考研数学高数真题分类—微分方程

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2、高阶线性微分方程解的结构，高阶线性微分方程的求解，欧拉方程的求解.学习本章时，首先要熟悉各类方程的形式，记住它们的求解步骤，通过足量的练习以求熟练掌握.在此基础上，还需要具备结合微积分其它章节的知识或者根据问题的几何及物理背景抽象出数学模型，并建立微分方程的能力.一般来说，考生只要具备扎实的一元函数微积分的相关知识，学习本章的时候不会有太大的困难.本章常考的题型有：1.各种类型微分方程的求解，2.线性微分方程解的性质，3.综合应用.常考题型一：一阶方程的求解1可分离变量方程1.【2006-1 4分】微分方程的通解是2.【2008-1 4分】微分方程满足条件的解是3.【1998-2 3分】已知函

3、数在任意点处的增量，且当时，是的高阶无穷小，则等于4.【1994-23分】微分方程的通解为5.【2001-23分】微分方程满足=0的特解为（ ）6.【2005-3 4分】微分方程满足初始条件的特解为 .7.【2008-2 10分】设函数由参数方程确定，其中是初值问题的解. 求.【小结】：如果一个一阶微分方程可以写成的形式，我们就称该微分方程为可分离变量的微分方程.对该方程的两端求不定积分就得到微分方程的通解.2.齐次方程8.【2007-3 4分】微分方程满足的特解为_.9.【1996-3 6分】求微分方程的通解.10.【1993-1 5分】求微分方程满足初始条件的特解11.【1997-2 5分

4、】求微分方程的通解.12.【1999-27分】求初始问题的解.13【2014-1 4分】微分方程满足的解为【小结】：如果一阶微分方程中的函数可以写成的形式，则称该方程为齐次方程.对于齐次方程，我们引入新函数，则.由一元函数微分学的知识，可知.代入原方程可得，整理得.则原方程就被化为了可分离变量的方程，求解该方程得到未知函数，再由就可以得到未知函数的表达式.齐次方程是通过变量代换化为可分离变量方程的。对方程作变量代换将其化作更为已经求解过的类型是解微分方程的一个非常重要的思想。这一点在考试大纲上虽没有明确要求，但也需要引起考生的注意，稍微了解一些其它将对微分方程作变量代换的方法。3.一阶线性微分

5、方程14.【2012-24分】微分方程满足初始条件的解为_。15.【2004-23分】微分方程满足的特解为.16.【2005-2 4分】微分方程满足的解为_ .17.【2008-2 4分】微分方程的通解是.18.【1992-1 3分】微分方程的通解为19.【2011-1 4 分】微分方程满足条件的解_.20.【1992-2 5分】求微分方程的解21.【1993-2 5分】求微分方程满足初始条件的特解.22.【1995-28分】设是微分方程的一个解，求此微分方程满足条件的特解.23.【1996-2 8分】设为连续函数,(1) 求初值问题的解,其中为正的常数；(2) 若(为常数),证明：当时,有.

6、24.【1999-3 6分】设有微分方程，其中试求，在内的连续函数，使之在和内都满足所给方程，且满足条件.25.【2012-2，3 10分】已知函数满足方程及.1）求表达式2）求曲线的拐点【小结】：方程称为一阶线性微分方程.我们常用常数变易法来求解，具体步骤如下：l 先令得到相应的齐次线性方程，这是一个可分离变量方程：，两边积分可得，也即l 将中的常数换为未知函数，得到，再将代入原微分方程.则有： 整理得. 两端积分得.l 再将代回就得到2、考试在微分方程这一处对考生的要求可以分为“识别”和“求解”两方面：由于考试给的方程往往不是我们所熟知的标准形式，因此考生在拿到一个方程之后所需要做的第一件

7、事就是给它归类，识别出它的类型，这要求我们对各种微分方程的具体形式及其变形比较熟悉；锁定了方程的类型之后，就可以按照相应的求解步骤求解了，求解过程中主要需要用到不定积分的计算.4.全微分方程*（数一）26.【1994-1 9分】设具有二阶连续导数，且为一全微分方程，求及此全微分方程的通解【小结】：全微分方程的求解与多元函数积分学中求二元函数全微分的原函数实质上是一样的，其求解方法主要有三种：）特殊路径积分法：；）不定积分法：由得，再对求导得，由该方程可解得。）凑微分法：常考题型二：可降阶的高阶方程的求解*（数一、数二）27.【2000-1 3 分】微分方程的通解为.28.【2002-1 3 分

