普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)(北京卷)(完全解析)doc

1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类） （北京卷）本试卷分第 I 卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第I 卷 1至 2页，第卷3 至 9页，共 150 分。考试时间 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第 I 卷（选择题共 40分）注意事项：1答第I 卷前，考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写，用2B 铅笔将准考证号对应的信息点涂黑。2每小题选出答案后，将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑，黑度以盖住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净。在试卷上作答无效。一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选

2、出符合题目要求的一项。1在复平面内，复数z i (12i)对应的点位于（）A 第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】 B【解析】本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系.属于基础知识的考查 . zi (1 2i )i 2i2i ，复数 z 所对应的点为2,1 ，故选 B.2已知向量 a、b 不共线，ck ab ( kR),d ab,如果 c / d，那么（）A k 1 且 c 与 d 同向B k 1且 c 与 d 反向C k1 且 c 与 d 同向D k1且 c 与 d 反向【答案】 D【解析】本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查 .取 a

3、1,0 ， b0,1 ，若 k1 ，则 cab1,1 ， da b1,1，显然， a 与 b 不平行，排除A、B.若 k1 ，则 ca b1,1 ， dab1,1，即 c / d 且 c 与 d 反向，排除 C，故选 D.x 3ylglg x 的 图 像 上 所 有 的 点3为了得到函数10 的 图 像 ， 只 需 把 函 数 y（）A 向左平移 3 个单位长度，再向上平移1 个单位长度B向右平移 3 个单位长度，再向上平移1 个单位长度C向左平移 3 个单位长度，再向下平移1 个单位长度D 向右平移 3 个单位长度，再向下平移1 个单位长度【答案】 C【解析】本题主要考查函数图象的平移变换.

4、 属于基础知识、基本运算的考查 .A ylgx31 lg10x 3 ，B ylgx31lg10x3 ，ylgx31x3lgC10，ylgx31lg x3D 10 .故应选 C.4若正四棱柱 ABCDA1 B1C1D1 的底面边长为1， AB1 与底面 ABCD 成 60°角，则 A1C1到底面A的距离为（）3A 3B 1C2D 3【答案】 D【解析】本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念.（第 4 题解答图）属于基础知识、基本运算的考查.依题意，B1 AB60 ，如图，BB11tan603 ，故选 D.2k(kZ )1cos 25“6”是“2”的（）

5、A 充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】 A【解析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断 . 属于基础知识、基本运算的考查 .2k (k Z )cos2cos 4k1cos当6时，33 2 ，cos2122kkkZ23反之，当时，有6，或22k3k6kZ，故应选 A.6若 (1 2)5ab2( a,b 为有理数），则 ab（）A 45B 55C70D 80【答案】 C【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式.属于基础知识、基本运算的考查.50123451 2C502C512C522C532C542C55215220202204241

6、292 ，由已知，得41292a b2 ， ab41 2970 .故选 C.7用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A 324B 328C 360D 648【答案】 B【解析】本题主要考查排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运算的考查 .首先应考虑“ 0”是特殊元素，当0 排在末位时，有A9298 72 （个），当 0 不排在末位时，有A41 A81A814 8 8256 （个），于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有72256328 （个） .故选 B.8点 P 在直线 l : y x1 上，若存在过P 的直线交抛物线y x2于 A

7、, B 两点，且|PA|AB|，则称点P为“点”，那么下列结论中正确的是（）A 直线 l 上的所有点都是“点”B直线 l 上仅有有限个点是“点”C直线 l 上的所有点都不是“点”D 直线 l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”【答案】 A【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型 .本题采作数形结合法易于求解，如图，设 A m, n , P x, x1 ，则 B 2m x,2 n x 2 ， A, B在 y x2上 ，n m2 2n x 1 (2 m x)2（第 8 题解答图）消去 n,整理得关于 x 的方程 x2(4m

8、1)x 2m21 0（ 1） (4 m 1)2 4(2m2 1) 8m2 8m 5 0 恒成立，方程（ 1）恒有实数解，应选A.2009 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类） （北京卷）第卷（共110 分）注意事项：1用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。2答卷前将密封线内的项目填写清楚。题号三总分二151617181920分数二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分。把答案填在题中横线上。limxxx9 x 1x1_.1W 【答案】2【解析】本题主要考极限的基本运算，其中重点考查如何约去“零因子” . 属于基础知识、基本运算的考查 .limx x xx x xlim

