-k-1k2022-3-15信号与线性系统第19讲13n当输入为单位函数当输入为单位函数(e(k)=(k) 时的零状态响应时的零状态响应 n对于响应的序号大于激励的序号情况对于响应的序号大于激励的序号情况n对于响应的序号等于激励的序号情况对于响应的序号等于激励的序号情况(1)( )( )y ky ke k (1)( )( )h

11、 kh kk即：1( )H SS1(0)( 1)( 1) 0khh ：0(1)(0)(0) 1khh：1(2)(1)(1)khh：22(3)(2)(2)khh：1( )(1)kh kk(1)( )(1)y ky ke k (1)( )(1)h kh kk 即：( )SH SS(0)( 1)(1) 1hh (1)(0)(1)haha2(2)(1)(2)hh( )( )kh kk 2022-3-15信号与线性系统第19讲14n例题：例题： 已知已知 求求h(k)n解：写出表达式解：写出表达式n解题思路：解题思路： n(k+2) 只在只在 k+2 = 0 即即 k = -2 时取值为时取值为1, 其

12、它其它k值时值时,其其值均为值均为0。当当k 0 时时,此系统相当于一个具有某种初始条件的此系统相当于一个具有某种初始条件的零输入系统，零输入系统，n根据零输入响应解的形式，特征根为根据零输入响应解的形式，特征根为1=2 和和 2=3 可以写出：可以写出：n用迭代法计算初始条件用迭代法计算初始条件n求系数求系数c1，c2，得到，得到h(k) 2()(6) 1(5) 2(kekykyky(2) 5 (1) 6 ( )(2)h kh kh kk 112212( )(2)(3) ,0kkkkh kcccck1) 0 () 2(6) 1(5) 0 (hhh(1) 5 (0) 6 ( 1)(1) 5hh

13、h 532) 1 (1)0(2121cchcch3221cc0,)3(3)2(2)(kkhkk)()23()(11kkhkk或2022-3-15信号与线性系统第19讲15n类比连续时间系统，通过移序算子可以将类比连续时间系统，通过移序算子可以将n阶差分方程表示为：阶差分方程表示为：n用转移算子用转移算子H(S)表示，方程为：表示，方程为：n单位函数响应单位函数响应 h(k) = h1(k)+ h2(k)+ hn(k)n分析其一分析其一 （S-)h(k) =A(k) 展开展开 h(k+1)h(k)= A(k) nh(0)=0；h(1)=A；h(2)=A；h(3)= A2；h(k)= Ak-1 (

14、k-1)n由此可得由此可得111010() ( )() ( )nnmmnmmSaSay kb SbSb e k)()()()(011011keSHkeaSaSbSbSbkynnnmmmm11012111012( )mmnmmnrnnrnnrb SbSbAAAAH SSaSaSSSSnrkrrkAkh11) 1()(2022-3-15信号与线性系统第19讲16n差分方程为差分方程为 y(k+1)- y(k)=Ae(k+1)n写成转移算子形式写成转移算子形式 n根据表达式可以看出，输入到输出之间有一个直通分支根据表达式可以看出，输入到输出之间有一个直通分支n单位函数响应表示为单位函数响应表示为 h

15、(k)=A(k)+Ak-1(k-1)= A(k) +Ak(k-1)n考虑考虑0=1，与，与(0)同值同值,上面的结果综合之后得到上面的结果综合之后得到h(k)=Ak(k)n由此可得由此可得( )(1)SAH SASSnrkrrkAkh1)()(2022-3-15信号与线性系统第19讲17n例题例题 已知已知 求求h(k)n解：解：)(3) 2()(6) 1(5) 2(kekekykyky)()3()()65(22keSkySS653)(22SSSSH659512SSS21361SS)()()()(khkykke时，) 1(2) 1()3(6)()(11kkkkhkk2022-3-15信号与线性

16、系统第19讲18n例题：已知例题：已知 求求h(k)n解：本题解：本题m=nn第一解法第一解法n第二解法第二解法n可以验证，可以验证，k = 0 时时,h(k) = h(0) = 7 )2 . 0)(5 . 0()27()(SSSSSH)2 . 0)(5 . 0()27()(SSSSSH2 . 04 . 05 . 05 . 27SS) 1()2 . 0(4 . 0) 1()5 . 0(5 . 2)(7)(11kkkkhkk) 1()2 . 0(2)5 . 0(5)(7kkkk)2 . 0)(5 . 0(27)(SSSSSH2 . 025 . 05SS2 . 025 . 05)(SSSSSH)(

