第2章 方差分析

1、第第2章章 方差分析方差分析 方差分析是检验多个总体均值间差异方差分析是检验多个总体均值间差异是否显著的一种统计方法。是否显著的一种统计方法。 主要内容主要内容2.1 预备知识预备知识2.2 方差分析的基本概念方差分析的基本概念2.3 单因素方差分析单因素方差分析2.4 双因素方差分析双因素方差分析2.1 预备知识2.1.1 统计假设检验的基本思想统计假设检验的基本思想 对总体参数值提出假设对总体参数值提出假设 验证先前提出的假设验证先前提出的假设 样本样本出现矛盾出现矛盾不出现矛盾不出现矛盾 拒绝原假设拒绝原假设接受原假设接受原假设基本思路图：基本思路图：2.1.2 假设检验的步骤(1) 根

2、据实际问题的要求，提出零假设H0和备择假设H1。(2) 根据H0的内容，选取适当的检验统计量，并能确定出检验统计量的分布。(3) 根据样本观测值计算出检验统计量的值。(4) 在给定的显著性水平(01)下，查所选检验统计量服从的分布表，确定临界值。(5) 确定拒绝域并做出拒绝还是接受H0的统计判断。2.1.3 正态总体均值检验u 单样本的t 检验 设总体XN(，2)，2未知；X1，X2，Xn是来自总体X的样本， 与s2分别为样本均值和样本方差。给定显著性水平，检验参数。X（1）提出假设 H0:0 H1:0 H0:0 H1:0 H0:0 H1:0 （2）选择检验假设H0的统计量，并确定其分布。0

3、(1)/XTt nsnm-=-2(1)Ttna-(1)Ttna-(1)Ttna-(3) 根据样本观测值计算出该统计量的值t。(4) 在给定的显著性水平(01)下，查所选统计量服 从的分布表，确定临界值。(5) 确定拒绝域并做出判断。对应于3种假设的拒绝域形 式分别为： 拒绝域为 拒绝域为 拒绝域为别为两样本均值和样本方差。给定显著性水平，检验参数1与2。 设总体XN(1，12 )，总体YN(2，22 )， X与Y独立，且1222未知。 X1，X2， 是来自总体X的样本， u两个独立样本的t检验 两个独立样本t检验的目的是利用来自两个总体的独立样本，推断两个总体的均值是否存在显著差异。 1nXX

4、 YY1，Y2，Yn2是来自总体Y的样本。 、与S2I、S22分检验步骤如下(1)提出假设 H0:1=2 H1:12 H0:12 H1:12 H0:12 H1:12 ()1212211WXYTt nnSnn-=+-+:22112212(1)(1)2WnSnSSnn-+-=+-(2) 选择检验假设H0 的统计量，并确定其分布式中，(3) 根据样本观测值计算出该统计量的值t。(4) 在给定的显著性水平(01)下，查所选统计量服从的分布表，确定临界值。(5) 确定拒绝域并做出判断。对应于3种假设的拒绝域形式(2)122Ttnna+-12(2)Ttnna-+-12(2)Ttnna+- 拒绝域为 拒绝域

5、为 拒绝域为u两个配对样本的t检验 两个配对样本的t检验的目的是利用来自两个总体的配对样本，推断两个总体的均值是否存在显著差异。 设有n对相互独立的观测结果(X1，Y1)，(X2，Y2)，(Xn，Yn)，令D1=X1-Y1，D2=X2-Y2，Dn=Xn-Yn，则D1，D2，Dn相互独立，DiN(D， D2)。(1) 提出假设 H0:D0， H1:D0 H0:D 0， H1:D0 H0:D0， H1:D0(2) 选择检验假设H0的统计量，并确定其分布。/DdTsn=t(n-1) (3) 根据样本观测值计算出该统计量的值t。(4) 在给定的显著性水平(01)下，查所选统计量 服从的分布表，确定临界

6、值。(5) 确定拒绝域并做出判断。对应于3种假设的拒绝域 形式分别为2T(1)tna-T(1)tna-T(1)tna- u两个独立样本的F检验 两个独立样本的F检验的目的是利用来自两个总体的独立样本，推断两个总体的方差是否存在显著差异。 设总体XN(1，12 )，总体YN(2，22 )， X与Y独立，且1与 2未知。 X1，X2， 是来自总体X的样本，Y1，Y2， 是来自总体 Y 的样本，S12、S22分别为两样本方差。给定显著性水平，检验参数12与22。2nY1nX(1) 提出假设 H0:12=22 H1:1222 H0:12 22 H1:1222 (2) 选择检验假设H0的统计量，并确定其

