机械制图第二章投影基础

1、机械制图第二章投影基础机械制图第二章投影基础制图基本知识与技能制图基本知识与技能1投影基础投影基础2基本几何体基本几何体3组合体组合体4画法几何部分画法几何部分点的投影点的投影直线的投影直线的投影平面的投影平面的投影几何元素的相对位置几何元素的相对位置正投影法与三视图正投影法与三视图投影基础投影基础正投影法正投影法投影方法投影方法中心投影法中心投影法平行投影法平行投影法正投影法正投影法斜投影法斜投影法投影法就是投射线通过物体，向选定的投影法就是投射线通过物体，向选定的面投射，并在该面上得到图形的方法。面投射，并在该面上得到图形的方法。所有的投射线都通过投射中所有的投射线都通过投射中心的投影法。

2、心的投影法。投影中心距离投影面无穷投影中心距离投影面无穷远时，可视为所有的投射远时，可视为所有的投射线都相互平行。线都相互平行。正投影法正投影法中心投影法中心投影法投射线投射线投射中心投射中心物体物体投影面投影面投影投影物体位置改变，物体位置改变，投影大小也改变投影大小也改变投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。的大小有影响。度量性差度量性差投影三要素：空间物投影三要素：空间物体、投射线、投影面。体、投射线、投影面。斜投影法斜投影法投射线互相平行且投射线互相平行且垂直于投影面垂直于投影面投射线互相平行且投射线互相平行且倾斜于投

3、影面倾斜于投影面正投影法正投影法正投影法正投影法平行投影法平行投影法投影大小与物体和投影面之间的距离无关。投影大小与物体和投影面之间的距离无关。度量性好度量性好工程图样多数采用工程图样多数采用正投影法绘制。正投影法绘制。正投影法正投影法平行投影的基本性质平行投影的基本性质 同素性同素性(类似性类似性)点的投影仍是点，直线的投影一般仍为直线。点的投影仍是点，直线的投影一般仍为直线。真实性真实性当直线或平面与投影面平行时，则直线或平面在该投影面上当直线或平面与投影面平行时，则直线或平面在该投影面上的投影反映实长或实行。的投影反映实长或实行。积聚性积聚性当直线或平面与投影面垂直时，则直线或平面在该投

4、影面上当直线或平面与投影面垂直时，则直线或平面在该投影面上的投影积聚成一点或一直线。的投影积聚成一点或一直线。正投影法正投影法正投影法的基本性质正投影法的基本性质 真实性真实性积聚性积聚性同素性同素性(类似性类似性)主视图主视图(front view)(front view)：在正投影面上的投影。在正投影面上的投影。俯视图俯视图(vertical view)(vertical view)：在水平投影面上的投影。在水平投影面上的投影。左视图左视图(left view)(left view)：在侧投影面上的投影。在侧投影面上的投影。VWH视图：在由三个相互垂直的投影面所构成的投影体视图：在由三个相

5、互垂直的投影面所构成的投影体 系中，用正投影法所绘制出的形体的图形。系中，用正投影法所绘制出的形体的图形。三视图三视图右视图右视图 主视图主视图俯视图俯视图 左视图左视图后视图后视图仰视图仰视图从右向左投射从右向左投射从下向上投射从下向上投射从后向前投射从后向前投射三视图三视图主视主视俯视俯视左视左视右视右视后视后视仰视仰视三视图三视图 以主视图为基准以主视图为基准,主视图在中间，俯主视图在中间，俯视图位于主视图的下方，左视图在主视视图位于主视图的下方，左视图在主视图的正右方。图的正右方。三视图三视图主视图、俯视图主视图、俯视图 长相等且对正。长相等且对正。主视图、左视图主视图、左视图 高相等