17、)2 . 0(2)5 . 0(5)(kkhkk2022-3-15信号与线性系统第19讲19n全响应零输入响应零状态响应全响应零输入响应零状态响应n关注初始条件关注初始条件n求解零输入响应需要零输入情况下的初始条件，求解零输入响应需要零输入情况下的初始条件，n实际测量不便区分结果是零输入的结果还是零状态的结果实际测量不便区分结果是零输入的结果还是零状态的结果n考虑因果系统时，激励作用前的系统状态就是零输入的状态考虑因果系统时，激励作用前的系统状态就是零输入的状态n一般求解步骤一般求解步骤n求系统零状态响应求系统零状态响应n根据零状态响应，得到初始条件中零输入的初始条件根据零状态响应，得到初始条件

18、中零输入的初始条件n求系统零输入响应求系统零输入响应n对零输入和零状态响应求和得到全响应对零输入和零状态响应求和得到全响应2022-3-15信号与线性系统第19讲20n稳定性定义：若输入有界，输出必定有界。稳定性定义：若输入有界，输出必定有界。n稳定性充要条件：单位函数响应绝对可和稳定性充要条件：单位函数响应绝对可和n系统稳定性可以根据特征根系统稳定性可以根据特征根的取值情况判定的取值情况判定n|1 系统不稳定系统不稳定n|=1 系统临界稳定系统临界稳定 此时此时h(k)=1k(k)=(k)n当激励为当激励为e(k)=(k)n系统的零状态响应为系统的零状态响应为n此时响应中有一个此时响应中有一

19、个k的乘积，系统不稳定的乘积，系统不稳定Mkhk)(M为有界正值为有界正值) ZSy(k)( )* ( )(1) ( )kkkk2022-3-15信号与线性系统第19讲21已知离散系统的差分方程已知离散系统的差分方程y(k) y(k-1) 2y(k-2) = e(k) , 初初始状态始状态y(-1) = 0, y(-2)=1/6 , 激励激励 , 求零求零输入响应、零状态响应和全响应，并判断系统是否稳定。输入响应、零状态响应和全响应，并判断系统是否稳定。（1）求零输入响应）求零输入响应yZi(k)nyZi(k) 满足方程满足方程： yZi(k) yZi(k-1) 2 yZi(k-2) 0n给定

20、初始条件给定初始条件 yZi(-1)y(-1)=0 ; yZi(-2)y(-2)=1/6 ;n迭代法得到初始条件迭代法得到初始条件 yZi(0) yZi(-1) +2 yZi(-2) =1/3 yZi(1) yZi(0) +2 yZi(-1) =1/3n解特征方程解特征方程s2-s-2=0 得到两个单根得到两个单根 1=-1; 2=2;n零输入响应形式零输入响应形式n代入代入yZi(0), yZi(1)求得求得 C1 = 1/9 , C2 = 2/9 )() 1()()()(kkkCoskekkkZiCCky)2() 1()(210,)2(92)1(91)(kkykkZi2022-3-15信号

21、与线性系统第19讲22n（2）求单位函数响应）求单位函数响应 h(k) 和零状态响应和零状态响应 212112( )12(1)(2)312sSSH SssssSS)()2(32) 1(31)(kkhkk12( )( )( ) ( 1)(2) ( ) * ( 1)( )33kkkZSykh ke kkk)() 1()()2(32)() 1()() 1(31kkkkkkkk)() 1(2) 1(232)() 1)(1(3111kkkkkk)()2(94) 1(95) 1(31kkkkk2022-3-15信号与线性系统第19讲23n（3）全响应）全响应n（4）稳定性）稳定性n由于特征根分别为由于特征

22、根分别为 1和和2，n系统不稳定系统不稳定)()()(kykykyZSZi)()2(32) 1)(2(31kkkk121,212022-3-15信号与线性系统第19讲24n差分方程描述系统差分方程描述系统n移序算子将方程写成移序算子将方程写成代数方程代数方程H(S)n特征根特征根 是指数函数是指数函数的底数；的底数；n自然响应的幅度和振自然响应的幅度和振荡频率分别决定于荡频率分别决定于的模量和相位；的模量和相位；n系统是否稳定取决于系统是否稳定取决于各特征根是否全部位各特征根是否全部位于于 Z平面的单位园内。平面的单位园内。n零状态响应等于系统零状态响应等于系统的单位函数响应与输的单位函数响应

