定积分与不定积分

1、1. .定积分与不定积定积分与不定积分的关系分的关系一、积分上限函数一、积分上限函数二、二、牛顿牛顿- -莱布尼茨公式莱布尼茨公式2 如果物体运动的速度函数为v=v(t)，那么在时间区间a,b内物体的位移s可以用定积分表示为.d)(battvs另一方面，如果已知该变速直线运动的路程函数为s=s(t)，则在时间区间a,b内物体的位移为s(b)s(a)， 所以又有 ).()(d)(asbsttvba由于 ，即s(t)是v(t)的原函数，这就是说，定积分 等于被积函数v(t)的原函数s(t)在区间a,b上的增量s(b)s(a).)()(tvtsbattvd)(3一、积分上限函数 设函数f(x)在区间

2、a,b上连续，则对于任意的x( )，积分 存在，且对于给定的x ( )，就有一个积分值与之对应，所以上限为变量的积分 是上限x的函数.bxaxaxxfd)(bxaxaxxfd)(注意：积分上限x与被积表达式f(x)dx中的积分变量x是两个不同的概念，在求积时(或说积分过程中)上限x是固定不变的，而积分变量x是在下限与上限之间变化的，因此常记为.d)(xattf4上具有导数，且在的积分所确定的函数上连续，则变上限在区间如果函数,)( d)()( ,)( babxattfxbaxfxa定理6.3).( )(d)(dd)( bxaxfttfxxxa5xaxxattfttfd)(d)(=xxxxaxx

3、xxattfttfttfttfd)(d)(d)(d)()() (0 xxxx，不妨设证明),( )(d)(xxxxfttfxxx由积分中值定理有).()( fxxfx即6数的连续性，有根据导数的定义以及函，从而时，有当 0 xxxxx结论：变上限积分所确定的函数 对积分上限x的导数等于被积函数f(t)在积分上限x处的值f(x).xattfd)(，)()(limlim)( 0 xffxxxx).(d)(dd)( xfttfxxxa即7由上述结论可知：尽管不定积分与定积分概念的引入完全不同，但彼此有着密切的联系，因此我们可以通过求原函数来计算定积分.,)(d)()( ,)( 上的一个原函数在是上连

4、续，则在区间如果函数baxfttfxbaxfxa定理6.4(原函数存在定理)8.)()( CxxF上的任一个原函数，则在是上连续，且在区间设函数,)()(,)( baxfxFbaxf定理6.5，)()(d)(aFbFxxfba).()()(d )( aFbFxFxxfbaba或记作二、牛顿牛顿莱布尼兹公式 证明的一个原函数，也是而的一个原函数，是)(d)()()()(xfttfxxfxFxa9.)()( CaaFax 有令，有令CbbFbx)()( 上式称为牛顿-莱布尼茨公式，也称为微积分基本定理.，)()(d)(aFbFttfba.)(0d)()(CaFttfaaa，)()()d()()()

5、()()(aFbFttfbaFbFCbFbba，即)()(d)( aFbFxxfba10 牛顿莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积函数 f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数在区间a,b上的增量F(b)F(a)即可.该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，揭示了定积分与不定积分之间的内在联系.11.d102xx例1 求的一个原函数，是被积函数因为xx233 解.31333d 0133103102xxx莱布尼茨公式，有根据牛顿12例2 求.d11112xx11112arctand11xxx莱布尼茨公式，有根据牛顿的一个原函数，是被积函数因为 11arctan 2xx 解.2 )4(4) 1arctan(1arctan13. d)1ln(dd12xttx例3 求).1ln(d)1ln(dd3 . 6212xttxx有根据定理 解14例4 求.darctanlim200 xxxtt必达法则，有型的极限问题，利用洛这属于00 xttxttxxxxx)(darctandd darctan200200limlim 解xxx)()(arctan21lim0 x