6、且平齐。高相等且平齐。俯视图、左视图俯视图、左视图 宽相等且对应。宽相等且对应。主视图反映：上、下、左、右。主视图反映：上、下、左、右。俯视图反映：前、后、左、右。俯视图反映：前、后、左、右。左视图反映：上、下、前、后左视图反映：上、下、前、后。长对正长对正高平齐高平齐宽相等宽相等这个特性就是多面体正投影的投影规律，形体整体结构要这个特性就是多面体正投影的投影规律，形体整体结构要符合投影规律，形体局部也要符合投影规律。三视图的投符合投影规律，形体局部也要符合投影规律。三视图的投影规律是指导画图和读图的最基本理论。影规律是指导画图和读图的最基本理论。三视图三视图点在三投影面体系中的投影点在三投影

7、面体系中的投影点在三投影面体系中的投影规律点在三投影面体系中的投影规律点的坐标点的坐标点点的的投投影影两点的相对位置两点的相对位置重影点重影点点的投影点的投影 Pb APB1B2B3a 已知空间点已知空间点A A和投影面和投影面P P，过点，过点A A作作P P面的投射线，其与面的投射线，其与P P面的交点面的交点aa即为即为A A在在H H面的投影。面的投影。一个空间点有其确定一个空间点有其确定的投影，但点的一个的投影，但点的一个投影不能确定该点的投影不能确定该点的空间位置。空间位置。点的投影点的投影点在三投影面体系中的投影点在三投影面体系中的投影WHVoXa aa AY点点A A的水平投影

8、的水平投影点点A A的正面投影的正面投影点点A A的侧面投影的侧面投影WVHaaZaa yayaXYYO azx点的投影点的投影点在三投影面体系中的投影规律点在三投影面体系中的投影规律(1)(1)点的正面和水平投影的连线垂直于点的正面和水平投影的连线垂直于OXOX轴，即轴，即aaOXaaOX轴。轴。WVHaaZaa yayaXYYO azx点的投影点的投影点在三投影面体系中的投影规律点在三投影面体系中的投影规律(2)(2)点的正面投影到点的正面投影到OXOX轴的距离、轴的距离、 点的侧面投影到点的侧面投影到OYOY轴的距离，轴的距离， 反映空间点反映空间点A A到到H H面的距离面的距离; ;

9、WVHaaZaa yayaXYYO azx点的投影点的投影点在三投影面体系中的投影规律点在三投影面体系中的投影规律点的水平投影到点的水平投影到OXOX轴的距离、轴的距离、点的侧面投影到点的侧面投影到OZOZ轴的距离，轴的距离，反映空间点反映空间点A A到到V V面的距离面的距离; ;WVHaaZaa yayaXYYO azx点的投影点的投影点在三投影面体系中的投影规律点在三投影面体系中的投影规律点的正面投影到点的正面投影到OZOZ轴的距离、轴的距离、点的水平投影到点的水平投影到OYOY轴的距离，轴的距离，反映空间点反映空间点A A到到W W面的距离。面的距离。WVHaaZaa yayaXYYO

10、 azx点的投影点的投影点在三投影面体系中的投影规律点在三投影面体系中的投影规律(3)(3)点的水平投影到点的水平投影到OXOX轴的距离等于轴的距离等于侧面投影到侧面投影到OZOZ轴的距离，即轴的距离，即aaaax x = aaaaz z。WVHaaZaa yayaXYYO azxa aaxa a aaxazaz解法一解法一: :通过作通过作4545线线使使a a a az z=aa=aax x解法二解法二: :用圆规直接量用圆规直接量取取a a a az z=aa=aax xa 点的投影例题点的投影例题已知点的两个投影，求第三个投影。已知点的两个投影，求第三个投影。点的投影点的投影点的坐标点

