《自动控制原理》 胡寿松第05#6章 频域稳定裕度.ppt

1、5-45-4 频域稳定裕度频域稳定裕度1 1 稳定裕度的定义稳定裕度的定义 控制系统控制系统稳定与否稳定与否是是绝对稳定性绝对稳定性的概念。而对的概念。而对一个稳定的系统一个稳定的系统而言，还有一个而言，还有一个稳定的程度稳定的程度，即，即相相对稳定性对稳定性的概念。的概念。 相对稳定性相对稳定性与系统的与系统的动态性能指标动态性能指标有着密切的有着密切的关系。在关系。在设计设计一个控制系统时，不仅要求它一个控制系统时，不仅要求它必须是必须是绝对稳定绝对稳定的，而且还应保证系统的，而且还应保证系统具有一定的稳定程具有一定的稳定程度度。只有这样，才能不致因系统参数变化而导致系。只有这样，才能不致

2、因系统参数变化而导致系统性能变差甚至不稳定。统性能变差甚至不稳定。 对于一个最小相位系统而言，对于一个最小相位系统而言，曲线越靠近曲线越靠近(-1(-1，j0)0)点，系统阶跃响应的振荡就越强烈点，系统阶跃响应的振荡就越强烈，系统的，系统的相对相对稳定性就越差，稳定性就越差，下图是开环幅相曲线和单位阶跃响下图是开环幅相曲线和单位阶跃响应曲线对应关系的示意图。应曲线对应关系的示意图。(a)(a)中：中：Z=P-2N=2Z=P-2N=2，不稳定；，不稳定；(b)(b)中：中：（-1-1，j0j0）穿越次数）穿越次数不计不计，临界稳定；，临界稳定；(c)(c)中：中： Z=P-2N=0Z=P-2N=

3、0，稳定；，稳定；(d)(d)中：中： Z=P-2N=0Z=P-2N=0，稳定。但，稳定。但(d)(d)的相对稳定性高些。的相对稳定性高些。 系统的系统的相对稳定性相对稳定性可用可用开环频率特性曲线开环频率特性曲线（开环开环幅相曲线幅相曲线和和开环对数曲线开环对数曲线）对对(-1(-1，j0)0)点的接近程度点的接近程度来表示。来表示。通常，这种接近程度是以通常，这种接近程度是以相角裕度相角裕度和和幅值裕幅值裕度度来来度量度量的。的。 在不同的在不同的开环频率特性曲线中，开环频率特性曲线中，相角裕度和幅值相角裕度和幅值裕度的定义形式有所不同，但本质上相同，裕度的定义形式有所不同，但本质上相同，

4、无论是在无论是在开环幅相曲线开环幅相曲线还是还是开环对数曲线开环对数曲线中，它们都是反映曲中，它们都是反映曲线线对对(-1(-1，j j0)0)点的接近程度。点的接近程度。 相角裕度和幅值裕度是系统相角裕度和幅值裕度是系统开环频率指标开环频率指标，它与，它与闭环系统的动态性能闭环系统的动态性能密切相关。密切相关。 （1 1）相角裕度）相角裕度 在开环幅相频率特性曲线中定义在开环幅相频率特性曲线中定义 相角裕度相角裕度是指开环是指开环幅相曲线幅相曲线在在截止频率截止频率c c处处的的向向量量与与负实轴的夹角负实轴的夹角，常用希腊字母，常用希腊字母表示。表示。 在开环对数相频曲线中定义在开环对数相

5、频曲线中定义 相角裕度相角裕度是指开环是指开环对数相频曲线对数相频曲线在在截止频率截止频率c c处处的的相角相角与与-180-180线之间的线之间的角度差角度差。 )(180)180()(cc注意：注意：相角裕度相角裕度在截止频率在截止频率c c处定义的。处定义的。根据相角裕度的定义，可得其根据相角裕度的定义，可得其计算公式：计算公式：物理意义：物理意义：稳定系统在稳定系统在截止频率截止频率c c处处若相角再迟若相角再迟后一个后一个角度角度，则系统处于，则系统处于临界状态临界状态；若相角迟后；若相角迟后大于大于 ，系统将变成不稳定。，系统将变成不稳定。 j j0 01 1c cG(j)G(j)

