余弦定理导学案

1、余弦定理导学案高二年级数学组知能目标解读通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定 理，理解用数量积推导余弦定理的过程，并体会向量在解决 三角形的度量问题时的作用.了解余弦定理的几种变形公式及形式.会从方程的角度来理解余弦定理的作用及适用范围，并 会用余弦定理解决“已知三边求三角形的三角”及“已知两 边及其夹角求三角形中其他的边和角”等问题能熟练应用余弦定理解三角形以及现实生活中的实际 问题.重点难点点拨重点：余弦定理的证明及其应用.难点：处理三角形问题恰当地选择正弦定理或余弦定理学习方法指导一、余弦定理余弦定理：在厶ABc中，/ A, / B, / c的对边分别为 a, b , c ,

2、 那 么 有 如 下结 论： a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosc.即三角形任何一边的平方等丁其他两边的平方和减公这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.这一结论叫做余弦定理，它揭示了任意三角形边角之间的客观规律.也是解三角形的重要工具.在余弦定理的每一个等式中含有四个量，利用方程的思 想，可以知三求一.余弦定理也为求三角形的有关量提供了工具，它可以用 来判定三角形的形状，证明三角形中的有关等式，在一定程 度上，它比正弦定理的应用更加广泛 .关于公式的变形：将余弦定理稍加变形，可以得到另外 的形式，我们称为余弦定理的推论.掌握这些表达形

3、式，可以帮助我们深入理解和灵活应用余弦定理.cosA=， cosB=， cosc=.由上述变形，结合余弦函数的性质，可知道：如果一个 三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的 角是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角为 钝角，如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角为锐角 从这一点说，余弦定理可以看作勾股定理的推广，而勾股定 理则是余弦定理的特例.二、余弦沱理的证明教材中给出了用向量的数量积证明余弦定理的方法，是平面向量知识在解三角形中的应用.另外，对余弦定理的证 明，还可以应用解析法、几何法等方法证明证明：方法1:如图所示，以 A为原点， ABc的边AB 所在直线为x轴

4、，建立直角坐标系.则 A,c,B,由两点间的距离公式得 Bc2=2+2,即 a2=b2+c2-2bccosA.同理可证 b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosc.方法2:如图.当厶ABc为锐角三角形时， 过c作cD丄AB于 D,则 cD=bsinA,AD=bcosA,BD=AB-AD=c-bcosA.在 Rt BcD 中，Bc2=cD2+BD2即 a2=b2sin2A+2. 所以 a2=b2+c2-2bccosA.同理可证 b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosc.如图，当 ABc为钝角三角形时，过 c作cD垂直于AB的延长线，垂足为 D,贝

5、U AD=bcosA,cD=bsinA.BD=AD-AB=bcosA-c.在 Rt BcD 中,Bc2=cD2+BD2,即 a2=b2sin2A+2.所以 a2=b2+c2-2bccosA.同理可证：b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosc.二、余弦圧理的应用余弦定理主要适用以下两种题型已知二边求二角，用余弦定理，右解时只有一解；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他的角，用余弦 定理，必有一解.注意：在应用余弦定理求三角形的边长时，容易出现增解，原 因是余弦定理中涉及的是边长的平方，求得结果常有两解， 因此，解题时需要特别注意三角形三边长度应满足的基本条 件.知能自主

6、梳理余弦定理语言叙述：三角形任何一边的平方等于减去的积的公式表达：a2= b2= c2=变形：cosA= cosB= cosc=余弦定理及其变形的应川应用余弦定理及其变形可解决两类解三角形的问题，一类是已知两边及其解三角形，另一类是已知解三角形.答案1.其他两边的平方和这两边与它们夹角的余弦 两倍 b2+c2-2bccosA a2+c2-2accosB a2+b2-2abcosc夹角二边思路方法技巧命题方向已知三边解三角形例1 在厶ABc中，已知a=7,b=3,c=5，求最大角和sinc.分析在三角形中，大边对大角，所以a边所对角最大.解析Tac > b, A为最大角，由余弦定理得， c