23、与输入激励的卷积和入激励的卷积和n连续时间系统连续时间系统n微分方程描述系统微分方程描述系统n微分算子将方程写成微分算子将方程写成代数方程代数方程H(p)n特征根特征根 出现在指数出现在指数函数的幂数中；函数的幂数中；n自然响应的幅度和振自然响应的幅度和振荡频率分别决定于荡频率分别决定于 的实部和虚部；的实部和虚部；n系统是否稳定取决于系统是否稳定取决于各特征根是否全部位各特征根是否全部位于于 s平面的左半面内。平面的左半面内。n零状态响应等于系统零状态响应等于系统的单位冲激响应与输的单位冲激响应与输入激励的卷积积分入激励的卷积积分2022-3-15信号与线性系统第19讲25n激励信号的分解，

24、采用单位函数表示激励信号的分解，采用单位函数表示n零状态响应通过激励与单位函数响应卷积和计算零状态响应通过激励与单位函数响应卷积和计算n卷积和的几种计算方法定义、多项式、查表卷积和的几种计算方法定义、多项式、查表n单位函数响应的计算单位函数响应的计算n迭代方法计算迭代方法计算n转移算子转移算子H(S)，解特征方程，解的标准形式，解特征方程，解的标准形式n全响应的计算全响应的计算n初始条件的应用初始条件的应用n系统稳定性的判定系统稳定性的判定7.217.21、 7.267.26、 7.297.292022-3-15信号与线性系统第19讲27n（1）离散周期信号的基本概念）离散周期信号的基本概念n

25、离散周期信号的特点离散周期信号的特点n（2）信号表示为成谐波关系的复指数信号组合）信号表示为成谐波关系的复指数信号组合n以上为离散傅里叶级数表达，以上为离散傅里叶级数表达，ak为傅里叶级数系数为傅里叶级数系数0 ,2 /x nx nNx nTNN如果：就是周期为 的周期信号，基波周期基波频率(2/)(2/) ,0, 1, 2,2 /jN njkN nkeNnekN 复指数是周期的，周期为信号集：其频率是的倍数，成谐波关系 Nkk rNnn，信号集只有 项00(2/)(2/) jknjkN nkkkkkkkjknjkN nkkkkkNkNkNx nana ea eNx nana ea e考虑只有

26、连续个 项系数是独立的k=0,1,2,N-1k=2,3,4,N+1k=5,6,7,N+42022-3-15信号与线性系统第19讲28n（1）周期为）周期为N的序列，可用的序列，可用N项傅里叶级数表示，系数项傅里叶级数表示，系数可以联立解方程计算可以联立解方程计算n（2）推导更一般的系数计算方法）推导更一般的系数计算方法(2/)(2/)(2/)()(2/) jrN njkN njrN nj k rN nkkkkNex na ex n ea e同乘(2/)()(2/)(2/)()(2/) jrN nj k rN nknNnNkNjrN nj k rN nknNkNnNNx n ea ex n ea

27、 e 在一个周期 上求和:交换右边求和顺序：(2/),0, 20,jkN nnNN kNNeothers考虑复指数序列在一个周期内的求和结果(2/)1, jrN nrrnNkrNaax n eN等式右边只在取值所以：2022-3-15信号与线性系统第19讲29n（3）离散时间傅里叶级数对：）离散时间傅里叶级数对：n基本函数只有基本函数只有N个，系数也就只有个，系数也就只有N个个n以周期以周期N周期性重复周期性重复00(2/)(2/) 11 jknjkN nkkkNkNjknjkN nknNnNx na ea eax n ex n eNN综合公式：分解公式：0(2/)(2/)00 jN njNN

28、 nNNnneeaa，即2022-3-15信号与线性系统第19讲30n（4）举例（）举例（1）n分析可知分析可知:信号周期为信号周期为N=5，信号可以直接写成复指数谐波形式，信号可以直接写成复指数谐波形式n系数作图表示：系数作图表示： 系数幅度谱作图系数幅度谱作图 系数相位谱作图系数相位谱作图 sin 3(2/5) ,kx nna对于信号计算它的傅里叶级数系数画出系数的幅度和相位频谱图。3(2/5)3(2/5)331111 ,2222jnjnx neeaajjjj 观察可知2022-3-15信号与线性系统第19讲31n（4）举例（）举例（1续）续）n信号直接写成复指数谐波形式信号直接写成复指数