8、】微分方程满足初始条件，的特解为.29.【2007-2 10分】求微分方程满足初始条件的特解.【小结】：可降阶的高阶微分方程主要有两种，其形式和求解过程如下1）型的方程作变量代换，则有.代入原方程有，这是一个关于未知函数的一阶微分方程.求解它，我们可以求出，设，则积分可以得到.2）型的方程作变量代换，则有.代入原方程有，这是一个关于未知函数的一阶微分方程.求解它，我们可以求出，设，则积分可以得到.常考题型三：二阶线性微分方程1.线性微分方程的解的性质30.【2010-2 4分】设是一阶线性非齐次微分方程的两个特解. 若常数使是该方程的解，是对应的齐次方程的解, 则. . . . 31.【200

9、6-3 4分】设非齐次线性微分方程有两个不同的解为任意常数，则该方程的通解是. . . 32.【2011-2 4分】微分方程的特解形式为( ) 33.【2015-1 4分】设是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解，则( )34.【1997-2 5分】已知是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程.35.【2013-1 4分】已知，是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程的通解为36.【2013-2 4分】已知，是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程满足条件的解为37.【2015-3 4分】设函数是微分方程的解，且在处取得极值，则2.二阶常系数线性微分方程的求解38.【

10、2012-1 4分】若函数满足方程及，则=_39.【2004-24分】微分方程的特解形式可设为.40.【2006-2 4分】函数满足的一个微分方程是()41.【1995-23分】微分方程的通解为_.42.【1996-23分】微分方程的通解为_.43.【1996-1 3分】微分方程的通解为_.44.【1999-1 3分】的通解为45.【2007-1 4分】二阶常系数非齐次微分方程的通解为_.46.【2009-1 4分】若二阶常系数线性齐次微分方程的通解为，则非齐次方程满足条件的解为47.【2001-1 3分】设（为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为.48.【1992-1

11、6分】求微分方程的通解49.【2010-1 10分】求微分方程的通解.50.【1992-29分】求微分方程的解51.【1993-29分】设二阶常系数线性微分方程的一个特解为，试确定常数，并求该方程的通解52.【1994-29分】求微分方程的通解，其中常数53.【1996-25分】求微分方程的通解.54.【2000-3 6分】求微分方程满足条件的解.55.【1998-25分】利用代换将方程化简，并求出原方程的通解.56.【2003-212分】设函数在内具有二阶导数，且是的反函数.(1) 试将所满足的微分方程变换为满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件的解.57.【2010-2 1

12、0分】设函数由参数方程所确定,其中具有2阶导数,且已知求函数.58.【2005-212分】用变量代换化简微分方程，并求其满足的特解.59.【1994-1 5分】设函数满足条件，求广义积分60.【2013-3 4分】微分方程通解为_。3.高于二阶的常系数线性微分方程61.【2008-12 4分】在下列微分方程中，以（为任意常数）为通解的是（ ）.62.【2000-23分】具有特解，的3阶常系数齐次线性微分方程是63.【2010-24分】求3阶常系数线性齐次微分方程的通解.常考题型四：含有变限积分的方程64.【1995-3 6分】已知连续函数满足条件，求.65.【1997-1、3 6分】设函数在上

13、连续，且满足方程，求.66.【2000-2 8分】函数在上可导，且满足等式(1)求导数；(2)证明：当时，成立不等式成立67.【2007-2 10分】设是区间上单调、可导的函数，且满足，其中是的反函数，求.【小结】：1.求解积分方程的一般思想是通过求导消去积分号，将微分方程化为积分方程。很多时候，在求导之前还往往需要对方程做一些变形。2.积分方程的定解条件一般是蕴含在方程中的，所以不需要额外的定解条件。常考题型五：欧拉方程的求解*（数一）68.【2004-1 4分】欧拉方程的通解为. _ 【小结】：形如称为欧拉方程.令则有，.以此类推，将这些关系代回就可以将原方程化为常系数线性微分方程.常考题

14、型六：差分方程*（数三）69.【2001-3 3分】某公司每年的工资总额比上一年增加的基础上再追加百万。若以表示第年的工资总额（单位：百万元），则满足的差分方程是70.【1998-3 3分】差分方程的通解为_.71.【1997-3 3分】差分方程的通解为_.常考题型七：微分方程的应用1.利用微分学的知识列方程72.【1997-1 7分】设函数具有二阶连续导数，而满足，求.73【2014-1、2 、3 10分】设函数具有二阶连续导数，满足若，求的表达式74.【2006-2 12分】设函数在内具有二阶导数，且满足等式(I)验证.(II)若求函数的表达式.75.【1995-1 7分】设曲线位于平面的

