第5章_万有引与航天综合复习与训练

1、14必修2第六章复习资料 第六章 万有引与航天 2009-4-12知识框架：万有引力与航天知识要点：一、开普勒行星三定律开普勒行星三定律将行星的运动描述得更加完善。开普勒行星三定律的内容。第一定律：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。开普勒第一定律又叫轨道定律。第二定律：对每一个行星而言，太阳与行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积，开普勒第二定律又叫面积定律。第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。开普勒第三定律又叫做周期定律。以、表示两个行星的公转周期，a、a表示两个行星椭圆轨道的半长轴，则周期定律可表示为或，比值是与行星无关

2、而只与太阳有关的恒量。中学阶段行星的运动轨道按圆轨道处理。所以有或（其中r是行星的轨道半径）二、万有引力定律（一）万有引力定律1内容：自然界中的任何两个物体都相互吸引，引力的大小与两个物体的质量的乘积成正比，与它们之间的距离的平方成反比。引力的方向在两物体的连线上。2公式： 为万有引力常量6.67×10-11N·m2/kg23适用条件：适用于相距离很远的，可以看作质点的物体间的相互作用，质量分布均匀的球体也可用此公式计算，其中r指球心间距离。当两个物体间距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。【例1】-两个物体间万有引力大小的计算。如右图所示，在一个半径为，质量为的均

3、匀球体中，紧贴球边缘挖去一个半径为的球形空穴后，对位于球心和空穴中心连线上、与球心相距d的质点m的引力是多大？分析：完整的均质球体对球外质点m的引力：。这个引力可以看成是挖去球穴后的剩余部分对质点的引力与半径为的小球对质点的引力之和，即：解：设半径为的小球质量为m2，则：，所以:。故挖去球后的剩余部分对球外质点m的引力为：点评：有的同学认为，可以先设法求出挖去球穴后的重心位置，然后把剩余部分的质量集中于这个重心上，再应用万有引力公式求解。事实上这是不正确的，万有引力公式F=只能运用于两个质点或均匀的球体，挖去球穴后的剩余部分已不再是均质球了，不能直接使用公式F=计算引力，本题巧妙利用“填补法”

4、将万有引力的计算转化，使符合公式F=的适用条件，进行分析计算，值得注意的是，上述解答中F=+，当F、不在一条直线上时，应是矢量运算，遵循平行四边形定则。（二）引力常量的测量1卡文迪许实验卡文迪许实验的巧妙在于通过两次“放大”将非常微小的力测出来，一是利用了较长的“”型架，并在两端附近对称地放上两个大质量金属球，使微弱的力有了明显的力矩，二是在悬挂“”型架的金属丝上安装了一面平面镜，将入射光反射到远处的刻度尽上，金属丝的的微小转动使反射光点在刻度尽上有较大距离的移动。2测定引力常量的意义如果没有引力常量G的测出，万有引力定律只有理论意义，而无更多的实际意义，正是由于卡文迪许测出了引力常量G，才使

5、得万有引力定律在天文学领域的发展上起了重要作用。（三）万有引力定律的应用1研究天体（包括自然、人造）运动的基本方法一是天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即：；实际问题中，可根据不同的情况选择公式进行分析和计算。二是地球对物体的万有引力近似等于物体的重力，即：G mg 从而得出：GMRg。另外要注意综合圆周运动的有关公式：如，v=r等。说明：人造卫星及天体的运动都近似为匀速圆周运动。万有引力与重力的区别和联系重力是由万有引力产生的，由于地球的自转，因而地球表面的物体随地球自转时需要向心力。重力实际上是万有引力的一个分力，另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力。如右图所示，由于纬度的变

6、化，物体做圆周运动的向心力也不断变化，因而表面物体的重力随纬度的变化而变化，即重力加速度g随纬度变化而变化，从赤道到两极逐渐增大。即赤道上g约为9.78m/s2，在两极约为9.83m/s2。2具体应用（1）测天体的质量及密度：（万有引力全部提供向心力）通过观察测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径和周期，则由牛顿运动定律得：由 得又 得 （R为天体的半径）当卫星绕天体表面做匀速圆周运动时，有，则：【例2】某个行星可视为半径为R的球体，它有一沿着半径为10R的轨道做匀速圆周运动的卫星，已知卫星的运动周期为T，求：（1）行星的平均密度；（2）卫星运动的加速度；（3）行星表面的“重力加速度”。解：（1）