29、谐波形式n举例：举例：N=5,M=1,3,5的系数的系数 sin(2/) ,kx nMN na对于更一般的情况，信号分析它的傅里叶级数系数。(2/)(2/)1111 ,2222jMN njMN nMMx neeaajjjj 观察可知2022-3-15信号与线性系统第19讲32n（4）举例（）举例（2）n首先计算周期方波序列的傅里叶级数的系数首先计算周期方波序列的傅里叶级数的系数离散时间周期方波序列的傅里叶级数展开分析。11(2/)111,NjkN nknNNnNaeN为方便计算，求和区间选择包含有：111122(2/)()(2/)(2/)10011NNjkNmNjkNNjkN mkmmmnNa

30、eeeNN令有：11112/(2/)(2/)2/2/(2/2)1(2/2)(2/2)(2/2)111 sin(2/)0, 2 ,sin(/)jkNNjkN NkjkNjkNNjkNNjkNjkNjkNjkNkeaeNeeeekNNkNNNNkNeeea（2+1）（+1/2）（+1/2）1-利用级数求和，有：（）1-（+1）= （）= （）,-直接利用 的最初表达式12,0, 2 ,kNakNNN+1，得到：2022-3-15信号与线性系统第19讲33n（4）举例（）举例（2）（续）（续）n方波宽度不变，周期变方波宽度不变，周期变化的傅里叶级数系数的化的傅里叶级数系数的图示图示n周期与谱线的关系

31、周期与谱线的关系1215102040NNNN2022-3-15信号与线性系统第19讲34n（4）举例（）举例（2）（续）（续）n连续周期方波信号在信连续周期方波信号在信号截断时有吉伯斯现象，号截断时有吉伯斯现象，离散周期方波部分系数离散周期方波部分系数恢复时的情况恢复时的情况n没有收敛问题没有收敛问题（有限项）（有限项）n没有吉伯斯现象没有吉伯斯现象(2 /)1 9,21 51,2,3,4MjkN nkkMx na eNNM 时的波形2022-3-15信号与线性系统第19讲352022-3-15信号与系统第12讲352022-3-1535n周期离散时间信号的傅里叶级数表示周期离散时间信号的傅里

32、叶级数表示(2/)(2/) 1 jkN nkkNjkN nknNx na eax n eN周期序列：0(2/)0 ( ),11 2 /jknjkN nknnx nx tax n ex n eNNN由的一个周期构成的非周期序列其傅里叶级数，2022-3-15信号与线性系统第19讲362022-3-15信号与系统第12讲362022-3-1536n周期离散时间信号的傅里叶级数表示周期离散时间信号的傅里叶级数表示n离散与连续的类比离散与连续的类比 离散时间复指数信号以离散时间复指数信号以2为周期为周期n正变换结果是周期的正变换结果是周期的n反变换积分区间是有限的（只在一个周期内）反变换积分区间是有限

33、的（只在一个周期内）n正变换的低频在正变换的低频在的偶数倍位置，高频在的偶数倍位置，高频在的奇数倍位置的奇数倍位置001() () jkjj nknX ex n eaX ekN定义：，则有：，0000011 () = ()2jkjknjkjknkNkNx nx nX eeX eeN周期信号可表示为：000211, , () ()22jkjknjj nkNNx nx nx nX eeX eed可得：积分区间？分析公式分析公式正变换正变换综合公式综合公式反变换反变换变换与周期级变换与周期级数系数的关系数系数的关系0, 22NkkN2022-3-15信号与线性系统第19讲372022-3-15信号与

34、系统第12讲372022-3-1537n不同序列的变换结果图示不同序列的变换结果图示n变换缓慢的序列，正变换的峰值出现在变换缓慢的序列，正变换的峰值出现在的偶数倍位置的偶数倍位置n变换快的序列，正变换的峰值出现在变换快的序列，正变换的峰值出现在的奇数倍位置的奇数倍位置2022-3-15信号与线性系统第19讲382022-3-15信号与系统第12讲382022-3-15信号与系统第12讲38n（1）指数序列）指数序列 a0 a0nA为正，最大值出现在为正，最大值出现在的偶数倍位置，序列以低频为主的偶数倍位置，序列以低频为主nA为负，最大值出现在为负，最大值出现在的奇数倍位置，序列以高频为主的奇数