7、分布。222/121222/122SSSFS=F(n1-1，n2-1) (3) 据样本观测值计算出该统计量的值F。(4) 在给定的显著性水平(01)下，查所选统计量 服从的分布表，确定临界值。(5) 确定拒绝域并做出判断。对应于3种假设的拒绝域 形式分别为： 拒绝域为FF/2 (n-1，n2-1)或 FF 1-/2 (n-1，n2-1) 拒绝域为FF1- (n-1，n2-1) 拒绝域为FF (n1-1，n2-1)2.1.4 用SPSS进行统计假设检验1. One-Samples T Test过程2. Independent-Samples T Test过程3. Paired-Samples T

8、 Test过程4. One-Way ANOVA 过程1. One-Samples T Test过程 (1) 选择菜单AnalyzeCompare means One-Sample T Test，弹出One-Sample T Test对话框。(2) 将需要检验的变量从左侧列表框通过中间的移动按钮选入到右侧的Test Variables框中。(3) 在Test Value框内输入已知的总平均数，默认值为0。(4) 单击“Options”按钮，弹出One-Sample T Test： Options对话框，用于定义相关的选项。(5) 单击“OK”按钮，即可完成单样本均值检验的操作。2. Indepe

9、ndent-Samples T Test过程 (1) 选择菜单AnalyzeCompare means Independent-Samples T Test (2) 将需要检验的变量从左侧列表框通过中间的移动按钮选入到右侧的Test Variable(s)框中。(3) 将分组变量从左侧列表框通过中间的移动按钮选入到右侧的Grouping Variable框中。(4) 单击Define Groups按钮，弹出Define Groups话框(5) 单击“Options”按钮(6) 单击“OK”按钮，即可完成独立样本均值检验的操作。3. Paired-Samples T Test过程(1) 选择菜单

10、AnalyzeCompare means Paired-Samples T Test，弹出Paired-Samples T Test框。(2) 从左侧列表框中同时选两个成对变量，将其移入到右侧的Paired Variables框内。(3) Current Selections项：显示被选中的成对变量。(4) 单击“Options”按钮，弹出Paired-Samples T Test：Options对话框，其内容设置与One-Samples T Test完全相同，此处不再重复。(5) 单击“OK”按钮4. One-Way ANOVA 过程(1) 选择菜单AnalyzeCompare means

11、One-Way ANOVA，弹出One-Way ANOVA对话框。(2) 从左侧列表框中选择观测变量，移入到右侧的Dependent List框内。(3) 从左侧列表框中选择因素变量，移入到Factor框内(4) “Contrasts”按钮和“Post Hoc”按钮少用，略。(5) 单击“Options”按钮，弹出One-Way ANOVA : Options对话框。(6) 单击“OK”按钮 2.3 单因素方差分析2.3.1 方差分析的基本概念 在实际应用中常常要探讨不同实验条件或处理方法对结果的影响。通常是比较不同实验条件下总体均值间差异。方差分析是检验多个总体均值间差异是否显著的一种统计方

12、法。 简言之，方差分析是k个总体均值相等性的检验 。方差分析中常用的术语有：(1) 实验指标：将要考察的结果，用大写字母X、Y等表示。(2) 实验因素：影响实验指标的条件，常用大写字母A、B、 C等表示。(3) 因素水平：因素所处的某种特定状态，常用代表该因素 的字母加下标表示，如A1、A2、B1、B 2等表示。(4) 方差分析：对于影响一个指标的众多因素，若仅使一 个(或一个以上)因素发生变化，而其他因素均保持不变 (或控制在一定范围内)，分析这一个(或一个以上)因素对 指标的影响是否显著，称为单因素(或多因素)方差分析。例：为了比较四种不同肥料对小麦亩产量的影响，取一片土壤肥沃程度和水利灌

13、溉条件差不多的土地，分成16块。化肥品种记为A1 ，A2 ，A3 ，A4，每种肥料分别施在四块土地上，得亩产量如下：肥料品种A亩产量A1981，964，917，669A2607，693，506，358A3791，642，810，705A4901，703，792，883问施肥品种对小麦产量有无影响。实验指标实验因素因素水平单因素方差分析例：为了比较四种不同肥料、三种土壤对小麦亩产量的例：为了比较四种不同肥料、三种土壤对小麦亩产量的影响，化肥品种为影响，化肥品种为A1 ，A2 ，A3 ，A4，土壤记为土壤记为B1，B2，B3每种肥料施在四块土地上，得亩产量如下：每种肥料施在四块土地上，得亩产量如下

14、： 土壤种类土壤种类肥料品种肥料品种B1B2B3A1693，506607，358810，705A2810，705981，964792，883A3791，642810，705843，766A4917，669657，703901，703问施肥品种、土壤种类对小麦产量有无影响。问施肥品种、土壤种类对小麦产量有无影响。实验指标实验指标实验因素实验因素因素水平因素水平两因素方差两因素方差分析分析2.3.2 单因素方差分析的基本原理单因素方差分析的基本原理1单因素方差分析的基本思路单因素方差分析的基本思路【例5.6】 一位教师采用3种不同的教学方法进行教学，现在想要检查3种不同的教学方法的效果，为此随机地