6、(j(jc c) )G(jc)(jc)-1-1x上述两图中，上述两图中，均为正值均为正值（2 2）幅值裕度）幅值裕度 在开环幅相频率特性曲线中定义在开环幅相频率特性曲线中定义 幅值裕度幅值裕度是指在是指在(-1,(-1,j0)0)点点处的幅值处的幅值1 1与开环幅相与开环幅相曲线在曲线在穿越频率穿越频率x点点处的处的幅值之比幅值之比，用字母，用字母h表示。表示。 计算公式：计算公式： 在开环对数幅频特性曲线中定义在开环对数幅频特性曲线中定义 幅值裕度幅值裕度是指是指零分贝线零分贝线与与穿越频率穿越频率x点点处的处的对数对数幅度值幅度值之间的之间的距离。距离。 )()(1)(1xxxjHjGAh

7、)()()(lg20)()(lg200dBjHjGjHjGhxxxx物理意义：物理意义：稳定系统的开环增益再增大稳定系统的开环增益再增大h倍，倍，则在穿越频率则在穿越频率x点处的幅值等于点处的幅值等于1 1，开环幅相，开环幅相曲线正好通过曲线正好通过(-1(-1，j0)0)点，系统处于临界稳定点，系统处于临界稳定状态；若开环增益增大状态；若开环增益增大h倍以上，系统将变成倍以上，系统将变成不稳定。不稳定。 注意：注意：幅值裕度幅值裕度在在穿越频率穿越频率x处定义的。处定义的。 幅值裕度和相角裕度在半对数坐标图中幅值裕度和相角裕度在半对数坐标图中的表示如下图所示的表示如下图所示。j j0 01

8、1c cG(j)G(j)(j(jc c) )G(jc)(jc)-1-1xh1例例5-135-13 已知单位反馈系统已知单位反馈系统3) 1()(sKsG设设K分别为分别为4和和10时，试确定系统的稳定裕度。时，试确定系统的稳定裕度。例例5-135-13 已知单位反馈系统已知单位反馈系统解：解：系统开环频率特性表达式为：系统开环频率特性表达式为：3) 1()(sKsG设设K分别为分别为4和和10时，试确定系统的稳定裕度。时，试确定系统的稳定裕度。3222323)1 ()3()31(31) 1()(jKarctgKjKjG令令0)(ImjG可得：可得：3令令1| )(|jG可得：可得：111323

9、2KK即即3x即即132Kc 于是，可分别求出于是，可分别求出K=4=4和和K=10=10时，开环系统在截时，开环系统在截止频率止频率c c点处的相角和开环系统在穿越频率点处的相角和开环系统在穿越频率x点处点处的幅度值，进而求出系统的稳定裕度。的幅度值，进而求出系统的稳定裕度。5.031)331(4)1(4)(3223xxjjG（1 1）K=4K=4时：时：3222323)1 ()3()31(31) 1()(jKarctgKjKjG9 .1523)(233. 111614233. 1332ccccarctg1 .279 .152180)180()(c25 . 01)()(1xxjHjGh25.

10、131)331(10)1(10)(3223xxjjG（1 1）K=10K=10时：时：3222323)1 ()3()31(31) 1()(jKarctgKjKjG0 .1873)(908. 11100110908. 1332ccccarctg0 . 70 .187180)180()(c8.0|25.1|1)()(1xxjHjGh例例5-14 5-14 典型二阶系统如图所示，典型二阶系统如图所示，试确定系统的相角试确定系统的相角 裕度。裕度。)2(2nnss- -R(s)C(s)图图 典型二阶系统典型二阶系统例例5-14 5-14 典型二阶系统如图所示，典型二阶系统如图所示，试确定系统的相角试确