35、倍位置，序列以高频为主 1nx na u na01 = 1-njnj njjnnX ea u n eaeae画出a取正负值时的波形，并进行比较2022-3-15信号与线性系统第19讲392022-3-15信号与系统第12讲392022-3-15信号与系统第12讲39n（2）偶对称指数序列）偶对称指数序列 n变换结果是实函数，对变换结果是实函数，对a取正值作图如下：取正值作图如下：n如果如果a取负值，结果怎样？取负值，结果怎样？ 1nx naa10nnnjj njjnnnX ea eaeae222211-1=1-1-1- ()1-2 cosjjjjjjjaeaeaeaaaeaea eeaaa20

36、22-3-15信号与线性系统第19讲402022-3-15信号与系统第12讲402022-3-15信号与系统第12讲n（3）矩形脉冲序列）矩形脉冲序列 n变换结果是实函数，变换结果是实函数，nsinc函数在离散情况下的形式函数在离散情况下的形式n对对N1=2作图作图n离散情况下的离散情况下的sinc函数以函数以2为周期为周期n连续情况下的连续情况下的sinc函数是非周期的函数是非周期的111, 0, nNx nnN11(1/ 2)(1/ 2)1/ 2/ 2sin(1/2)-sin(/2)jNjNjjeeNee111111()(1)/ 2/ 2/ 2/ 2()1-NjNjNj Nj Njjjjj

37、 njjjnNeeeeeeeX eeeee2022-3-15信号与线性系统第19讲412022-3-15信号与系统第12讲412022-3-15信号与系统第12讲41n前面讨论的是有限长的序列，计算结果都是收敛的前面讨论的是有限长的序列，计算结果都是收敛的n离散时间傅里叶变换对无限长序列是否存在离散时间傅里叶变换对无限长序列是否存在n存在的条件是什么？存在的条件是什么？n连续时间傅里叶变换收敛的两类条件在离散情况怎样应用？连续时间傅里叶变换收敛的两类条件在离散情况怎样应用？n收敛情况分析收敛情况分析n对于正变换，显然，满足以下条件都能收敛对于正变换，显然，满足以下条件都能收敛n对于反变换，是一

38、个有限区间的积分，一般序列都能收敛对于反变换，是一个有限区间的积分，一般序列都能收敛n如果只取部分频率范围积分，得到近似的非周期信号如果只取部分频率范围积分，得到近似的非周期信号2 nnxnxn 能 量 有 限 ：绝 对 可 和 ：1 ()2Wjj nWx nX eed, wx nx n则，与离散时间周期方波的近似过程一样，也没有吉伯斯现象2022-3-15信号与线性系统第19讲422022-3-15信号与系统第12讲422022-3-15信号与系统第12讲42n收敛分析举例收敛分析举例 () 1jj nnx nnX ex n e序列：，其傅里叶变换：1sin 2Wj nWWnx nedn部分

39、频率范围积分近似：W采用不同得到的近似结果如下：W增加，震荡频率增加W增加，振幅减小W=2 /8、W=3 /8W=4 /8、W=6 /8W=7 /8、W=8 /82022-3-15信号与线性系统第19讲432022-3-15信号与系统第12讲432022-3-15信号与系统第12讲43n周期序列可由成谐波关系的复指数序列组合周期序列可由成谐波关系的复指数序列组合n用以上结果带入傅里叶反变换进行验证用以上结果带入傅里叶反变换进行验证00( ) jtjnx tex ne 0000连续情况，的傅里叶变换是在 =处的冲激2()离散序列，的傅里叶变换也该是 =的冲激2()0022-0211 () 2(2

40、)22 (jj nj nljnj nx nX eedl edx nede =只在一个周期积分：）0-()2(2)jlX el 但必须是周期的,所以记为：00()-022()1jnjnjnnneeek 复习冲激序列傅里叶变换推导2022-3-15信号与线性系统第19讲442022-3-15信号与系统第12讲442022-3-15信号与系统第12讲44n周期序列由成谐波关系的复指数序列表示周期序列由成谐波关系的复指数序列表示n根据前面复指数序列的傅里叶变换的推导根据前面复指数序列的傅里叶变换的推导n离散周期信号傅里叶变换图示离散周期信号傅里叶变换图示2()2(jkkNkX eaN ）(2/) jk