7、osA= j又 0°v Av 180° ,: A=120°, sinA=sin120 ° =.出正弦疋理=得，sinc=.最大角 A 为 120 ° , sinc=.说明 求sinc也可川MM方法求解：cosc=, c为锐角.sinc=.在解三角形时，有时既可用余弦定理，也可用正弦定理.变式应用1在厶ABc中，已知：=4: 5: 6,求厶ABc的最大内角.解析设 b+c=4,c+a=5,a+b=6.则 a+b+c=7.5,解得 a=3.5,b=2.5,c=1.5. a是最大边，即角 A是厶ABc的最大角.由余弦定理，得 cosA=-, 0

8、76;v Av 180° , A=120°,即最大角为 120° .命题方向已知两边及一角解三角形例2 ABc中，已知b=3,c=3, / B=30° ,解三角形.分析出题冃町知以卜信息： 已知两边和其中一边的对角 求另外的两角和另一边.解答本题可先由正弦定理求出角c,然后再求其他的边和角，也可由余弦定理列出关于边长a的方程，求出边 a,再由正弦定理求角A,角 c.解析解法一：由余弦定理 b2=a2+c2-2accosB,得 32=a2+2-2a x 3X cos30 ° , a2-9a+18=0,得 a=3 或 6.当 a=3 时，/ A=3

9、0° , / c=120° .当a=6时，由正弦定理 sinA=1./ A=90° ,/ c=60 ° .解法二：由bcsin30 ° =3x =知本题有两解.由正弦定理 sinc=,/ c=60 °或 120° ,当/ c=60 °时，/ A=90° ,由勾股定理a=6.当/c=120 °时，/ A=30°,A ABc为等腰=角形，-a=3.说明知两边和一角解二命丿E时有两种方法:利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长 直接用正弦定理，先求角再求边

10、.用方法时要注意解的情况，用方法就避免了取舍解的麻烦.变式应用2在厶ABc中，a、b、c分别是/ A、/ B、/ c的对边，且cosA=,若 a=4,b+c=6,且 bb>c,最大角为 A.sinA=，若A为锐角，则 A=60°, .乂 c-cosA=-,设 c=x,贝U b=x+2,a=x+4. = x=3，故三边长为 3, 5, 7.二、解答题在厶 ABc 中，已知 b2-bc-2c2=0,且 a=,cosA=,求厶 ABc 的面积.解析T b2-bc-2c2=0, 2-2=0,解得=2,即b=2c.由余弦定理，得 a2=b2+c2-2bccosA,即 b2+c2-bc=6

11、,与 b=2c联立解得 b=4,c=2. I cosA=, sinA=, SA ABc=bcsinA=.课后强化作业>选择题< ABc 中，b=5,c=5,A=30 ° ,则 a 等于A. 5B. 4c.3D.10答案A解析由余弦定理，得 2bccosA=b2+c2-a2, 2X 5X 5X cos30 ° = 52 + 2-a2,-a2=25, a=5.在厶ABc中，已知 a2=b2+c2+bc,则角A为A.B.c.D.或答案c解析T a2=b2+c2+bc,. cosA=,又 0<A< n , A=.在厶ABc中，若a=+1,b=-1,c=,则厶

12、ABc的最大角的度数A.60B.90 °c.120 °D.150 °答案c解析显然+1>-1,-cosc=-=，c=120. ABc的三内角A、B、c所对边长分别为a, b, c,设向 量p=,q=.若p II q,则/ c的大小.为A.B.c.D. n答案B解析I p=,q=且 p I q, -b=0 J即 a2+b2-c2=ab,cosc=. c=.在厶ABc中，已知2a2=c2+2,则/ A的值为A. 30 °B. 45 °c.120D.135 °答案D解析由已知得 2a2=c2+2b2+c2+2bc, a2=b2+c2+