11、的坐标点的投影到投影轴的距离，反映该点在空间的一个坐标，点的投影到投影轴的距离，反映该点在空间的一个坐标，也就是该点到相应投影面的距离。也就是该点到相应投影面的距离。如点如点A A的空间位置可以的空间位置可以表示为表示为A(XA(XA A，Y YA A，Z ZA A) )其中其中: : X XA A=aa=aaZ Z=aa=aaY Y=Aa=Aa点点A A到到W W面的距离面的距离Y YA A=aa=aaX X=aa=aaZ Z=Aa=Aa点点A A到到V V面的距离面的距离 Z ZA A=aa=aaX X=aa=aaY Y=Aa=Aa点点A A到到H H面的距离面的距离 点的投影点的投影点的

12、坐标例题点的坐标例题已知空间点已知空间点A A的坐标为的坐标为A A（1515，2020，1010），求作点），求作点A A的三面投影图。的三面投影图。点的投影点的投影两点的相对位置两点的相对位置两点的相对位置指两点在两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右空间的上下、前后、左右位置关系。位置关系。两点的正面投影和水平投影两点的正面投影和水平投影反映出他们的左右位置反映出他们的左右位置两点的正面投影和侧面投影两点的正面投影和侧面投影反映出他们的上下位置反映出他们的上下位置两点的水平投影和侧面投影两点的水平投影和侧面投影反映出他们的前后位置反映出他们的前后位置b aa a b bXYHYWZ

13、点的投影点的投影两点的相对位置练习两点的相对位置练习判断点判断点A A、点、点B B的左右、上下、前后位置关系的左右、上下、前后位置关系点的投影点的投影重影点重影点位于同一条投射线上的两点具有两个相同的坐标，位于同一条投射线上的两点具有两个相同的坐标，在反映这两个坐标的投影面上两点投影重合，称之在反映这两个坐标的投影面上两点投影重合，称之为两点对该投影面的重影点。为两点对该投影面的重影点。A A点在点在B B点正前方，点正前方，故点故点A A可见，点可见，点B B不可见。不可见。规定把不可见点的投影规定把不可见点的投影打上括号打上括号点的投影作业点的投影作业练习册：练习册：P19P19、P20

14、P20、P21P21直线投影的画法直线投影的画法一般直线的投影特性一般直线的投影特性投影面平行线的投影特性投影面平行线的投影特性投影面垂直线的投影特性投影面垂直线的投影特性直线上点的投影直线上点的投影直直线线的的投投影影两直线的相对位置两直线的相对位置直角投影定理直角投影定理直线的投影直线的投影直线投影的画法直线投影的画法 投影中，直线的投影一般仍未直线。根据几何定理，投影中，直线的投影一般仍未直线。根据几何定理，直线的空间位置可以由直线上的任意两点来决定，而直线直线的空间位置可以由直线上的任意两点来决定，而直线的投影，则可以由直线上两点（通常取线段的两个端点）的投影，则可以由直线上两点（通常

15、取线段的两个端点）的同面投影来确定。的同面投影来确定。ABab直线垂直于投影面直线垂直于投影面投影重合为一点投影重合为一点 积聚性积聚性直线平行于投影面直线平行于投影面投影反映线段实长投影反映线段实长 ab=ABab=AB直线倾斜于投影面直线倾斜于投影面投影比空间线段短投影比空间线段短 ab=ABcosab=ABcosABabAMBa(b)(m)直线的投影直线的投影直线投影的画法直线投影的画法abb a b a 投影特性：投影特性：三个投影都与投影轴倾斜且三个投影都与投影轴倾斜且投影长度小于直线的实长。投影长度小于直线的实长。直线的投影直线的投影直线投影的画法直线投影的画法b a aba b

16、b aa b ba 水平线水平线侧平线侧平线正平线正平线实长实长实长实长实长实长ba aa b b 投影特性：投影特性：在其平行的那个投影面上的投影反映实长。在其平行的那个投影面上的投影反映实长。另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。直线的投影直线的投影直线投影的画法直线投影的画法铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线c (d )cdd c a b a(b)a b e f efe (f )投影特性：投影特性：在其垂直的投影面上，投影有积聚性。在其垂直的投影面上，投影有积聚性。另外两个投影，反映线段实长。且垂直相应的投影轴。另外两个投影，反映线段实长。且垂

