车灯线光源的优化设计模型

1、车灯线光源的优化设计模型摘 要： 本文利用几何光学的原理,从线光源上某一点光源出发作反射;根据能量守恒定律及光传播的球面性,给出直射光和反射光能量之间的关系.从而证明反射光远远强于直射光,故而,在计算测试屏某点的光强度时,可将直射光忽略,只考虑反射光. 根据点光源的反射强度,可计算出点光源到达B和C点的光强度,设线光源的长度为2a,则从-a到a对点光源积分,可算出B点和C点的光强度为:IB=1300-y0arcta425000250002600-y0arcta425000250000.59I00.59I0a-a Ic=a-a根据以知B点的光强度为2单位,C点的光强度为1单位,利用以上方程可求得

2、:a=2.34mm. 通过点光源在抛物面上任一点处反射光线的计算机模拟，给出了线光源反射线在测试屏上形成的亮区。关 键 词：光强度，点光源，线源的功率, 亮区光一 问题的提出：汽车头部的车灯形状为一旋转抛物面,且已经告知开口半径和深度,所以可以得出抛物面的焦距,经过适当建立直角坐标系,可以得到抛物面的方程. 在焦点前放置的测试屏用以测试反射光的光强度,使其两点上的光强度各不小于某一额定值. 在设计规范的条件下,计算线光源长度,使线光源的功率最小. 且在此基础上,精确画出测试屏上反射光的亮区.最后提出对规范合理性的意见.二 基本假设：1. 根据题目的要求,我们只考虑反射光的情形。2. 在车灯内部

3、,只考虑光线的一次反射。3. 假设光线在抛物面内的每一点上都是镜面反射。4. 假设线光源上每一个点的光强度都是一样的。5. 反射光在B点的光强度不小于一个单位,在C点的光强度不小于两个单位.三 问题的分析和解决（一）.求线光源的长度：1. 旋转抛物面的方程为x2+y2=4fz，其中f 为其焦距,据已知条件,可知道其焦距 f=15mm。2. 以F为球心.以R为半径,做一球面.如图1.图1则R=r+h22 =36+6.622=36.6mmS直r23.求直射的面积：根(2+H2)，其中r=36mm,H=R-h=30mm,则S直2196mm4. 求反射的面积：S反总面积S-S直4R2196=3162.

4、24mm5. 不妨假设线光源上的任一点的点光源的光强度为I0,则其反射光的强度22第2页I反I04R2S反0.59I06. 下面就线光源上任意一点M的反射情况讨论,如图2所示.图2假设r2>r1，以r2为半径作一球面，首先考虑B点。以焦点为坐标原点,以对称轴为X轴.建立直角坐标系.将线光源上任一点的坐标设为(0,y0)，B点的坐标为(25000,1300),则有 MB=根据能量守恒我们可以得到公式IsbdsBdsB'250002+(1300-y0)2IsbdsB=Is'dsBB'，则Is'B=0.59I04r22dsBdsB'=0.59I04r2=

5、2r222=0.59I04MB2MB即 任意一点M到B的光强度Is0.59I04MB2'B设线光源的两端点在坐标系的坐标分别为(0,a), (0,-a), 则对Is从a到a积分得'BB点的光强度aIB=-a4MB0.59I02a=-a4250000.59I02+(1300-y0)20即IB=0.59I0425000arctan1300-y025000a-a又因为题设中要求点B的光强度IB不小于2个单位, 即要求IB2，设第3页I0=11010个单位， 即1300+a1300-aarctan-arctan 2 (*1) 525000250001100.59I0同理,考虑C点的光强

6、度。C的坐标(25000,2600).可知MC=则有a250002+(2600-y0) 2IC=-a40.59I0MCa0=2-a425000250000.59I02+(2600-y0)20， 即 Ic=0.59I0425000arctan2600-y0a-a 同上，要求2600+a2600-aarctan-arctan 1 (*2) 525000250001100.59I0联立(*1) ，(*2)式，得到a=2.34mm;2a=4.68mm因为线光源越短，则线光源的功率越小。所以在满足条件的情况下，线光源的最小长度为4.68mm.。（二）.求反射光的亮区建立坐标系如图3所示图3其中旋转抛物面

7、的方程为: x+z=60y,令y=15t,则 222第4页y=15t202 , x=30tcos0y21.60t1.2z=30tsin线光源上一点P到M点的向量,法向量分别为: MP=-x,15-y,z0-z,n=-2x,60,-2z MP=x+(y-15)+(z-z0)=22225t+450t-60z0tsin+225+z0 422 n=4x+3600+4z22=60+t 2nMPn0= , MP0=nMP(利用如图4所示图4+=n2n2 ;=n- ;n- 2=1;(n-)(n-)=1 ; 2n -2n+1=1;=2;=2(n0)n0-.其中.,为单位向量) n解 r=rM+sX=x+sxY

8、=y+syZ=z+sz将Y=25000+15=25015代入方程,得s=从而得X=x+(25015-y)25015-yy xyzy Z=z+(25015-y)迭代程序见附录.坐标图如下:第5页(三). 评价该设计规范的合理性:在本设计规范中,在灯的焦点处放置一线光源,经程序计算,可知它的照射范围是一个将B点做有面积处理, 不必考虑具体的反射情况,使得模型大大的简化。该设计规范基本上可以满足实际要求,但也有不合理的地方。因为线光源的长度和A,B,C三点的距离以及焦点与测试屏的距离不是处于一个数量级上面,导致有效数字太多,计算比较繁琐。所以可以适当的减小测试屏与车灯之间的距离. 并且缩小AB和AC

9、的长度 .因为车宽有一定的限度,一般情况下要求光源反射在3米以内,如果线光源的反射在3米以外,则造成不必要的浪费.四. 参考文献:1. 解析几何 北京大学出版社2. 数学建模案例分析 海洋出版社3. 数学建模原理与方法 海洋出版社4. 光学 北京师范大学出版社五. 附录holdfor xp=-1.56:.17:1.56for t=0:0.1:1.2for cta= 0:pi/60:2*pix=30*t*cos(cta)y=15*t*tz=30*t*sin(cta)第6页Nm=(-2)*x,60,(-2)*zMp=xp-x,15-y,(-1)*zNmo=60*sqrt(1+t*t)Mpo=sqrt(xp*xp-2*xp*x+(15+y)*(15+y) aef=1/Mpo*MpN=1/Nmo*Nmnj=aef.*Nneiji=nj(1)+nj(2)+n