《完全平方公式》典型例题

1、完全平方公式典型例题例1利用完全平方公式计算：,2212(1)(23x);(2)(2ab+4a);(3)(-am-2b).例2计算：(1)(3a-1)2;(2)(2x+3y)2;(3)(-3x-y)2.例3用完全平方公式计算：2222(1)(4y+-x)2;(2)(a-b)2;(3)(3a+4b-5c)2.3例4运用乘法公式计算：(1)(x-a)(x+a)(x2-a2);(2)(a+bc)(a一bc);(3)(x+1)2(x1)2(x2+1)2.例5计算：,1o1o11o(1)(-X-3)2x2;(2)(2a-b-)(2a-b+-);(3)(x+y)2-(xy)2.2422例6利用完全平方公式

2、进行计算：(1)2012;(2)992;(3)(30-)23例7已知a+bq,ab=72,求下列各式的值.(1) a2+b2;(2)a2-ab+b2;(3)(a-b)2.例83(a2+b2+c2)=(a+b+c)2，求证：a二b二c.例1分析：这几个题都符合完全平方公式的特征，可以直接应用该公式进行计A-A-导.角翠：(1)(23x)2-2?2父2M3x+(3x)2=412x+9x2；2222222(2) (2ab+4a)=(2ab)+2父2ab父4a+(4a)=4ab+16ab+16a;1.2122_2(3) (一am-2b)=-am2amb+4b.24说明：(1)必须注意观察式子的特征，必

3、须符合完全平方公式，才能应用该公式；(2)在进行两数和或两数差的平方时，应注意将两数分别平方，避免出现(2-3x)2=4-12x+3x2的错误.例2分析：(2)题可看成(-2x)+3yr也可看成(3y-2x)2;(3)题可看成-(3x+62,也可以看成(-3乂)-丫2,变形后都符合完全平方公式.解：(1)(3a7)2=(3a)2-23a1+122-9a-6a1(2)原式二(一2x)2十2(2x)3y+(3y)2=4x2-12xy9y2或原式(3y-2x)2-2_2"(3y)-23y2x(2x)2.2=9yT2xy4x(3)原式=-(3x+y)?=(3xy)222二(3x)23xyy2

4、2二9x6xyy或原式二(-3x)-2(3x)yy22-9x26xyy说明：把题目变形为符合公式标准的形式有多种方式，做题时要灵活运用.2例3分析：第(1)小题，直接运用完全平方公式.x为公式中a,3y为公3式中b,利用差的平方计算；第(2)小题应把(-a-b)2化为(a+b)2再利用和的平方计算；第(3)小题，可把任意两项看作公式中a,如把(3a+4b)作为公式中的a,5c作为公式中的b,再两次运用完全平方公式计算.2o2o4oo斛：(1)(3y+x)=(x3y)=-x4xy+9y3392_222(2) (-a-b)=(a+b)-a+2ab+b(3) (3a+4b+5c尸二(3a+4b)21

5、0c(3a十4b)十25c2_222二9a30ac-40be25c16b24ab说明：运用完全平方公式计算要防止出现以下错误：(a+b)2=a?+b2,(a-b)2-a2-b2.例4分析：第(1)小题先用平方差公式计算前两个因式的积，再利用完全平方式计算.第小题，根据题目特点，两式中都有完全相同的项a-c,和互为相反数的项b,所以先利用平方差公式计算(a-c)+b与(a-c)-b的积，再利用完全平方公式计算(a-c)2；第三小题先需要利用幕的性质把原式化为(x+10(x-1)(x2+1)了,再利用乘法公式计算.解：(1)原式二(x,-a?)(x?-a?)=(x2-a2)2=x4-2a2X2+a

6、4(2)原式二(a-c)+b(a-c)-b=(a-c)2-b2=a2-2acc2-b2(3)原式二(X+1)(X1)(X2+1)2=(x21)(X2+1)2-(X4-1)2-X8-2x4+1.说明：计算本题时先观察题目特点，灵活运用所学过的乘法公式和幕的性质,以达到简化运算的目的.例5分析：(1)和(3)首先我们都可以用完全平方公式展开，然后合并同类项；第题可以先根据平方差公式进行计算，然后如果还可以应用公式，我们继续应用公式.解:(1) (_x_3)2101010x=x3x+9x=93x；4441111.(2a-b)(2a-b+-)=(2a-b)(2a-b)+-22225二(2ab).212

7、,.2=4a-4ab+b(3) (x+y)2-(xy)2=x2+2xy+y2-(x2-2xy+y2)2c22c2=x+2xy+y-x+2xy一y二4xy.说明：当相乘的多项式是两个三项式时，在观察时应把其中的两项看成一个整体来研究.例6分析：在利用完全平方公式求一个数的平方时，一定要把原有数拆成两个数的和或差.解：(1)2012=(200+1)2=2002+2x200+1=40401；(4) 992=(1001)2=10022x100+1=980112_12_2_3(3"(5) (30_尸二(30+_y=3。2+2父3。21033o1二'9002099说明：在利用完全平方公式，进行数的平方的简算时，应注意拆成的两个数必须是便于计算的两个数，这才能达到简算的目的.例7分析：(1)由完全平方公式(