九年级数学24.1.4(2)

1、24.1.4 24.1.4 圆周角（圆周角（2 2）ABC1OC2C3定理与推论定理与推论 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半定定 理理 半圆（或直径）所对的圆周半圆（或直径）所对的圆周角是直角角是直角; ; 90 90的圆周角所对的弦是直径的圆周角所对的弦是直径推推 论论新课讲解：新课讲解： 若一个多边形若一个多边形各顶点都在同一各顶点都在同一个圆上个圆上，那么，这个多边形叫做圆，那么，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆形的外接

2、圆。OBCDEFAOACEDBOOC CA AB BD D如图，四边形如图，四边形ABCDABCD为为OO的内接四边的内接四边形；形；OO为四边形为四边形ABCDABCD的外接圆。的外接圆。 OOCDBA如图：已知圆内接四边形如图：已知圆内接四边形ABCDABCD，求证：求证：A+C=180A+C=180圆的内接四边形的对角互补。圆的内接四边形的对角互补。巩固练习：巩固练习：1 1、如图，四边形如图，四边形ABCDABCD为为OO 的内接的内接四边形，已知四边形，已知BODBOD100100，求，求BADBAD及及BCDBCD的度数。的度数。A AOD DB BC C(1)四边形四边形ABCD

3、内接于内接于 O，则，则A+C=_ B+ADC=_;若若B=80，则，则ADC=_ CDE=_(2)四边形四边形ABCD内接于内接于 O，AOC=100则则B=_D=_ (3)四边形四边形ABCD内接于内接于 O, A:C=1:3,则则A=_, 180 180 100 80 50 130 45 EDBAC80DBACO100例例 如图，如图， O直径直径AB为为10cm，弦，弦AC为为6cm，ACB的平的平分线交分线交 O于于D，求，求BC、AD、BD的长的长86102222ACABBC又在又在RtABD中，中，AD2+BD2=AB2，221052(cm)22ADBDAB解：解：AB是直径，是

4、直径， ACB= ADB=90在在RtABC中，中，CD平分平分ACB，AD=BD.ACDBCD 例题例题OABCD(4)梯形梯形ABCD内接于内接于 O,ADBC, B=750,则则C=_ 75返回圆的内接梯形一定是梯形。圆的内接梯形一定是梯形。DBACO在同圆或等圆中在同圆或等圆中, ,同弧或等弧所对的圆周角相同弧或等弧所对的圆周角相等等, ,都等于这条弧所对的圆心角的一半都等于这条弧所对的圆心角的一半. .顶点在圆上，两边与圆相交的角顶点在圆上，两边与圆相交的角, ,叫圆周角叫圆周角. .圆周角的概念圆周角的概念圆周角定理圆周角定理 复习巩固复习巩固 1.如图，在如图，在 O中中ABC=

5、50，则则AOC等于（等于（ ）A.50； B.80；C.90； D.100ACBOD2.如图，如图，ABC是等边三角形，是等边三角形，动点动点P在圆周的劣弧在圆周的劣弧AB上，且不上，且不与与A、B重合，则重合，则BPC等于（等于（ ）A.30； B.60；C.90； D.45CABPB巩固练习巩固练习3.如图如图,ABC的顶点的顶点A、B、C都在都在 O上上,C30 ,AB2,则则 O的半径是的半径是 。CABO24.课本课本P88第第5题。题。巩固练习巩固练习86102222ACABBC又在又在RtABD中，中，AD2+BD2=AB2，22105 2(cm)22ADBDABABCDO解：

6、解：AB是直径，是直径， ACB= ADB=90在在RtABC中，中，CD平分平分ACB，AD=BDAD=BD. .106）8例题讲解例题讲解AD= BDAD= BD. .ABCDOO1垂直垂直平行平行4随堂练习随堂练习 3.如图如图,A=50,ABC=60 ，BD是是 O的直径，则的直径，则AEB等于（等于（ ）A.70 B.110 C.90 D.120 CABODEBACBODE1200随堂练习随堂练习分析分析：同一条弧所对：同一条弧所对的圆周角有很多，圆的圆周角有很多，圆周角的位置灵活多变，周角的位置灵活多变，可以把注意力放在圆可以把注意力放在圆周角所对的弧上周角所对的弧上.4. 如图，

7、如图，AB是是 O的直径的直径, C 和和D是圆上的两是圆上的两点点,若若ABD=40,求求BCD的度数的度数.ABOCD40随堂练习随堂练习例例2. 2. 如图，如图，ABAB为为O O的一条固定直径，自上半圆的一条固定直径，自上半圆上一点上一点C C，作弦，作弦CDCDABAB，OCDOCD的平分线交的平分线交O O于于点点P P，当点，当点C C在半圆（不含在半圆（不含A,BA,B两点）上移动时，两点）上移动时，问：点问：点P P的位置是否变化？的位置是否变化？PABDCOE分析分析 延长延长CO与与 O交于点交于点E，易证易证CA=DA，又，又CA=BE，则，则DA=BE，由，由OCD