13、bc, b2+c2-a2 = -bc,又 b2+c2-a2=2bccosA, 2bccosA=-bc,-cosA=-, A=135° .若厶ABc的内角 A、B、c所对的边a、b、c满足2-c2=4 , 且c=60。，则ab的值为A.B. 8-4c.1D.答案A解析本题主要考查余弦定理的应用.在厶 ABc 中，c=60° , a2+b2-c2=2abcosc=ab, 2-c2=a2+b2-c2+2ab=3ab=4, ab=,选 A.在厶ABc中，三边长 AB=7,Bc=5,Ac=6,则等于A.19B.-14C. -18D. -19答案D解析在厶 ABc 中 AB=7,Bc=

14、5,Ac=6,贝U cosB=.又？ = II ? | cos=-| ? | cosB=-7X 5X 二 19.在厶ABc中，若 ABc的面积S=，则/ c为A.B.c.D.答案A解析 由 S=,得 absinc= x 2abcosc, tanc=1, c=.二、填空题在厶ABc中，b=,c=2,A=45,那么a的长为答案解析由余弦定理，得 a2=b2+c2-2bcosA=+8-2 xx2 x =+8-=,所以 a=.0. < ABc 中，AB=3,Bc=,Ac=4,则边 Ac 上的高为答案解析如图，cosA=, sinA=. : .BD=AB?sinA=.1.在厶ABc中，已知 Bc=

15、8,Ac=5,三角形面积为 12，则 cos2c=.答案解析由题意得 SAABc=Ac?Bcsinc=12,即x 5X 8X sinc=12,贝U sinc=. cos2c=1-2sin2c=1-2 x 2=.在厶ABc中，B=60° ,b2=ac,则三角形的形状为答案等边斗形解析由余弦定理得b2=a2+c2-ac,b2=ac, a2+c2-2ac=0, 2=0,a=c.又 B=60° , A=c=60° .故厶ABc为等边三角形.二、解答题3.在厶 ABc 中，A+c=2B,a+c=8,ac=15,求 b.解析解法一：在厶 ABc 中，由 A+c=2B,A+B+

16、c=180°,知 B=60由 a+c=8,ac=15,贝U a、c 是方程 x2-8x+15=0 的两根. 解得 a=5,c=3 或 a=3,c=5.由余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB=9+25-2 x 3X 5X =19. b=.解法二：在 ABc中，T A+c=2B,A+B+c=180 , B=60° .由 余 弦 定 理， 得b2=a2+c2-2accosB=2-2ac-2accosB=82-2 x 15-2 x 15 x= 19.- b=. ABc的内角 A、B、c的对边分别为a、b、c ,asinA+csinc-asinc=bsinB.求B；若 A=7

17、5° ,b=2,求 a,c.分析利用三角形正弦定理，将已知条件asinA+csinc-asinc=bsinB中的角转化为边，再利用余弦定理即可求得B角，然后再利用正弦定理求得a, c的值.解析t asinA+csinc-asinc=bsinB a2+c2-ac=b2 a2+c2-b2=accosB= B=45：由得B=45： c=180 ° 4B=180 ° -75 ° -45 ° =60：由正弦定理=ac=.点评本题主要考查正、余弦定理的综合应用，考查考生利用所学知识解决问题的能力.解三角形的实质是将几何问题转化为代数问题即方程问题，具体操作

18、过程的关键 是正确分析边角的关系，能依据题设条件合理的设计解题程 序，进行三角形中边角关系的互化，要抓住两个定理应用的 信息；当遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用 余弦定理，若遇到的式子含角的正弦和边的一次式，则大多 用正弦定理，若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有 可能用.在厶 ABc 中，A=120° ,b=3,c=5.求 sinBsinc;求 sinB+sinc.分析已知两边及其夹角，由余弦定理可求出第三边a,再由正弦定理求出 sinB,sinc.解析/ b=3,c=5,A=120 ° ,由余弦定理，得 a2=b2+c2-2bccosA=9+25-2 X 3X 5 X =49.取正值a=7.由正弦定理，得 sinB=,sinc= sinB ?sinc=.由