15、第一象限内，上任一点处的切线与轴总相交，交点记为.已知，且过点，求的方程.76.【1996-1 7分】设对任意，曲线上点处切线在轴上的截距等于，求的一般表达式.77.【1998-2 8分】设是一向上凸的连续曲线,其上任意一点处的曲率为,且此曲线上点处的切线方程为,求该曲线的方程,并求函数的极值.78.【2000-2 7分】某湖泊的水量为，每年排入湖泊内污染物的污水量为，流入湖泊内不含的水量为，流出湖泊的水量为.已知1999年年底湖中的含量为，超过国家规定指标，为了治理污染，从2000年初起，限定排入湖泊中含污水的浓度不超过.问至少需经过多少年，湖泊中污染物的含量可降至以内？（注：设湖水中的浓度

16、是均匀的）.79.【2001-2 7分】设函数满足，且，求.80.【2001-2 9分】设是一条平面曲线，其上任意一点到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在轴上的截距，且经过点(1) 试求曲线的方程(2) 求位于第一象限部分的一条切线，使该切线与以及两坐标轴所围图形面积最小.81.【2009-212分】设是区间内过的光滑曲线，当时，曲线上任一点处的法线都过原点，当时，函数满足.求的表达式82.【2006-3 8分】在坐标平面上，连续曲线过点，其上任意点处的切线斜率与直线的斜率之差等于（常数）.(1) 求的方程；(2) 当与直线所围成平面图形的面积为时，确定的值.83.【2002-2 8分】求微

17、分方程的一个解,使得由曲线，与直线以及轴所围成的平面图形绕轴旋转一周的旋转体体积最小.84.【2003-1 9分】设, 其中函数在内满足以下条件：，且, （1）求所满足的一阶微分方程；（2）求出的表达式.85.【2003-2 12分】设位于第一象限的曲线过点，其上任一点处的法线与轴的交点为，且线段被轴平分.（1）求曲线的方程；（2）已知曲线在上的弧长为，试用表示曲线的弧长.86.【2011-2 10分】设函数具有二阶导数，且曲线与直线相切于原点，记为曲线在点处切线的倾角，若求的表达式87.【2012-1 10分】已知曲线，其中函数具有连续导数，且，.若曲线L的切线与x轴的交点到切点的距离恒为1

18、，求函数的表达式，并求此曲线L与x轴与y轴无边界的区域的面积.88.【2010-3 4分】设某商品的收益函数为,收益弹性为,其中为价格,且,则= .89.【2015-3 10分】设函数在定义域上的导数大于，若对任意的，曲线在处切线与，轴围城的面积恒为，求.2.利用定积分的几何应用列方程90.【1997-2 6分】设曲线的极坐标方程为,为上任一点,为上一定点,若极径与曲线所围成的曲边扇形面积值等于上两点间弧长值的一半,求曲线的方程.91.【1999-1 6分】设函数二阶可导且，过曲线上任意一点作该曲线的切线及轴的垂线，上述两直线与轴所围成的三角形的面积记为，区间上以为曲边的曲边梯形面积记为，并设

19、恒为1，求此曲线的方程.O 1 xy1lylxM(x,y)C1C3C292.【2005-2 11分】如图，和分别是和的图象，过点(0,1)的曲线是一单调增函数的图象. 过上任一点分别作垂直于轴和轴的直线和. 记与所围图形的面积为；与所围图形的面积为如果总有，求曲线的方程93.【2008-2 11分】设是区间上具有连续导数的单调增加函数，且. 对于任意的，直线，曲线以及轴所围成曲边梯形绕轴旋转一周生成一旋转体. 若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数的表达式.94.【2009-3 10分】设曲线，其中是可导函数，且.已知曲线与直线及所围成的曲边梯形，绕轴旋转一周所得的立体体积值是绕

20、曲边梯形面积值的倍，求该曲线方程。95.【2009-2 10分】设非负函数满足微分方程.当曲线过原点时,其与直线及围成的平面区域的面积为2,求绕轴旋转所得旋转体的体积.96.【19983 7分】设函数在上连续，若由曲线，直线与轴所围成的平面图形绕旋转一周所成的旋转体的体积为.试求所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件的解.3.利用物理规律列方程*（数一、数二）97.【1993-2 6分】设物体从点出发，以速度大小为常数沿轴正向运动，物体从点与同时出发，其速度为，方向始终指向，试建立物体的运动轨迹所满足的微分方程，并定出初始条件98.【1997-2 5分】在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握