17、直相应的投影轴。直线的投影直线的投影直线上点的投影直线上点的投影ABCVHbcc b a a直线上任意点的投影必在该直直线上任意点的投影必在该直线的同面投影上。线的同面投影上。直线上两线段之比等于其投直线上两线段之比等于其投影之比。影之比。AC:CB = ac:cb = ac:cb若点的投影有一个不在直线的同面投影上，则该点若点的投影有一个不在直线的同面投影上，则该点一定不在此直线上。一定不在此直线上。定比定理定比定理直线的投影例题直线的投影例题直线上点的投影直线上点的投影判断点判断点C C是否在线段是否在线段ABAB上。上。点点C C不在直不在直线线ABAB上上abca b c c abca

18、 b 点点C C在直在直线线ABAB上上例题：判断点例题：判断点K K是否在线段是否在线段ABAB上。上。a b k 因因k k 不在不在a a b b 上，上， 故点故点K K不在不在ABAB上。上。应用定比定理应用定比定理abka b k 还有其他的方还有其他的方法吗？法吗？直线的投影直线的投影两直线的相对位置两直线的相对位置空间两直线的相对位置分为：空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉。平行、相交、交叉。 两直线平行两直线平行aVHc bcdABCDb d a 投影特性：投影特性：空间两直线平行，则其空间两直线平行，则其各同面投影必相互平行，各同面投影必相互平行，反之亦然。反之亦然

19、。直线的投影直线的投影两直线的相对位置两直线的相对位置两直线平行例题两直线平行例题abcdc a b d 判断图中两条直线是否平行。判断图中两条直线是否平行。 对于一般位置直线，对于一般位置直线，只要有两个同面投影互相只要有两个同面投影互相平行，空间两直线就平行。平行，空间两直线就平行。AB/CDAB/CD直线的投影直线的投影两直线的相对位置两直线的相对位置两直线平行例题两直线平行例题判断图中两条直线是否平行。判断图中两条直线是否平行。b d c a cbadd b a c 求出侧面投影后可知：求出侧面投影后可知：ABAB与与CDCD不平行。不平行。求出侧面投影求出侧面投影 对于特殊位置直对于

20、特殊位置直线，只有两个同面投线，只有两个同面投影互相平行，空间直影互相平行，空间直线不一定平行。线不一定平行。直线的投影直线的投影两直线的相对位置两直线的相对位置2. 2. 两直线相交两直线相交HVABCDKabcdka b c k d abcdb a c d kk 投影规律：投影规律：若空间两直线相交，若空间两直线相交，则其同面投影必相交，则其同面投影必相交，且交点的投影必符合且交点的投影必符合空间一点的投影规律。空间一点的投影规律。直线的投影直线的投影两直线的相对位置两直线的相对位置两直线相交例题两直线相交例题cabb a c d k kd先作正面投影先作正面投影过过C C点作水平线点作水

21、平线CDCD与与ABAB相交。相交。直线的投影例题直线的投影例题两直线的相对位置两直线的相对位置两直线交叉两直线交叉d b a abcdc1 (2 )3(4 )投影特性：投影特性： 同面投影可能相交，同面投影可能相交，但但 交点交点 不符合空间一个不符合空间一个点的投影规律。点的投影规律。 交点交点 是两直线上的是两直线上的一对重影点的投影，用其一对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间可帮助判断两直线的空间位置。位置。 1 1、2 2是面的重影点，是面的重影点，3 3、4 4是是H H面的重影点。面的重影点。123 4 既不平行又不相交的两条直线，既不平行又不相交的两条直线，称为交叉直线。