7、行星对卫星的引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力，设行星质量为，卫星质量为m，卫星绕行星运行的轨道半径为r，根据牛顿第二定律，有：。解得行星质量为： 行星的体积为： 根据密度的定义式可得行星的平均密度为：（2）卫星做匀速圆周运动的向心加速度为：（3）根据牛顿第二定律，卫星的加速度为：由上式可知，设行星表面的“重力加速度”为，则有：。故：，解得： 点评：研究天体运动要认真领会万有引力提供天体公转所需的向心力，即F=向心加速度根据具体问题有多种表达式可供选用。值得注意的是，卫星的向心加速度和行星表面的“重力加速度”（不考虑其自转）都是由万有引力产生的，即。【例3】组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，

8、这样的星球有一个最大的自转速度，如果超过了该速度，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体做圆周运动，由此能得到半径为R，密度为，质量为M且均匀分布的星球的最小自转周期T。解析：设有质量为m的物体在赤道附近随星球一起做匀速圆周运动，根据 可得： 或 点评：星球的最小周期可以用R，M表示，也可以用表示，这类问题常出现在选择题中，因此解答过程不要漏解。（2）求地球表面的重力加速度和轨道上的重力加速度（重力近似等于万有引力）在不考虑地球自转情况下，地球表面重力的大小等于物体与地球间的万有引力。G mg 若是在其它星体的表面，其重力加速度也可以用此法求得：轨道重力加速度：利用思维迁移法就是将在地球上

9、所使用的方法、规律迁移到其它的星球上去。【例4】在21世纪，设我国有一宇航员踏上一半径为R的球状星体，该宇航员在该星体上能否用常规方法测量出该星球的质量？如果能，需要何种常用器材？你能设想出几种方法？分析：根据在星球表面星球与宇航员的万有引力近似于宇航员的重力，有：可得。只要测出该星球表面的重力加速度，即可测出星球的质量。解：方法一：在星球表面用天平称量某物体A的质量m，再用弹簧测力计悬吊物体A处于平衡状态，读出弹簧测力计的示数F，则有：，即。所以，该星球的质量为：。方法二：使一物体由静止开始自由下落，用米尺测量落下的高度h，用秒表测量落下的时间t，则有：，即。 所以，该星球的质量为： 方法三

10、：在星球表面上，两次用相同的力竖直上抛和平抛同一物体，使两次抛出的初速率相等，用秒表测出从竖直上抛到落回抛出点的总时间t0，再用卷尺测出平抛的水平射程s和下落高度h，即可求出g值。由平抛运动知识知：，。 消去t，得：。 由竖直上抛运动知识有：。 将代入，消去，得：。故该星球的质量可表示为：。点评：运用基本知识原理，进行实验设计，这是研究性学习的重要形式，也是创新能力培养的重要途径，本题围绕天体质量的间接测量，运用三种不同的方法来实现，其目的是开拓创新思维空间，这也是新一轮教改的目标要求。【例5】“黑洞”是爱因斯坦的广义相对论中预言的一种特殊天体，它的密度极大，对周围的物质（包括光子）有极强的吸

11、引力。根据爱因斯坦理论，光子是有质量的，光子到达黑洞表面时也将被吸入。最多恰能绕黑洞表面做圆周运动，根据天文观测，银河系中心可能有一个黑洞，距该可能黑洞6.0×1012m远的星体正以2.0×106m/s的速度绕它旋转，据此估算该可能黑洞的最大半径R是多少？（保留一位有效数字）分析：黑洞作为一种特殊天体一直受到广泛的关注，种种迹象表明它确实存在于人的视野之外。由于黑洞的特殊性，所以当分析本题的时候，一定要抓住其“黑”的原因，即光子也逃不出它的引力约束。光子绕黑洞做圆周运动时，它的轨道半径就是黑洞的最大可能半径。根据爱因斯坦理论、光子有质量，所以黑洞对光子的引力就等于它圆运动时

12、的向心力，解： 其中M为黑洞质量，m为光子质量，c为光速，R为轨道半径，即黑洞的最大可能半径。银河系中的星体绕黑洞旋转时，也可认为做的是匀速圆周运动，其向心力为二者之间的万有引力，所以有： 其中为星体质量，R为星体的轨道半径。由式可得黑洞的可能最大半径为：点评：有关黑洞的内容课本上是以“阅读材料”的形式给出的，对于这些内容大家千万不可掉以轻心，一定要认真去阅读，因为近年的高考试题中有不少题目都是以课本中的阅读材料为背景命题的。三、人造卫星、宇宙航行（一）人造卫星1动力学特征和运动学特征的关系把卫星的运动看成是匀速圆周运动，卫星所需向心力由万有引力提供：；应用时可根据实际情况选用适当的公式进行分