21、技术的人进行的.设该人群的总人数为,在时刻已掌握技术的人数为，在任意时刻已掌握新技术的人数为(将视为连续可微变量)，其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数，求.-2 O 2 xyyx=(y)99.【2001-2 11分】一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积成正比，比例常数.假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的，问雪堆全部融化需要多少小时？100.【2003-2 10分】有一平底容器，其内侧壁是由曲线绕轴旋转而成的旋转曲面(如图)，容器的底面圆的半径为2. 根据设计要求，当以的速率向容器内注入液体时，液面

22、的面积将以的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体).（1） 根据时刻液面的面积，写出与之间的关系式；（2）求曲线的方程.(注：表示长度单位米，表示时间单位分.)101.【2004-3 11分】某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为的飞机，着陆时的水平速度为. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注表示千克，/表示千米/小时.102.【1998-3 6分】从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度(从海平面算起)与

23、下沉速度之间的关系.设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为，体积为，海水比重为，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为.试建立与所满足的微分方程，并求出函数关系式.103.【2015-2 10分】已知高温物体置于低温介质中，任一时刻物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为120的物体在20恒温介质中冷却，30min后该物体温度降至30，若要将物体的温度继续降至21，还需要冷却多长时间？【小结】：对微分方程的考查的很大一部分是以应用题的形式出现的，它要求考生不但要具备求解各种基本类型的方程的能力，还要求

24、考生能够根据问题的实际背景抽象出数学模型，建立起微分方程，对考生的综合能力有了更高的要求。建立微分方程没有固定的模式，只有通过练习不断体会、不断总结，这方面的内容需要引起考生足够的重视。具体需要注意以下几点：l 在处理微分方程的综合题时，注意常微分方程与变上、下限积分，反函数与隐函数导数或偏导数的求法，极值问题和级数理论的联系；l 在处理微分方程在几何上的应用题型时，常常要根据定积分的几何意义（面积、体积）和导数的几何意义（斜率、曲率）列出相应的方程。l 在处理微分方程的物理上的应用题型时，常常要利用导数的物理意义（变化率、速度、加速度）、牛顿第二定律及能量守恒律（积分的物理意义）列出相应的方

25、程。4.利用幂级数的知识列方程104.【2002-1 7分】（1）验证函数满足微分方程（2）利用（1）的结果求幂级数和的函数参考答案1.【2006-1 4分】【答案】2.【2008-1 4分】【答案】3.【1998-2 3分】【答案】4.【1994-23分】【答案】5.【2001-23分】【答案】6.【2005-3 4分】【答案】7.【2008-3 10分】【答案】8.【2007-3 4分】【答案】9.【1996-3 6分】【答案】10.【1993-1 5分】【答案】11.【1997-25分】【答案】12.【1999-27分】【答案】13.【2014-1 4分】【答案】14.【2012-2 4

26、分】【答案】15.【2004-23分】【答案】16.【2005-2 4分】【答案】17.【2008-2 4分】【答案】18.【1992-1 3分】【答案】19.【2011-1 4 分】【答案】20.【1992-2 5分】【答案】21.【1993-2 5分】【答案】22.【1995-28分】【答案】23.【1996-28分】【答案】（1）24.【1999-3 6分】【答案】25.【2012-3 10分】【答案】（1）；(2)拐点为26.【1994-1 9分】【答案】，27.【2000-1 3 分】【答案】28.【2002-1 3 分】【答案】或29.【2007-2 10分】【答案】30.【201

27、0-2 4分】【答案】31.【2006-3 4分】【答案】32.【2011-2 4分】【答案】33.【2015-1 4分】【答案】34.【1997-2 5分】【答案】35.【2013-1 4分】【答案】36.【2013-2 4分】【答案】37.【2015-3 4分】【答案】38.【2012-1 4分】【答案】39.【2004-24分】【答案】40.【2006-24分】【答案】()41.【1995-23分】【答案】42.【1996-23分】【答案】43.【1996-1 3分】【答案】44.【1999-1 3分】【答案】，其中为任意常数45.【2007-1 4分】【答案】46.【2009-1 4分

28、】【答案】47.【2001-1 3分】【答案】48.【1992-1 6分】【答案】49.【2010-1 10分】【答案】50.【1992-29分】【答案】51.【1993-29分】【答案】，52.【1994-29分】【答案】当时，通解为；当时，通解为53.【1996-25分】【答案】54.【2000-3 6分】【答案】55.【1998-25分】【答案】56.【2003-212分】【答案】57.【2010-2 10分】【答案】58.【2005-212分】【答案】59.【1994-1 5分】【答案】60.【2013-3 4分】【答案】61.【2008-124分】【答案】62.【2000-2 3分】【答案】63.【2010-24分】【答案】64.【1995-3 6分】【答案