11、定系统的相角 裕度。裕度。解：解：典型二阶系统的开环频率特典型二阶系统的开环频率特性表达式为：性表达式为：)902(4)2()()()(22222nnnnnarctgjjjGjHjG令令1| )(|cjG可得：可得：2124222221414ncnccn)2(2nnss- -R(s)C(s)图图 典型二阶系统典型二阶系统2124214122290)(180)180()(arctgarctgarctgcnnccc因为因为014214421442424dd2124214nc故故c c为为n n的增函数和的增函数和的减函数。的减函数。相角裕度相角裕度只与只与有关，且为有关，且为的增函数，即的增函数，

12、即越大，越大，越大，系统越大，系统稳定性就越好，但系统响应速度变差。稳定性就越好，但系统响应速度变差。 对于高阶系统，一般计算截止频率对于高阶系统，一般计算截止频率c c比较困难比较困难, ,在在工程设计和分析工程设计和分析时，只要求粗略估计系统的相角裕时，只要求粗略估计系统的相角裕度，故一般可根据对数幅频特性渐近线确定截止频率度，故一般可根据对数幅频特性渐近线确定截止频率c c，即令即令L La a( (c c)=0)=0，求取，求取c c，再由相频特性确定相，再由相频特性确定相角裕度。角裕度。 对于最小相位系统，要使系统稳定，要求相角裕对于最小相位系统，要使系统稳定，要求相角裕度大于度大于

13、0 0，幅值裕度大于，幅值裕度大于1 1, ,非最小相位系统不一定成立。非最小相位系统不一定成立。为保证系统具有一定的相对稳定性，稳定裕度不能太为保证系统具有一定的相对稳定性，稳定裕度不能太小。在工程设计中，一般取小。在工程设计中，一般取 （对（对应应 ）。）。 27030h，dBh6lg205-55-5 闭环系统的频域性能指标闭环系统的频域性能指标 在频域中对系统进行分析、设计时，通常是在频域中对系统进行分析、设计时，通常是以频域指标作为依据的，但是不如时域指标来得以频域指标作为依据的，但是不如时域指标来得直观、准确。因此，须进一步探讨直观、准确。因此，须进一步探讨频域指标频域指标与与时时域

14、指标域指标之间的关系。之间的关系。 闭环系统闭环系统的频域性能指标主要有的频域性能指标主要有4 4个：个：系统带系统带宽、带宽频率、谐振峰值、谐振频率。宽、带宽频率、谐振峰值、谐振频率。 开环系统开环系统的频域性能指标主要有的频域性能指标主要有3 3个：个：相角裕相角裕度、幅值裕度、截止频率。度、幅值裕度、截止频率。1 1 闭环系统的频带宽度（闭环系统的频带宽度（带宽定义带宽定义） 设设( (j) )为闭环系统的频率特性（可通过计算或为闭环系统的频率特性（可通过计算或实验方法获得），则闭环系统的实验方法获得），则闭环系统的带宽频率定义带宽频率定义如下：如下： 闭环幅频特性下降到频率为零时的分贝

15、值以下闭环幅频特性下降到频率为零时的分贝值以下3 3分分贝时，对应的频率贝时，对应的频率 b b称为称为带宽频率，带宽频率，即即带宽频率带宽频率 b b为为满足下列方程的解：满足下列方程的解：3)0(lg20)(lg20jjb对于对于型和型和型以上系统，由于型以上系统，由于 故有：故有： 1)0(j)(3)(lg20dBjb显然，当显然，当 b时，有时，有3)0(lg20)(lg20jj频率范围（频率范围（0 0， b）称为系统的称为系统的带宽带宽（频带宽度频带宽度）。）。20 lg()20 lg( 0)320 lg()20 lg( 0)3()20 lg3( 0)()120 lg20 lg(

16、0)2()10.707( 0)2bbbbbjjjjjjjjjj )0(707.0)(jjb（1 1）一阶系统带宽）一阶系统带宽 b 设一阶系统的闭环传递函数为设一阶系统的闭环传递函数为11)(Tss因为其开环系统为因为其开环系统为I I型，故有型，故有。1| )0(|j 于是，根据带宽定义可求出一阶系统的带宽如下于是，根据带宽定义可求出一阶系统的带宽如下: :311lg2031lg2011lg203)0(lg20)(lg202222bbbTTjjTTTbbb1211121lg2011lg202222 可见，一阶系统的带宽与时间常数可见，一阶系统的带宽与时间常数T T成反比关系。成反比关系。 根