13、析或计算。式中的r为人造卫星的轨道半径。2卫星的绕行速度、角速度、周期与半径的关系由 得： r越大，v越小由 得： r越大，越小由得： r越大，T越大由， 得： r越大，越大特别地，当卫星贴近地面飞行时，其线速度v最大，周期T最小，其值分别为vm=7.9km/s（即第一宇宙速度），Tmin=84.8（约85）分钟3三种宇宙速度第一宇宙速度：环绕地球表面做匀速圆周运动的速度，是人造地球卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度v1=7.9km/s。第二宇宙速度：使卫星挣脱地球引力束缚的最小发射速度。v2=11.2km/s。第三宇宙速度：使卫星挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。v3=16.7

14、km/s（二）地球同步卫星1特点（1）地球同步卫星只能定点在赤道上空。（2）地球同步卫星与地球自转具有相同的角速度和周期（T =24小时）。（3）地球同步卫星相对地面静止。（4）同步卫星的高度是一定的（运行方向一定自西向东运行）。F引=F向 即： 式中：T是地球自转周期，M为地球质量，R0为地球半径，都是定值，故h是定值。2用途地球同步卫星主要用于通信等方面。（三）卫星的发射、运行、变轨、收回对于人造地球卫星，由由得。这一速度是人造地球卫星在轨道上的运行速度，其大小随轨道半径的增大而减小。对于发射一颗卫星来说，首先是根据卫星的用途选定好它的运行轨道，再设计运载火箭将卫星送入预定轨道。但是，由于

15、在人造地球卫星发射过程中火箭要克服地球引力做功，所以将卫星发射到离地球越远的轨道，在地面上所需的发射速度就越大。卫星的回收有回收轨道，也是预先选定好的，当卫星运行到回收轨道附近，发动机点火将卫星送入回收轨道，使卫星沿回收轨道运行到达预定的回收点。对于卫星的变轨，可以采不同的方式，理论上讲可采取改变需要的向心力和改变提供的向心力，前者一般采取改变卫星的运行速度，后者是改变万有引力，一般采用前者的方式。卫星变轨的动态运行的分析方法：由于某种原因或需要，卫星需要做变轨运行，分析这类问题必须按照这样的思路：首先分析需要的向心力和提供的向心力的变化，从而确定是做离心运动还是做近心运动。然后再利用分析在新

16、的轨道上的速度的变化，周期的变化。【例6】将卫星发射至近地圆轨道1（如图所示），然后再次点火，将卫星送入同步轨道3。轨道1、2相切于Q点，2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是：A卫星在轨道3上的速率大于轨道1上的速率。B卫星在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度。C卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度。D卫星在轨道2上经过P点的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度。解：由得， 而，轨道3的半径比1的大，故A错B对，“相切”隐含着切点弯曲程度相同，即卫星在切点时两轨道瞬时运行半径相同，又，故C错D对。（三）卫星上的“超重

17、”与“失重” “超重”：卫星进入轨道前加速过程中，卫星上物体“超重”，这种情况与“升降机”中物体超重相同。“失重”：卫星进入轨道后正常运转时，系统具有向下的加速度且等于轨道处的重力加速度g轨，卫星上物体完全“失重”。因此，在卫星上的仪器，凡是制造原理与重力有关的均不能使用。同理，与重力有关的实验也将无法进行。【例7】“神舟”五号载人航天飞船由“长征”二号F型运载火箭点火发射时，从电视画面上观察到火箭起速较慢，这是为什么叫呢？原因是载人航天飞行的特殊需要。“长征”二号F型过载火箭的推力是600多吨，自重全部加起来是400多吨，与发射卫星和导弹相比，加速度的确小得多，这主要是为航天员的安全和舒适着

18、想，如果火箭加速过大，航天员处于“超重”状态会感觉不舒适，甚至有生命危险。如右图所示，火箭内的实验平台有质量为18kg的测试仪器，火箭从地面起动后，以加速度竖直匀加速上升，g=10m/s2，试求：（1）火箭刚起动时，测试仪器对实验平台的压力是多大？（2）火箭升至离地面的高度为地球半径的一半，即时，测试仪器对实验平台的压力又是多大？解析：（1）火箭刚起动时，对测试仪器进行受力分析，有：。 故（2）火箭升至：处， ，则。故点评：火箭是在“竖直匀加速上升”，不要考虑圆周运动问题。火箭升到离地面的高度为地球半径一半时，这个位置的重力加速度已不是g，可根据重力加速度与高度（从地心算）的平方成反比计算。（