41、N nkkNx na e(2/)0(2/)12(2/)2(1)(2/)1 jkN nkkNjN njN nj NN nNx na eaa ea eae2022-3-15信号与线性系统第19讲452022-3-15信号与系统第12讲452022-3-15信号与系统第12讲45n（1）余弦信号）余弦信号n余弦信号傅里叶变换图示余弦信号傅里叶变换图示222()2( 5522()(- 2(- 255jkkNjllkXeaNXell ） +） ,-或）0000112 cos, 225jnjnx nnee2022-3-15信号与线性系统第19讲462022-3-15信号与系统第12讲462022-3-15

42、信号与系统第12讲46n（2）离散时间冲激串）离散时间冲激串n冲激串傅里叶变换图示冲激串傅里叶变换图示(2/)11 jkNnknNax n eNN傅 里 叶 级 数 的 系 数 ： ()kNx nnkN周期为 的冲激串：222()2()()jkkNkNkkXeaNNN 傅 里 叶 变 换 ：2022-3-15信号与线性系统第19讲472022-3-15信号与系统第12讲47n离散时间傅里叶变换是以离散时间傅里叶变换是以2为周期的为周期的的函数的函数(2)()()jjX eX e1122 () ()jjx nX ex nXe若：和FF1212 ()()jjax nbx naX ebXeF2022

43、-3-15信号与线性系统第19讲482022-3-15信号与系统第12讲48n举例举例00()j njx nneX eF00() ()jnjex nX e F()jclpHe一个截止频率为的低通滤波器的频率响应为通带在 的偶数倍位置，()jlpHe （）将它频移半个周期 ，得到的就是一个高通滤波器通带在 的奇数倍位置()()jjhplpHeHe （）频域关系： ( 1) j nnhplplphneh nh n 时域关系： ,nx na u na离散序列逐项变号将频谱搬移半个周期温习序列在 分别为正值和负值的情况()jhpHe()jlpHe00()j njx nneX eF00() ()jnje

44、x nX e F () jx nX e若：F00()j njx nneX eF2022-3-15信号与线性系统第19讲492022-3-15信号与系统第12讲49 () jx nX e若：F* x nx nx n若为实值序列：* ()()jjX eXe () () () ()jjjjX eX eX eX e是的偶函数，是的奇函数是的偶函数，是的奇函数R eI m () ()jjx nX ex nX e序列偶部的傅里叶变换是原序列傅里叶变换的实部序列奇部的傅里叶变换是原序列傅里叶变换的虚部FEvR eFOdI m nx nx na为实偶函数，其傅里叶变换也是实偶函数温习序列* () jxnXeF

45、2022-3-15信号与线性系统第19讲502022-3-15信号与系统第12讲50n连续时间系统傅里叶变换的微分积分性质是频域求解系统微分方程连续时间系统傅里叶变换的微分积分性质是频域求解系统微分方程的重要手段，在离散时间中，求解差分方程也需要了解其差分以及的重要手段，在离散时间中，求解差分方程也需要了解其差分以及累加性质累加性质n差分性质只要用时移性质就可以得到差分性质只要用时移性质就可以得到n累加与差分类似连续中的积分和微分，它们的性质也有可比性累加与差分类似连续中的积分和微分，它们的性质也有可比性n举例：利用累加性质计算单位阶跃的傅里叶变换举例：利用累加性质计算单位阶跃的傅里叶变换 (

46、) jx nX e若：F 1(1)() jjx nx neX eF , 1 nmnx my ny nx n因为：y01() +()2 (1)njjjmkx mX eX eke F累加过程中出现的直流分量0 ()1, 11()() +()(2) = +(2) (1)(1)njmjjjjjkkg nnG ex ng mX eG eG ekkee F2022-3-15信号与线性系统第19讲512022-3-15信号与系统第12讲51() ()jjnjnnnjmjmY ey n exn ex m eX e () ()jjx nX enxnY e若：考虑：y的傅里叶变换F() jxnX eF2022-3

47、-15信号与线性系统第19讲522022-3-15信号与系统第12讲52n时域扩展时域扩展-频域压缩是连续时间傅里叶变换的性质频域压缩是连续时间傅里叶变换的性质1()() jx atXaaF11aa缩小功能，扩展功能，1 ,1ay nx ana为大于 的整数时，序列的表现？为小于 的时候，序列扩展怎样实现？ x anaan但是，对于离散时间情况， 不为整数则没有定义( ) / 0 kx n knkxnnk当 为 的整数倍定义新序列：当 不为 的整数倍( ) 3kxnk 序列示意（）( ) 1kxna 可以起到扩展序列的作用（类似）( )( )( )( ) 0() kjj nj rkkkknrx

