二、二重积分的计算法(1)直角坐标

1、二、二重积分的计算法(1)1 1、利用直角坐标计算二重积分、利用直角坐标计算二重积分积分区域的类型积分区域的类型 12:,Dxyxaxb 1. X- -型区域型区域axo 2yx y 1yx Db 1yx xoyab 2yx D特点：穿过特点：穿过D内部且平行于内部且平行于y轴的直线与轴的直线与D的边界相交不多于两点的边界相交不多于两点. 12:,Dyxycyd 2.2.Y-Y-型区域型区域cd1( )xy 2( )xy xOyD1( )xy 2( )xy yxODdc特点：穿过特点：穿过D内部且平行于内部且平行于x轴的直线与轴的直线与D的边界相交不多于两点的边界相交不多于两点. 若若D为为（

2、Y型）型）： 12,yxycyd 21( )( )( , )( , )dycyDf x y dxdydyf x y dx 则则 xy先先对对 后后 积积分分 21()()( , )( , )bxaxDf x y dxdydxf x y dy 则则 12,xyxaxb 若若D（X型）型）：()yx先先 后后 积积分分求二重积分的方法：求二重积分的方法：将二重积分化为两个定积分（二次积分）将二重积分化为两个定积分（二次积分） 若若D不是不是X-型型(或或Y-型型),则将则将D分为几个分为几个 ,Df x y d 1D2D的积分之和就是所给二重积分的值。的积分之和就是所给二重积分的值。区域，使它们为

3、区域，使它们为X-型型(或或Y-型型),几个区域上几个区域上123+DDDDxyo 123,DDDfx y dfx y dfx y d 3D由区域可加性，得由区域可加性，得例例1 1 计算计算 其中其中D是由直线是由直线Dxyd 解法解法1 1 把把D看成看成X-型域型域, ,则则211xDxyddxxydy :1,12,Dyxx y=1, x=2 及及 y=x 所围区域所围区域.321()22xxdx 22112xyxdx 42219848xxxy211xy o2x解法解法2 2 把把D D看成看成Y-型域，则型域，则221ydyxydx Dxyd xy211xy o2y22212yxydy

4、 321(2)2yydy 4221988yy:2,12,Dyxy 例例2 2 计算计算 ，其中，其中D是由抛物线是由抛物线Dxyd 2=yx解解2:2,12,D yxyy (4,2)(1, 1)Dxy221oyxy把把D看作看作Y-型域型域所围成的区域所围成的区域. . 及直线及直线2 xy2221yyDxyddyxydx 2yx 先先 x 后后 y 2xy 2xy 2222222112yyyyxdyxydxydy 2251( (2)y yydy 2221yyDxyddyxydx 4632211422436yyyy 558 Dxy2214oyx下边界的表达式不同，下边界的表达式不同，所以所以要

5、用直线要用直线 x=1若把若把D看作看作X-型域型域, ,由于在由于在 0,1 和和 1,4 上上.21DD 和和将将D分成两个区域分成两个区域1D2D它们分别用以下不等式表示：它们分别用以下不等式表示：2:2,Dxyx 14x 01x 1:,Dxyx Dxyd 12DDxydxyd 2yx 14012xxxxdxxydydxxydyDxyd 12DDxydxyd 计算比较麻烦计算比较麻烦例例3 3 求求221,DIyxy d 112211xIdxyxy dy D1110yx:1, 11D xyx 解解 D既可看作既可看作X-型也可型也可Y-型型若若X型型312221112133xydxx :

6、,1,1Dyx xy 所所围围. .若若Y型型: 1, 11Dxyy 122111yIdyyxy dx 则积分较繁则积分较繁由以上例题可知，在化二重积分为二次由以上例题可知，在化二重积分为二次积分时，为了计算简便，需要选择恰当的积分时，为了计算简便，需要选择恰当的二次积分的次序二次积分的次序. 既要考虑积分区域既要考虑积分区域D的形状，又要的形状，又要考虑被积函数的特性考虑被积函数的特性. Yxy先先 后后 积积分分，解解型型:0,01Dxyy22110000yyyyIdye dxex dy 11yx0D2,:,1,0.yDIe dD yx yx 求求所所围围成成例例4 2110yxIdxe

7、dy 分析分析 若先若先y后后x积分，则积分，则 无法积分无法积分 221120011122yyye dye dye 例例5 5 改变下列积分次序改变下列积分次序解解(1)积分区域为积分区域为221( , ).xxdxf x y dy D :12,x2 .xyx 即即D由四条直线由四条直线所围成的区域所围成的区域. .,yx2 ,yx1,x 2x xyOyx2yx12D( (从给出的积分限知从给出的积分限知) )若改为先对若改为先对x后对后对y积分积分, ,221( , )xxdxf x y dy211( , )ydyf x y dx 4222( , ).ydyf x y dx xyOyx2y

8、x121241D2D2yx xyD21,1:1 yyxD2:2, 242yDxy 解解(2)积分区域为积分区域为100( , )xdxf x y dy 1:D01,x 0;yx2210( , ).xdxf x y dy 12.DDD2:D12,x02.yxxyo2yx yx12(1,1)21D2D0y 0 x 1x2x0y 100( , )xdxf x y dy 若改为先对若改为先对 x 后对后对 y 积分积分,2210( , )xdxf x y dy 120( , ).yydyf x y dx xyo2yx yx12(1,1)21D2D1x1y2xy xyD例例6 6 求两个底面半径相同的直

9、交求两个底面半径相同的直交圆柱所围圆柱所围解解立体的体积立体的体积. .设圆柱底面半径为设圆柱底面半径为.R两个圆柱两个圆柱面方程面方程分别为分别为222,xyR 222.xzR 只需求出只需求出利用利用对称性对称性,乘以乘以8 8即可即可. .yxz222x +z =R222x + y = Ro第一卦限部分的体积第一卦限部分的体积 , ,1Vyxz222xzR 222xyR o立体的体积立体的体积: :1( , )8xyDVf x y dV 1DVzdxdy 22.xyDRx dxdy 曲顶曲顶22( , )zf x yRx xyD221xyDVRx dxdy 222200.RRxdxRx

10、dy yxz222xzR222xyRoRx22yRxxyo222()xyRRR22220( )0RRxRxydx 220()RRx dx 231()30RR xx 32.3R 所求立体的体积为所求立体的体积为31168.3VVR 221xyDVRx dxdy 222200.RRxdxRx dy 000( )() ( )cycdyf x dxcx f x dx 0,7fxc 设设在在上上连连例例续续，证证明明证证 由等式左边，得由等式左边，得:0,0Dxyyc改变积分顺序，得改变积分顺序，得:,0D xycxc00( )() ( )cccxdxf x dycx f x dx 左左边边右右边边所以

11、，所以，xyocxy yx 小结小结一、利用直角坐标计算一、利用直角坐标计算21()()( , )( , )bxaxDf x y dxdydxf x y dy 则则 12,xyxaxb 若若D（X型）型）：()yx先先 后后 积积分分计算二重积分计算二重积分-化为二次积分化为二次积分axo 2yx y 1yx Db若若D为为（Y型）型）： 12,yxycyd 21( )( )( , )( , )dycyDf x y dxdydyf x y dx 则则 xy先先对对 后后 积积分分1( )xy 2( )xy yxODdc对于一般区域可利用对于一般区域可利用区域可加性，将重积分区域可加性，将重积分化为若干个重积分之和化为若干个重积分之