19、四）近地卫星、同步卫星、赤道上静止不动的物体，三者的动力学和运动学的特征：近地卫星、同步卫星都是万有引力提供向心力，赤道上静止的物体是万有引力和支持力的合力提供向心力，三者都是作匀速圆周运动。【例8】设地球的质量为M地，半径为R地，地球自转的角速度为。试计算近地卫星、同步卫星、赤道上静止的物体三者的向心加速度的大小。解析：近地卫星是万有引力提供向心力，运转的半径为R地，则近有： 即：同步卫星是万有引力提供向心力，运转的角速度与地球的自转角速度相同，则运转的半径为： 即 则：赤道上静止不动的物体的向心加速度物为:。点评：解本题关键要抓住三者的动力学特征和运动学特征，不能乱套公式。四、牛顿经典力学

20、的适用范围（P45）经典力学适用于低速运动；适用于宏观世界；适用于弱引力情况。对于高速运动、微观世界、强引力情况，经典力学与实际情况差异很大，不再适用。所谓高速和低速，是指与光速相比。这里说的低速是指远小于真空中光速的情况。所谓微观世界，是指进入原子、电子、质子、中子等微观粒子的研究领域。所谓弱引力是指天体半径远大于它的“引力半径”的情况。五、基础知识填空1开普勒第一定律：所有的行星围绕太阳运动的轨道是 ，太阳处在所有的一个焦点上。开普勒第二定律：对于每一个行星而言，太阳和行星的联线在相同的时间内扫过相等的。开普勒第三定律：所有行星的轨道的三次方跟的二次方的比值都相等。若用代表椭圆轨道的，T代

21、表，由上面的叙述可知，比值K是一个与行星无关的常量。2自然界中任何两个物体都是，的大小跟这两个物体的成正比，跟它们的成反比。如果用m1和m2表示两个物体的质量，用r表示它们的距离，那么，万有引力定律可以用下面的公式来表示：。式中质量的单位用，距离的单位用，为常量，叫做引力常量，适用于任何两个物体，它在数值上等于两个质量都是kg的物体相距离m时的相互作用力，通常 ·m2/kg2。万有引力定律中两个物体的距离，对于相距离很远因而可以看作质点的物体，就是指的距离；对于均匀的球体，指的是的距离。3应用万有引力定律可以计算天体的质量。基本思路是：根据（或卫星）运动的情况，求出（或卫星）的向心加

22、速度，而向心力是由提供的，这样，列出方程即可求得（太阳或行星）的质量。 、的发现，显示了万有引力对研究天体运动的重要意义。4根据卫星运动所需的向心力是由万有引力提供，可推导出卫星的环绕速度公式 ，由公式可以看出，卫星距地心越远，它运行的速度越。人造卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动所必须具有的速度，叫做，其数值大小为km/s，当物体的速度等于或大于km/s时，卫星就会脱离地球的引力，不再绕地球运动。我们把这个速度叫做，要想使物体挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙空间去，必须使它的速度等于或大于 km/s时，这个速度叫做。5重力和万有引力重力和万有引力从本质上不是，重力是地面附近的物体受到

23、地球的面 产生的，可以说重力是万有引力的一个，但由于物体的重力和地球对该物体的万有引力差别，一般可认为二者大小。6发射速度和运行速度 对于人造地球卫星，由 得，该速度指的是人造地球卫星在轨道上的速度，其大小随轨道半径的增大而。将卫星发射到离地球越远的轨道上，在地面所需要的速度就越大。7揭示行星运动的天文学家是。8同步卫星的角速度与地球的自转的角速度；同步卫星的高度是一个值；所有的同步卫星在轨道上。六、针对训练1下列说法符合史实的是( )A牛顿发现了行星的运动规律 B开普勒发现了万有引力定律C卡文迪许第一次在实验室里测出了万有引力常量 D牛顿发现了海王星和冥王星2下列说法正确的是（ ）