48、nnrkrXexn exrk e只在有值（ 全部整数），其他情况为 ，所以:()( )( )( ) , () () jj krjkkkkrxrkx rXex r eX exn因：则：F2022-3-15信号与线性系统第19讲532022-3-15信号与系统第12讲53n时域扩展性质的图解时域扩展性质的图解(),2,3()2()2/kjjkx nkxnXeXek一 个 矩 形 脉 冲当时 候 的， 以 及 它 们 的 傅 里 叶 变 换的 周 期 为，的 周 期 为2022-3-15信号与线性系统第19讲542022-3-15信号与系统第12讲54n举例举例n序列如图，求其傅里叶变换序列如图，求

49、其傅里叶变换n分析可见，这是两个宽度一样，幅度不同的矩形脉冲交错而成分析可见，这是两个宽度一样，幅度不同的矩形脉冲交错而成1 5 22 - 2y ny nNy ng n令为宽度为 的矩形脉冲序列由的门函数右移 得到：(2)(2) 21x nynyn原序列可以表示为：2sin(5/2) - 2sin(/2)jg ne的傅里叶变换为：4(2)sin(5 ) sin( )jyne的傅里叶变换为：5(2)sin(5 )21sin( )jyne的傅里叶变换为：24sin(5 )()(1)sin( )jjjX eee 22022-3-15信号与线性系统第19讲552022-3-15信号与系统第12讲55

50、() jx nX e若：F- () jj nnX ex n e 对正变换公式微分-() jj nndX ejnx n ed ()jdnx njX edF2022-3-15信号与线性系统第19讲562022-3-15信号与系统第12讲56n综合练习综合练习给定序列的傅里叶变换给定序列的傅里叶变换 判断序列是否周期、实信号、偶信号、能量有限？判断序列是否周期、实信号、偶信号、能量有限？ () jx nX e若：F222-1 = ()2jnx nX ed () jX ex n不是离散的，不是周期的()()jjX eX e是 的偶函数，是 的奇函数所以，xn是实信号2()()jjjX eX ee不是实

51、函数所以，xn不是偶信号222-1 = () 2jnx nX ed 积分有限所以，xn是能量有限的2022-3-15信号与线性系统第19讲572022-3-15信号与系统第12讲5701()2(),()()0()0jjjajjjX eX eaeX eX eX ed-。 只有实部。 只有虚部3。 存在实数 使得为实4。 5。 11( ) ( ) () ( )22( ) 13( ) 12( ) 11nnex nu nfx ngx nnnhx nnnix nnn 1 ( )( )2 ( )( ) ( )( )( )( )( )( )0( )( )( )00( )( )( )( )( )x ndfx

52、nb ix na b dfg hb c ixb dg h i。 为偶： 。 为奇： 3。 为偶且时移： 4。 直流分量为 ： 5。 ： 2022-3-15信号与线性系统第19讲582022-3-15信号与系统第12讲58n（1）Example5.11(系统响应的求解：时域转化到频域系统响应的求解：时域转化到频域) () () , * jjx nX eh nH ey nh nx n若：且：FF()()()jjjY eH eX e000-LTI ()j njj nnh nnnH enn ee 一系统，单位脉冲响应为：其频率响应为：0() ()()()()jj njjjjX ex nY eH eX

53、eeX e对于傅里叶变换为的任意输入输出的傅里叶变换为：0 y nx nn对上式反变换可见，这是一个纯延时系统0()1() jjH eH en ，的物理意义？2022-3-15信号与线性系统第19讲592022-3-15信号与系统第12讲59n（2）Example5.13（简化计算）（简化计算） , ,1,1, ?nnLTIh na u nx nb u naby n一系统，单位脉冲响应为输入为求该系统的输出响应1()1jjX ebe输入傅里叶变换：()11jjjABY eaebe1()()()11jjjjjY eH eX eaebe输出傅里叶变换：1()1jjH eae系统频率响应：, abA