15、选取了水平相当的15位学生。把他们分成3组，每组5个人，每一组用一种方法教学，一段时间后，这位教师给这15位学生进行统考，统考成绩(单位：分)见表5-2。方法统考成绩175627158732818568929037379607581试检验这3种教学方法的效果有没有显著差异。A1A2A3实验指标X1) 提出假设提出假设在不同的教学方法下，统考成绩XiN(i，2)(i=1，2，3)且各Xi相互独立。 H0:1= 2 =3 = H1:1， 2，3不全相等2) 平方和及自由度的分解平方和及自由度的分解全部数据之间存在差异全部数据之间存在差异 35211()TijijSxx=-邋ST 总误差平方和 随机

16、波动引起的误差 SE因素A的不同水平所产生的误差SA35211()TijijSxx=-邋3511()()ijiiijxxxx=-=邋.3511()()iijiijxxxx鬃=-邋352ii11(.)( .)ijijxxxx=-+-邋0=随机误差平方和随机误差平方和SE 效应误差平方和效应误差平方和 SA 3535221111()()ijiiijijxxxx鬃=-+-邋邋35112()()ijijxxxx=+-邋ii.平方和分解公式平方和分解公式 ST = SE + SA自由度的分解自由度的分解 35211()TijijSxx=-邋求和项数共有求和项数共有35=15项，而存在项，而存在3511(

17、)0ijijxx=-=邋因此总误差平方和因此总误差平方和ST的自由度的自由度fT=15-1=14。35211()EijiijSxx=-邋求和项数共有求和项数共有35=15项，而存在项，而存在5(-)0(1,2,3)1xxiij ij=因此随机误差平方和因此随机误差平方和SE的自由度的自由度fE=15-3=12。35211()AiijSxx=-邋求和项数共有求和项数共有3项，而存在项，而存在31()0iixx=-因此效应误差平方和因此效应误差平方和ST的自由度的自由度 fA=3-1=2。自由度分解公式自由度分解公式 fT=fE+fA3) 显著性检验显著性检验ST = SE + SA /AAAEE

18、ESfSFSfS=F(fA，fE) 拒绝域为拒绝域为 WFF(fA，fE)2. 单素方差分析的一般计算步骤单素方差分析的一般计算步骤例：为了比较四种不同肥料对小麦亩产量的影响，取一片土壤肥沃程度和水利灌溉条件差不多的土地，分成16块。化肥品种记为A1 ，A2 ，A3 ，A4，每种肥料施在四块土地上，得亩产量如下：肥料品种肥料品种A亩产量亩产量A1981，964，917，669A2607，693，506，358A3791，642，810，705A4901，703，792，883问施肥品种对小麦产量有无影响。第一步：提出假设：第一步：提出假设：H0：1= 2 =3 = 4 = H1：1，2 ，3

19、， 4不全相等第二步：构造检验统计量及其分布第二步：构造检验统计量及其分布/(1)(1,s)/(s)AAEESsSFF snsSnsS-=-:第三步：计算误差平方和第三步：计算误差平方和23535221111.()433557.8TijijijijXSxxXsn=-=-=邋邋223532111.()264970.3515iAiijiXXSXX=-=-=邋SE=ST-SA=168587.5第四步：列出方差分析表第四步：列出方差分析表第五步：做出统计决策第五步：做出统计决策计算知统计量取值F=6.287，临界值F0.01(3，12)=5.96。由于 F0.01(3，12) F，因此拒绝H0，认为不

20、同的肥料品种对小麦产量的影响有显著性差异。3 3. . 单素方差分析的单素方差分析的SPSSSPSS实现过程实现过程(1) 选择菜单AnalyzeCompare means One-Way ANOVA，弹出One-Way ANOVA对话框。(2) 从左侧列表框中选择观测变量，移入到右侧的Dependent List框内。(3) 从左侧列表框中选择因素变量，移入到Factor框内(4) “Contrasts”按钮和“Post Hoc”按钮少用，略。(5) 单击“Options”按钮，弹出One-Way ANOVA : Options对话框。(6) 单击“OK”按钮 2.4 双因素方差分析 设有因

21、素A 与因素B，因素A 有r个水平 因素B有s个水平 因素A、B的水平的每对组合( ， ) (i = 1 ,2 ,r；j = 1 ,2 ,s) 的样本含量设为m，样本为 。 无交互作用的双因素方差分析模型： 有交互作用的双因素方差分析模型：2.4.1 双因素方差分析的模型双因素方差分析的模型1,A2,A .rA1,B.sBiAjB12,ijijijmyyy2,B ijkijijkyABijkijijkijyABAB符号说明：其中总样本容量 。2.4.2 双因素方差分析的平方和分解双因素方差分析的平方和分解11111111111,2,.,11,2,.,1rsmijkijksmiijkjkrmjijkikmijijkkyyNyyirsmyyjsrmyymnrs m 总偏差