24、A. 第一宇宙速度是人造卫星环绕地球运动的速度B. 第一宇宙速度是人造卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动所必须具有的速度C. 如果需要，地球同步通讯卫星可以定点在地球上空的任何一点D. 地球同步通讯卫星的轨道可以是圆的也可以是椭圆的3. 关于环绕地球运转的人造地球卫星，有如下几种说法，其中正确的是（ ）A. 轨道半径越大，速度越小，周期越长 B. 轨道半径越大，速度越大，周期越短C. 轨道半径越大，速度越大，周期越长 D. 轨道半径越小，速度越小，周期越长4利用下列哪组数据，可以计算出地球质量：（ ）A已知地球半径和地面重力加速度B已知卫星绕地球作匀速圆周运动的轨道半径和周期C已知月球绕地球作

25、匀速圆周运动的周期和月球质量D已知同步卫星离地面高度和地球自转周期5“探路者”号宇宙飞船在宇宙深处飞行过程中，发现A、B两颗天体各有一颗靠近表面飞行的卫星，并测得两颗卫星的周期相等，以下判断错误的是（ ）A天体A、B表面的重力加速度与它们的半径成正比B两颗卫星的线速度一定相等C天体A、B的质量可能相等D天体A、B的密度一定相等6已知某天体的第一宇宙速度为8 km/s，则高度为该天体半径的宇宙飞船的运行速度为（ ）A2km/s B4 km/s C4 km/s D8 km/s72002年12月30日凌晨，我国的“神舟”四号飞船在酒泉载人航天发射场发射升空，按预定计划在太空飞行了6天零18个小时，环

26、绕地球108圈后，在内蒙古中部地区准确着陆，圆满完成了空间科学和技术试验任务，为最终实现载人飞行奠定了坚实基础.若地球的质量、半径和引力常量G均已知，根据以上数据可估算出“神舟”四号飞船的（ ）A.离地高度 B.环绕速度 C.发射速度 D.所受的向心力8.以下说法正确的是（ ）A.经典力学理论普遍适用，大到天体，小到微观粒子均适用B.经典力学理论的成立具有一定的局限性C.在经典力学中，物体的质量不随运动状态而改变D.相对论与量子力学否定了经典力学理论9如右图所示，有A、B两个行星绕同一恒星O做圆周运动，旋转方向相同，A行星的周期为T1，B行星的周期为T2，在某一时刻两行星第一次相遇（即两行星距

27、离最近），则（ ）A经过时间t=T2+T1，两行星将第二次相遇B经过时间，两行星将第二次相遇. 经过时间，两行星第一次相距最远D.经过时间,两行星第一次相距最远10.一条河流中的水以相对于河岸的速度v水岸流动，河中的船以相对于水的速度v船水顺流而下。 在经典力学中，船相对于岸的速度为v船岸 。 11.一艘宇宙飞船飞近某一新发现的行星，并进入靠近行星表面的圆形轨道绕行数圈后，着陆在该行星上，飞船上备有以下实验器材料：A精确秒表一个B已知质量为m的物体一个C弹簧测力计一个D天平一台（附砝码）已知宇航员在绕行时和着陆后各作了一次测量，依据测量数据，可求出该行星的半径R和行星质量M。（已知万有引力常量

28、为G）（1）两次测量所选用的器材分别为 、 。（用序号表示）（2）两次测量的物理量分别是 、 。 （3）用该数据推出半径R、质量M的表达式：R= ，M= 。12（1998年全国卷）宇航员站在某一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球。经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为L。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G。求该星球的质量M。13（2004年全国理综第23题，16分）在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来。假设着陆器第一次落到火星表面弹起后

29、，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为v0，求它第二次落到火星表面时速度的大小，计算时不计火星大气阻力。已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r，周期为T。火星可视为半径为r0的均匀球体。14（08山东潍坊）（11分）“嫦娥奔月”的过程可以简化为：“嫦娥一号”升空后，绕地球沿椭圆轨道运动，远地点A距地面高为h1，在远地点时的速度为v，然后经过变轨被月球捕获，再经多次变轨，最终在距离月球表面高为h2的轨道上绕月球做匀速圆周运动。 （1）已知地球半径为R1、表面的重力加速度为g0，求“嫦娥一号 在远地点A处的加速度a；（2）已知月球的质量为M、半径为R2，引力常量为G，求“嫦娥 一号”绕月球运动的周期T。152003年10月15日，我国成功以射了第一艘载人航天宇宙飞船“神舟五号”，火箭全长58.3m，起飞重量479.8t，火箭点火升空，飞船进入预定轨道。“神舟五号”