22、交叉直线在空称为交叉直线。交叉直线在空间不存在交点，然而他们的同间不存在交点，然而他们的同面投影却可能出现相交的情况。面投影却可能出现相交的情况。直线的投影直线的投影直角投影定理直角投影定理定理：定理： 垂直相交垂直相交(或交叉或交叉)的两直线，的两直线，若其中一直线平行于某投影面，若其中一直线平行于某投影面，则两直线在该投影面上的投影则两直线在该投影面上的投影仍然反映直角关系。仍然反映直角关系。证明：证明：设设 直角边直角边BC/HBC/H面面因因 BCAB, BCAB, 同时同时BCBbBCBb所以所以 BCABba BCABba平面平面又因又因 BC/bc BC/bc故故 bcABba

23、bcABba平面平面因此因此 bcab bcab即即 abc abc为直角为直角 直线在直线在H H面上的投影面上的投影互相垂直互相垂直ABCabcHa c b abc.直线的投影直线的投影直角投影定理直角投影定理逆定理：逆定理： 若相交若相交(或交叉或交叉)两直线在某两直线在某一投影面上的投影为直角，且一投影面上的投影为直角，且其中一条直线平行于该投影面，其中一条直线平行于该投影面，则该两直线在空间必相互垂直。则该两直线在空间必相互垂直。ABCabcHa c b abc.直线的投影直线的投影直角投影定理练习直角投影定理练习d abca b c d过过C C点作直线点作直线CDCD与与ABAB

24、垂直相交。垂直相交。ABAB为正平线为正平线, , 正正面投影反映直角。面投影反映直角。.直线的投影作业直线的投影作业练习册：练习册：P22P22、P23P23、P24P24、 P25P25、P26P26、P27P27一般平面的投影特性一般平面的投影特性投影面平行面的投影特性投影面平行面的投影特性投影面垂直面的投影特性投影面垂直面的投影特性平面上的直线和点平面上的直线和点平平面面的的投投影影平面的表示方法平面的表示方法平面的投影平面的投影平面的表示方法平面的表示方法平面的投影平面的投影平面对一个投影面的投影特性平面对一个投影面的投影特性平行平行垂直垂直倾斜倾斜投影特性投影特性平面平行投影面平面

25、平行投影面-投影就把实形现投影就把实形现平面垂直投影面平面垂直投影面-投影积聚成直线投影积聚成直线平面倾斜投影面平面倾斜投影面-投影类似原平面投影类似原平面实形性实形性类似性类似性积聚性积聚性平面的投影平面的投影一般平面的投影特性一般平面的投影特性a b c a c b abc三个投影都类似。三个投影都类似。投影特性：投影特性：平面的投影平面的投影投影面平行面的投影特性投影面平行面的投影特性a b c a b c abc积聚性积聚性积聚性积聚性实形性实形性投影特性：投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映实形。在它所平行的投影面上的投影反映实形。另两个投影面上的投影分别积聚成与相应另两个投影面

26、上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。的投影轴平行的直线。平面的投影平面的投影投影面垂直面的投影特性投影面垂直面的投影特性abca c b c b a 类似性类似性类似性类似性积聚性积聚性投影特性：投影特性： 在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。另外两个投影面上的投影有类似性。另外两个投影面上的投影有类似性。平面的投影平面的投影平面上的直线和点平面上的直线和点平面上取任意直线平面上取任意直线判断直线在平面判断直线在平面内的方法内的方法 定理一定理一若一直线过平面若一直线过平面上的两点，则此上的两点，则此直线必在该平面直线必在该平面内。内。定理二定理二若

27、一直线过平面上的若一直线过平面上的一点，且平行于该平一点，且平行于该平面上的另一直线，则面上的另一直线，则此直线在该平面内。此直线在该平面内。平面的投影平面的投影平面上的直线和点平面上的直线和点平面上取任意直线练习平面上取任意直线练习abcb c a abcb c a d mnn m d解法一解法一解法二解法二已知平面由直线已知平面由直线ABAB、ACAC所确定，所确定，试在平面内任作一条直线。试在平面内任作一条直线。n m nm10c a b cab平面的投影平面的投影平面上的直线和点平面上的直线和点平面上取任意直线练习平面上取任意直线练习在平面在平面ABCABC内作一条水平线，使内作一条水

