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1、1第六节 第一章 两个重要极限21sincosxxx圆扇形AOB的面积1sinlim.10 xxx证证: 当即xsin21x21xtan21亦即)0(tansin2xxxx),0(2x时，)0(2 x, 1coslim0 xx1sinlim0 xxx显然有AOB 的面积AOD的面积DCBAx1oxxxcos1sin1故有3当20 x时xxcos1cos102sin22x222x22x0)cos1(lim0 xx注注4例例2. 求.tanlim0 xxx解解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01例例3. 求.arcsinlim0 x
2、xx解解: 令,arcsin xt 则,sintx 因此原式tttsinlim0 1lim0tttsin15nnnRcossinlim2Rn例例4. 求.cos1lim20 xxx解解: 原式 =2220sin2limxxx212121例例5. 已知圆内接正 n 边形面积为证明: .lim2RAnn证证: nnAlimnnnnRnAcossin22R说明说明: 计算中注意利用1)()(sinlim0)(xxx20sinlimx2x2x2162.exxx)1(lim1证证: 当0 x时, 设, 1nxn则xx)1 (111)1 (nnnn)1 (11nnn)1 (lim11 limn111)1
3、(nn111ne11)1 (limnnn1)1(lim11）（nnnneexxx)1(lim17当x, ) 1( tx则,t从而有xxx)1 (lim1) 1(11)1 (limttt) 1(1)(limtttt11)1 (limttt)1 ()1(lim11tttte故exxx)1 (lim1说明说明: 此极限也可写为ezzz1)1 (lim0时, 令8例例6. 求.)1 (lim1xxx解解: 令,xt则xxx)1 (lim1ttt )1 (lim1 1limttt)1 (1e1说明说明 ：若利用,)1 (lim)()(1)(exxx则 原式111)1 (limexxx9limx例例7. 求.)cos(sinlim11xxxx解解: 原式 =2)cos(sinlim211xxxx2)sin1 (lim2xxx)sin1(2xexx22sinx2sin110内容小结内容小结 两个重要极限两个重要极限1sinlim) 1 (0e)11(lim)2(或e1)1(lim0注注: 代表相同的表达式11思考与练习思考与练习填空题填空题 ( 14 );_sinlim. 1xxx;_1sinlim. 2xxx;_1sinlim. 30 xxx;_)11 (lim. 4nn
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