(完整版)高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳

1、1平面向量【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】uuur1.向量：既有大小又有方向的量。记作：AB或a。uurur2.向量的模：向量的大小(或长度)，记作：|AB|或|a|o3.单位向量：长度为1的向量。若是单位向量，则|e|1。rr4.零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】5.平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量。8.三角形法则:9.平行四边形法则：rr以a,b为临边的平行四边形的两条对角线分别为rrrr10.共线定理：aba/b。当0时,11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。r14.平行与垂直：a/b题型1.基本概念判断正误：(1)共

2、线向量就是在同一条直线上的向量。6.相等向量 :长度和方向都相同的向量。7.相反向量 :长度相等,方向相反的向量。uuuuuuBA。uuruuuruuruurABBCAC;ABuuuruuurumrBCCDDEuuuruuuuuurACuuuCB(指向被减数)r,.一，a与b同向；当rr一，。时，盂b反向。r12.向量的模：若a(x,y),y2，2ar2r|a|2，|arrr2b|.(ab)213.数量积与夹角公式:r|a|r|b|coscosrrab-rr-rrab0 x1x2y1y20(3)与已知向量共线的单位向量是唯一的。(4)四边形ABC虎平行四边形的条件是uuuruuurCD。2(2

3、)若两个向量不相等，贝U它们的终点不可能是同一点。uuruuur(5)若ABCD,贝UA、B、C、D四点构成平行四边形。(6)若a与b共线,rrrrb与c共线，则a与c共线。rrrr(7)若mamb，贝Uab。3rrrrrrrrrrrr(10)若ab|a|b|,则a/b。(11)若|ab|ab|,贝Uab。题型2,向量的加减运算r1.设a表示向东走8km”uuuuuiruuur2.化简(ABMB)(BOuuuuuuuuu3,已知|OA|5,|OB|3,则|AB|的最大值和最小值分别为umruiuruuurumrruuurruuuuiur4.已知AC为AB与AD的和向量，且ACa,BDb,贝UA

4、B,ADoumr5.已知点C在线段AB上，且AC3uiur-AB,5uuu则ACuuuuuu_BC,ABuuu_BC。题型3.向量的数乘运算rrrrrr1,计算：2(2a5b3c)3(2a3b2c)rr,r1r2.已知a(1,4),b(3,8)，则3晋1b。2题型4,根据图形由已知向量求未知向量1,已知在ABC中，D是BC的中点，请用向量AB,AC表示ADOuuurruuin2.在平行四边形ABCD中，已知ACa,BD题型5.向量的坐标运算iun1.已知AB(4,5),A(2,3)，则点B的坐标是。uuur2.已知PQ(3,5),P(3,7)，则点Q的坐标是。rrr3.若物体受三个力F1(1,

5、2),F2(2,3),F3(1,4),则合力的坐标为rr(8)若mana,贝Um(9)若a与b不共线，则a与b都不是零向量。b表示“向北走6km，则ab|uuuruuuuBC)OM。ruuuuuurb，求ABAD。4rrr,rr,r八rJ4.已知a(3,4),b(5,2)，求ab,ab,3a2boruuur5.已知A(1,2),B(3,2),向量a(x2,x3y2)与AB相等，求x,y的值。5uuruuur6.已知AB(2,3),BC(m,n),题型6.判断两个向量能否作为一组基底urur1.已知ei,e是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底:,r_r2.已知a(3,4)，能与

6、a构成基底的是()uuu_uuu2.已知O是原点，点A在第一象限，|OA|4 焰,xOA60，求OA的坐标。题型8.求数量积rrrrrrrrr1.已知|a|3,|b|4,且a与b的夹角为60，求(1)ab,(2)a(ab),、r1rr、，r、，r/、(3)(a-b)b,(4)(2ab)(a3b)。2rrr,/rrrr,r、2.已知a(2,6),b(8,10)，求(1)|a|,|b|,(2)ab,(3)a(2ab),rrrr(4)(2ab)(a3b)。A.(3,4)B.(4,3)5555题型7.结合三角函数求向量坐标c.(45)D.(1,43)uur1.已知O是坐标原点，点A在第二象限，|OA|

7、2,xOA150,uuu求OA的坐标。uuuruuuCD(1,4)，则DA7.已知O是坐标原点，A(2,1),B(uuuuur4,8),且AB3BCruuur0，求OC的坐标。uruuiruuA.e1e和e1qB.irururur3ei2e2和4巳6eC.iruuururin山ure13巳和e23qD.e2和ee6题型9.求向量的夹角rrrrr1.已知|a|8,|b|3,ab12,求a与b的夹角。题型13.三点共线问题72.已知a(J3,1),b(2龙,2)，求与b的夹角。3.已知A(1,0),B(0,1),C(2,5)，求cosBAC。题型10.求向量的模,rr一r,r,一，c,rr_rr1

8、.已知|a|3,|b|4,且a与b的夹角为60o，求(1)|ab|,(2)|2a3b|。rrrr,rr,r1r2.已知a(2,6),b(8,10),求(1)|a|,|b|,(5)|ab|,(6)|ab|。2.rrrr,rr3.已知|a|1,|b|2,|3a2b|3,求|3ab|。r题型11.求单位向量【与a平行的单位向量:,r_.r1.与a(12,5)平行的单位向量是2.与m(题型12.向量的平行与垂直向量kab与a3b平行?r一.,一，一rrrr一r.rrr2.已知a是非零向量，abar，且bc,求证：a(bc)。ra十|a|平行的单位向量是r.r1.已知a(1,2),b(3,2),(1)k

9、为何值时，向量kab与a3b垂直？(2)k为何值时81.已知A(0,2),B(2,2),C(3,4),求证：A,B,C三点共线。uuu2.设AB2rruur(a5b),BC2rruuur2a8b,CDrr3(ab),求证：A、B、D三点共线。uurrruurrruuurrr3.已知ABa2b,BC5a6b,CD7a2b,则 7 共线的三点是。4.已知A(1,3),B(8,1),若点C(2a1,a2)在直线AB上，求a的值。uunuuuunr5.已知四个点的坐标O(0,0),A(3,4),B(1,2),C(1,1),是否存在常数t，使OAtOBOC成立？题型14.判断多边形的形状uuuruuir

10、ruuuruuir1.若AB3e,CD5e,且|AD|BC|,则四边形的形状是2.已知A(1,0),B(4,3),C(2,4),D(0,2),证明四边形ABCD是梯形。3.已知A(2,1),B(6,3),C(0,5)，求证：ABC是直角三角形。4.在平面直角坐标系内,uuuuuuuuurOA(1,8),OB(4,1),OC(1,3),求证:ABC是等腰直角三角形。题型15.平面向量的综合应用1.已知(1,0),b(2,1)，当k为何值时，向量kab与a3lb平行?9102.已知a(j3,扼)，且ab,rr|b|2,求b的坐标。3.已知a与b同向，b(1,2)，则rrrab10,求a的坐标。_r_rr4.已知a(1,2),b(3,1),crr.r(5,4)，贝Ucab。5.已知a(m,3),b(2,1),(1)若A与b的夹角为钝角，求m的范围；(2)若a与b的夹角为锐角，求m的范围。6.已知a(6,2),b(3,m)，当m为