28、平线，使其到其到H H面的距面的距 离为离为10mm10mm。平面的投影平面的投影平面上的直线和点平面上的直线和点平面上取点平面上取点平面上取点的方法：平面上取点的方法：先找出过此点，并在此平面内的一条直线作为辅先找出过此点，并在此平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置助线，然后再在该直线上确定点的位置平面的投影平面的投影平面上的直线和点平面上的直线和点平面上取点练习平面上取点练习已知已知K K点在平面点在平面ABCABC上，求上，求K K点的水平投影。点的水平投影。bacc a k b kabcab k c d kd利用平面的积聚性求解利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线

29、求解通过在面内作辅助线求解bckada d b c k 平面的投影平面的投影平面上的直线和点平面上的直线和点平面上取点练习平面上取点练习 已知已知ACAC为正平线，为正平线，补全平行四边形补全平行四边形ABCDABCD的水平投影。的水平投影。平面的投影平面的投影几何元素的相对位置几何元素的相对位置平行平行相交相交直线与平面平行直线与平面平行平面与平面平行平面与平面平行直线与平面相交直线与平面相交平面与平面相交平面与平面相交平面的投影平面的投影几何元素的相对位置几何元素的相对位置直线与平面平行直线与平面平行 若一直线平行于平面上的某一直线，若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平

30、行。则该直线与此平面必相互平行。过过M M点作直线点作直线MNMN平行于平面平行于平面ABCABC。n a c b m abcmndd过过M M点作直线点作直线MNMN平行于平行于V V面和平面面和平面ABCABC。平面的投影平面的投影几何元素的相对位置几何元素的相对位置直线与平面平行直线与平面平行c b a m abcmnn 平面的投影平面的投影几何元素的相对位置几何元素的相对位置平面与平面平行平面与平面平行若一平面上的两相若一平面上的两相交直线对应平行于交直线对应平行于另一平面上的两相另一平面上的两相交直线，则这两平交直线，则这两平面相互平行。面相互平行。c f b d e a abcde

31、f平面的投影平面的投影几何元素的相对位置几何元素的相对位置直线与平面相交直线与平面相交直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。求直线与平面的交点。求直线与平面的交点。判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。我们只讨论直线与平面中至少有一个我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况处于特殊位置的情况平面的投影平面的投影几何元素的相对位置几何元素的相对位置直线与平面相交直线与平面相交平面为特殊位置平面为特殊位置abcmnc n b a m 空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABCABC是一铅垂面

32、，是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直其水平投影积聚成一条直线，该直线与线，该直线与mnmn的交点即的交点即为为K K点的水平投影。点的水平投影。 求交点求交点 判别可见性判别可见性由水平投影可知，由水平投影可知，KNKN段段在平面前，故正面投影在平面前，故正面投影上上k k n n 为可见。为可见。还可通过重影点判别可见性。还可通过重影点判别可见性。k 1 (2 )作图作图k21平面的投影平面的投影几何元素的相对位置几何元素的相对位置直线与平面相交直线与平面相交直线为特殊位置直线为特殊位置km(n)bm n c b a ac空间及投影分析空间及投影分析 直线直线MNMN为铅垂线，其水平为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点投影积聚成一个点，故交点K K的的水平投影也积聚在该点上。水平投影也积聚在该点上。求交点求交点判别可见性判别可见性 点点1 1位于平面上，在前；位于平面上，在前；点点2 2位于位于MNMN上，在后。故上，在后。故k k 2 2 为不可见。为不可见。1 (2 )k 21作图作图用面上取点法用面上取点法平面的投影平面的投影几何元素的相对位置几何元素的相对位置平面与平面相交平面与平面相交两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共