9、x x 1limx1x 1lim22x 1x 11x 1x 1x1x 1x 1x，故应填12 .xy 20x410若实数 x, y 满足y5则 sy x 的最小值为 _.【答案】 6【解析】本题主要考查线性规划方面的基础知 . 属于基础知识、基本运算的考查 .如图，当 x4, y2 时，syx 246为最小值 .故应填6 .（第 10 题解答图）11设 f (x) 是偶函数，若曲线yf ( x) 在点 (1, f (1)处的切线的斜率为1，则该曲线在(1, f (1)处的切线的斜率为 _.【答案】1【解析】本题主要考查导数与曲线在某一点处切线的斜率的概念. 属于基础知识、基本运算的考查 .取f

10、 xx2，如图，采用数形结合法，易得该曲线在 (1, f (1) 处的切线的斜率为 1.故应填1.x2y212椭圆 91F1,F2，点 P在2的焦点为椭圆上，若 | PF1| 4，则 |PF2|_；F1 PF2 的小大为 _.（第 11 题解答图）【答案】 2,120【解析】本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理. 属于基础知识、基本运算的考查 . a29, b23 ， ca2b2927 ， F1F227 ，又 PF14, PF1PF22a6 ，（第 12 题解答图） PF22，2242272cosF1 PF21又由余弦定理，得2 242 ，F1 PF2120，故

11、应填2,120.13若函数【答案】1 , x 0f ( x)x(1)x , x 0| f (x) | 13则不等式3的解集为 _.3,1【解析】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查 .| f ( x) | 1x0113 x 03x3（ 1）由.1x0x0| f ( x) |1x11x10 x 133333（ 2）由.| f ( x) |1x | 3x13,13 的解集为，应填.不等式14已知数列 an 满足：a4n31,a4n 10, a2 nan,nN ,则a2009_；a2014 =_.【答案】 1， 0【解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创

12、新题型 .依题意，得 a2009a4 503 3 1， a2014a2 1007a1007a4252 10 .应填 1，0.三 、解答题：本大题共6 小题，共80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15（本小题共13 分）a,b,c, Bcos A43, b在ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为3 ，5.（）求 sinC 的值；（）求ABC 的面积 .【解析】 本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、 三角形的面积公式等基础知识，主要考查基本运算能力B,cos A4（） A 、 B、 C 为 ABC 的内角，且35 ，23CA,sin A5 ，3sin C2A31

13、sin A343sincos A32210.sin A3,sin C343（）由（）知510，B,b3又3，在 ABC 中，由正弦定理，得b sin A6a5 .sin BS1 ab sin C16334336 93 ABC 的面积2251050.16（本小题共 14 分）如图，在三棱锥 PABC 中， PA底面 ABC , PAAB ,ABC 60 , BCA 90 ，点 D ， E 分别在棱 PB, PC 上，且 DE / BC（）求证：BC平面 PAC ；（）当 D 为 PB 的中点时，求AD 与平面 PAC 所成的角的大小；（）是否存在点E 使得二面角ADEP 为直二面角？并说明理由.

14、【解法 1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力（） PA底面 ABC ， PA BC.又 BCA 90 ， AC BC. BC 平面 PAC.（） D 为 PB 的中点， DE/BC ，1DEBC2，又由（）知，BC 平面 PAC， DE 平面 PAC，垂足为点E. DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角， PA底面 ABC ， PAAB ，又 PA=AB ，AD1 AB ABP 为等腰直角三角形，2，1AB在 RtABC 中， ABC60 ，BC2.DEBC2sin DAE2 AD4 ，在 RtADE 中，AD2ar

15、csin AD 与平面 PAC 所成的角的大小4 .（） AE/BC ，又由（）知， BC平面 PAC， DE 平面 PAC，又 AE 平面 PAC，PE平面 PAC， DE AE ，DE PE， AEP 为二面角 A DEP 的平面角， PA底面 ABC ， PAAC ， PAC 90 .在棱 PC 上存在一点 E，使得 AE PC，这时AEP90 ，故存在点 E 使得二面角 ADE P 是直二面角 .【解法 2】如图，以 A 为原煤点建立空间直角坐标系Axyz ，设 PAa ，由已知可得133A 0,0,0 , Ba,a,0 , C 0,a,0 , P 0,0, a222.AP0,0, a