8、的平分线的平分线得得DP=PE，则，则AP=BP，所以，所以点点P为半圆的中点为半圆的中点. 例题讲解例题讲解分析分析 连结连结AO，CO，由勾股，由勾股定理不难得到定理不难得到ABD为等腰为等腰直角三角形，则直角三角形，则AOC=90，又，又OA=OC，AC长度已知，则可以求出半长度已知，则可以求出半径和直径径和直径. 更一般的情况要用更一般的情况要用正弦定理来求正弦定理来求.OCBAD5. 如图，如图，A，B，C三点在三点在 O上，上，ADBC于于D，且，且AC=5，DC=3，AB= ，求，求 O的直径的直径.24随堂练习随堂练习 1.(08 1.(08青海西宁青海西宁) )如图如图,O,

9、O中中, ,弦弦DCDC、ABAB的延的延长线相交于点长线相交于点P,P,如果如果AOD=120AOD=1200 0,BDC=25,BDC=250 0, ,那么那么P=P= ADCPBO350走进中考走进中考 2.(08 2.(08山东泰安山东泰安) )如图如图, ,在在O O中中,AOB,AOB的度数的度数为为m.Cm.C是是ACBACB上一点上一点,D,D、E E是是ABAB弧上不同的两点弧上不同的两点( (不与不与A,BA,B两点重合两点重合),),则则D+ED+E的度数为（的度数为（ ）A.mA.m B B C C D D1802m902m2mCBODEA走进中考走进中考 B 如果一个

10、多边形的所有顶点都在同一个圆上如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形就叫做这个多边形就叫做圆内接多边形圆内接多边形,这个圆叫做这个这个圆叫做这个多边形的外接圆多边形的外接圆.ABCDO 如图，四边形如图，四边形ABCD是是 O的内接四边形，的内接四边形， O是四边是四边形形ABCD的外接圆。的外接圆。思考：思考：A+C=? 能用圆周角定理证明你的结论吗？能用圆周角定理证明你的结论吗？ 圆内接四边形的对角互补。圆内接四边形的对角互补。 6. 6.如图如图,O,O中中,A0B = 80,A0B = 80, ,则则ACB=_.ACB=_.140140AOCBD随堂练习随堂练习 7. 7.

11、求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形（提示：作出以半，那么这个三角形是直角三角形（提示：作出以这条边为直径的圆这条边为直径的圆. .）ABCO求证：求证： ABC 为直角三角形为直角三角形.证明：证明：以以AB为直径作为直径作 O，AO=BO，AO=BO=CO. 点点C在在 O上上.又又AB为直径为直径,ACB= 90.12已知：已知： CO 是是ABC 的的AB边上的中线，边上的中线，且且CO= AB ABC 为直角三角形为直角三角形.CO= AB,12随堂练习随堂练习 1. 1.船在航行过程中船在航行过程中, ,船长

12、常常通过测定角度来船长常常通过测定角度来测定是否会遇到暗礁测定是否会遇到暗礁, ,如图表示灯塔如图表示灯塔, ,暗礁分布在暗礁分布在经过经过A A、B B两点的一个圆形区域内两点的一个圆形区域内, ,C C表示一个危险表示一个危险临界点临界点, ,ACBACB就是就是“危险角危险角”, ,当船与两个灯塔的当船与两个灯塔的夹角大于夹角大于“危险角危险角”时时, ,就有可能触礁。就有可能触礁。1 1）当船与两个灯塔的夹角）当船与两个灯塔的夹角大于大于“危险角危险角”时，时，船位于哪个区域？为什么？船位于哪个区域？为什么？2 2）当船与两个灯塔的夹角）当船与两个灯塔的夹角小于小于“危险角危险角”时，

13、船位于哪个时，船位于哪个区域？为什么？区域？为什么？AEOBCP拓展提高拓展提高 2.2.如图如图, ,在足球比赛中在足球比赛中, ,甲、乙两名队员互相配甲、乙两名队员互相配合向对方球门合向对方球门MNMN进攻进攻, ,当甲带球冲到当甲带球冲到A A点时点时, ,乙已跟乙已跟随冲到随冲到B B点点, ,从数学角度看从数学角度看, ,此时甲是自己直接射门此时甲是自己直接射门好好, ,还是迅速将球回传给乙还是迅速将球回传给乙, ,让乙射门好？让乙射门好？ 拓展提高拓展提高 提示提示: :从数学角度看从数学角度看, ,甲、甲、乙谁射门好乙谁射门好, ,关键是比较关键是比较MANMAN与与MBNMBN

14、的大小的大小, ,角度角度越大越大, ,射门的机会越好。射门的机会越好。 2.2.如图如图, ,在足球比赛中在足球比赛中, ,甲、乙两名队员互相配甲、乙两名队员互相配合向对方球门合向对方球门MNMN进攻进攻, ,当甲带球冲到当甲带球冲到A A点时点时, ,乙已跟乙已跟随冲到随冲到B B点点, ,从数学角度看从数学角度看, ,此时甲是自己直接射门此时甲是自己直接射门好好, ,还是迅速将球回传给乙还是迅速将球回传给乙, ,让乙射门好？让乙射门好？ 拓展提高拓展提高 提示提示: :从数学角度看从数学角度看, ,甲、甲、乙谁射门好乙谁射门好, ,关键是比较关键是比较MANMAN与与MBNMBN的大小的大小, ,角度角度越大越大, ,射门的机会越好。射门的机会越好。 3.3.如图如图, ,点点P P是圆上的一个动点是圆上的一个动点, ,弦弦AB= ,PCAB= ,PC是是APBAPB的平分线的平分线,BAC=30,BAC=300 0. .(1)(1)当当PACPAC等于多少度时