17、据一阶系统的时域根据一阶系统的时域动态性能指标公式动态性能指标公式可得：可得：TthethdTtdd69.021)(211)(/Ttttr202.212延迟时间：延迟时间：上升时间：上升时间：调节时间：调节时间：TthethsTtss395.0)(95.01)(/bdTt69. 069. 0brTt202. 2202. 2bsTt33延迟时间：延迟时间：上升时间：上升时间：调节时间：调节时间： 说明说明 b和和延迟延迟时间、时间、上升时间、上升时间、调节时间也成反比。调节时间也成反比。（2 2）二阶系统带宽）二阶系统带宽 b 设二阶系统的闭环传递函数为设二阶系统的闭环传递函数为故有故有。1|

18、)0(|j2222)(nnnsss 据带宽频率定义可知，据带宽频率定义可知， 等于等于 b b时，系统幅值应时，系统幅值应是零频率幅值的是零频率幅值的0.7070.707倍，因此可得倍，因此可得214)1 (1)0()(222222nbnbbjj系统的幅频特性：系统的幅频特性：2222224)1 (1| )(|nnj可见，可见， b与自然振荡频率与自然振荡频率 n成正比关系成正比关系。于是可得：于是可得：5 . 0222 1)21 ()21(nb214)1(1)0()(222222nbnbbjj设设2nbA0)21 (1)21 (1)21 (422222ddA，则有，则有 即即A与与成反比关系

19、，根据假设，又成反比关系，根据假设，又A A与与 b成正比成正比关系，故可得，关系，故可得， b b与阻尼比与阻尼比成反比关系成反比关系。5 . 0222 1)21 ()21(nb b与振荡频率与振荡频率 n成正比关系成正比关系 b b与阻尼比与阻尼比成反比关系成反比关系nst5 . 321npt21nrtndt22 . 06 . 01（=5=5时）时）二阶系统动态性能指标二阶系统动态性能指标 由上述比较可得，一阶系统、二阶系统由上述比较可得，一阶系统、二阶系统系统单位阶系统单位阶跃响应的速度和带宽成正比关系跃响应的速度和带宽成正比关系，对于任意阶次的控制，对于任意阶次的控制系统，此结论仍成立

20、。系统，此结论仍成立。 带宽是频域分析和设计中一项非常重要的性带宽是频域分析和设计中一项非常重要的性能指标。能指标。系统对高于频率系统对高于频率 b b的输入信号衰减很大，的输入信号衰减很大，只允许频率低于只允许频率低于 b b的输入信号很好地通过。的输入信号很好地通过。 带宽较宽，表明系统允许通过频率较高的输带宽较宽，表明系统允许通过频率较高的输入信号；带宽较窄，说明系统只能通过频率较低入信号；带宽较窄，说明系统只能通过频率较低的输入信号。的输入信号。 带宽较宽的系统，一方面重现输入信号的能带宽较宽的系统，一方面重现输入信号的能力较强；但另一方面，抑制输入端高频干扰的能力较强；但另一方面，抑

21、制输入端高频干扰的能力较弱。力较弱。 综上分析，控制系统的带宽的选择，需综合综上分析，控制系统的带宽的选择，需综合考虑各种输入信号的频率范围及其对系统性能的考虑各种输入信号的频率范围及其对系统性能的影响，使系统影响，使系统对控制输入信号具有较好的跟踪能对控制输入信号具有较好的跟踪能力力和和对扰动输入信号具有较强的抑制能力对扰动输入信号具有较强的抑制能力。 最后值得指出的是，系统的截止频率最后值得指出的是，系统的截止频率 c c和带和带宽频率宽频率 b b密切相关。如果两个系统的稳定程度相密切相关。如果两个系统的稳定程度相仿，则仿，则 c c大的系统，大的系统， b b也大；反之亦然，即也大；反