54、Babab nnaby na u nb u nabab2022-3-15信号与线性系统第19讲602022-3-15信号与系统第12讲60n（2）Example5.13(续续)ab对于情况21()1jjY eae1()1jjjjdY eeadae利用求导方式改写：11111njjFdnau njedae（）再用时移性质：（）11 11nnjjFFda u nna u njaedae对于：根据微分性质： 11ny nna u n（）2022-3-15信号与线性系统第19讲612022-3-15信号与系统第12讲61n（3）Example5.14（系统函数计算）（系统函数计算）n上半路信号分析上半

55、路信号分析n下半路信号分析下半路信号分析n输出信号输出信号n系统频率响应系统频率响应 x ny n分析图示系统在输入为，输出为时的频率响应？()jlpHe是一个截止频率为 /4的理想低通滤波器，通带内增益为1()11 ( 1) , ()()nj njjw nx nex nW eX e ()21 ()()()()()jjjjjlplpW eHeW eHeX e ()()(2 )()32 ()()()()()()jjjjjjlplpW eW eHeX eHeX e 4 ()()()jjjlpW eHeX e()34 ()()()()()()jjjjjjlplpY eW eW eHeHeX e ()

56、()()()jjjlplpH eHeHe /43 /4带阻滤波器阻带：2022-3-15信号与线性系统第19讲622022-3-15信号与系统第12讲62n连续时间的相乘性质连续时间的相乘性质n时域相乘时域相乘-频域卷积。频域卷积。 用于分析调制系统，频谱搬移用于分析调制系统，频谱搬移n离散时间相乘性质离散时间相乘性质12() jj nj nnnY ey n ex n x n e序列相乘的傅里叶变换：1121 ()2jj nx nX eed因为：212122-1121221() ()21() 21()() 2jjjnjnnjjnjnnjjY exnXeedeXexn eedXeXedx nxn

57、 （- ）F时域相乘对应频域的周期卷积，周期为22022-3-15信号与线性系统第19讲632022-3-15信号与系统第12讲63n分析：分析： 直接计算不方便，但是每个序列的傅里叶变换是熟悉的周期矩形脉直接计算不方便，但是每个序列的傅里叶变换是熟悉的周期矩形脉冲，转换到频域化为简单信号卷积计算冲，转换到频域化为简单信号卷积计算 两个周期函数的周期卷积可转换为普通卷积两个周期函数的周期卷积可转换为普通卷积1212 ()sin(3/4)sin(/2) , jx nx n x nX ennx nx nnn计算的傅里叶变换其中：1221()()()2jjjX eXeXed-11()()0, jjX

58、eXe， 对 于 -定 义 ：其 他12121()()()21()()2jjjjjX eXeXedXeXed-2022-3-15信号与线性系统第19讲642022-3-15信号与系统第12讲64n周期离散时间序列周期离散时间序列xn的傅里叶级数的傅里叶级数ak也是周期离散序列也是周期离散序列n离散时间傅里叶级数性质参考表（表离散时间傅里叶级数性质参考表（表3.2）中对偶性质）中对偶性质 ?kkSSx naax nFF12() kSX jtxaxnN因为：是否：？FF(2/)1 jkN nknNax n eN周期离散时间序列的傅里叶级数： 1 kkSx naSaxnN若：则：FF0(2/)(2/

59、)0 jkN njmN nkkmSSx nna eex naFF kklk lrNlNSSx r y nrNa bx n y nabFF(2 /)1111 jkN nkknNSax neSx nax nNNN FF2022-3-15信号与线性系统第19讲652022-3-15信号与系统第12讲65n周期离散时间序列傅里叶级数对偶举例周期离散时间序列傅里叶级数对偶举例n分析：周期分析：周期N、宽度、宽度2N1+1的矩形方波，其傅里叶级数系数的矩形方波，其傅里叶级数系数111s in ( 21) /)s in (/)21 kkNNkNNkNaNkNN，的 倍 数，的 倍 数1921 2 0 24 NNg n对 照 可 知 ，时 的 周 期 矩 形 方 波 与 本 题 有 对 偶 关 系 ，n该 方 波 为 ，n11 , = kFSFSg nax nx ngng nNN 根 据 对 偶 性 质 ：1 29 0 24 kkx nak，的 傅 里 叶 级 数 系 数 为 ，gn为偶函数1 sin(5/9)99 sin(/9) 5 99nknx nk，的倍数，的倍数9kNa周期，求其傅里叶级数的系数2022-3-15信号与线性系统第19讲662022-3-15信号与系统第12讲66n连续周期时间信