16、 , BC1 a,0,0（）2， BCAP0 ， BC AP.又BCA90 ， BC AC ， BC 平面 PAC.（） D 为 PB 的中点， DE/BC ， E 为 PC 的中点，D1 a, 3 a, 1 a , E 0, 3 a, 1 a44242，又由（）知， BC 平面 PAC， DE 平面 PAC，垂足为点 E. DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角，AD1 a,3 a, 1 a, AE0,3 a, 1 a44242，cosDAEADAE14ADAE4. AD 与平面 PAC 所成的角的大小arccos144 .（）同解法 1.17（本小题共 13 分）某学生在上学路上要经过

17、4 个路口， 假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的1概率都是 3 ，遇到红灯时停留的时间都是2min.（）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望.【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.（）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A ，因为事件A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 的PA111114概率为33327 .（）由题意，可得可

18、能取的值为0， 2， 4， 6， 8（单位： min ）.事件“2k ”等价于事件“该学生在路上遇到 k 次红灯”（ k0， 1， 2， 3， 4），k4kP2kCk412k0,1,2,3,433，即 的分布列是02468P16328818181278181E0162324868818 的期望是81812781813 .18（本小题共 13 分）设函数 f (x)xekx (k0)（）求曲线yf ( x) 在点 (0, f (0) 处的切线方程；（）求函数f ( x) 的单调区间；（）若函数f ( x) 在区间 (1,1) 内单调递增，求k 的取值范围 .【解析】 本题主要考查利用导数研究函数

19、的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力（） f 'x1kxekx , f '01, f00,曲线 yf ( x) 在点 (0, f (0) 处的切线方程为 yx .（）由 f'xkxx1 k01 kx e0 ，得k，1若 k0 ，则当 x, k时， f 'x0 ，函数 fx单调递减，1当xk ,f ' x0，函数f x单调递增，时，0，则当 x,1时， f 'x0 ，函数 fx 单调递增，若 kk1当xk ,f ' x0，函数fx单调递减，时，11（）由（）知，若k0 ，则当且仅当k，即 k1 时，函数fx1,1

20、 内单调递增，11若 k0 ，则当且仅当k，即 k1 时，函数 fx1,1 内单调递增，综上可知，函数f x1,1内单调递增时，k 的取值范围是1,00,1.19（本小题共 14 分）已知双曲线 C :x2y21(a0, b 0) 的离心率为x3a2b23 ，右准线方程为3（）求双曲线C 的方程；（）设直线l 是圆 O : x2y22 上动点 P(x0, y0 )( x0 y00) 处的切线， l 与双曲线 C 交于不同的两点A, B ，证明AOB 的大小为定值 .【解法 1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力

21、a23c3c3（）由题意，得a，解得 a1,c3 ，2y 2 b2c2a22 ，所求双曲线x1C 的方程为2.（）点P x0 , y0x0 y0 0在圆x2y22上，P x0, y0yy0x0xx0圆在点处的切线方程为y0，化简得 x0 xy0 y2 .x2y212x02y023x024 x24x0 x 8 2x020由x0 x y0 y 2及2得，切线 l 与双曲线 C 交于不同的两点A、B，且 0x022 ，3x0240，且16x024 3x02482x020，设 A 、 B 两点的坐标分别为x1 , y1,x2 , y2，x1x24x0 , x1 x282x23x023x020则44 ，

22、cosAOBOA OBOAOB，且OA OB x1 x2y1 y2x1 x212 2 x0 x1 2 x0 x2y0，x1 x221 2 4 2x0 x1x2 x02x1x2x08 2x0218x02x02 8 2x023x024 2 x02 43x0243x02482x0282x0203x243x24.00 AOB 的大小为 90 .【解法 2】（）同解法1.（）点P x0 , y0x0 y00在圆x2y22上，yy0x0xxP x0, y0y00圆在点处的切线方程为，x2y212x02y02化简得x0 x y0 y 2x0 x y0 y 2及2得.由3x024 x24x0x 8 2x0203x024 y28y0 x 8 2 x020切线 l 与双曲线 C 交于不同的两点A、B，且 0x022 ， 3x0240 ，设 A 、 B 两点的坐标分别为x1 , y1,x2 , y2 ，x1 x28 2x02, y1 y22x028则3x0243x024 ，OA OB x1 x2y1y20，AOB 的大小为 90 .（x02y022且x0 y00，0x022,0y022，从而当3x024 0时，方程和方程的判别式均大于零） .20（本小题共 13 分）已知数集A a1, a2 , an1 a1a2an ,n 2具有性质 P ；对任意的aji , j