广东省东莞市2017-2018学年高二上学期期末考试数学理科试题

1、广东省东莞市2017-2018学年度第一学期高二理科数学期末考试（解析版）一：选择题.1. 命题“v0,x'-2兰。"的否定是（）A. «匕°,x七次三0B.x2-2x<0C.*润，X-次<0D.Vx<o,x2-2x<0【答案】D【解析】【分析】根据特称命题的否定方法，根据已知中的原命题，写出其否定形式，可得答案.【详解】解：命题"次<。，"的否定是为Ux0,故选：D.【点睛】本题考查的知识点是全称命题，命题的否定，熟练掌握全称命题和特称命题的否定方法是解答的关键.,“，4一L2兀,一,、2. 在AABC中

2、，若AC寸9,忐=3,则BC=（）A.2B.3C.4D.5【答案】A【解析】【分析】由已知，利用余弦定理可得关于BC的方程，解方程可得BC的值.【详解】解：脂<：=应必=3,曲=目,2.由余弦定理可得：AC*=AB十-BC-cosB,可得：19=9i改"-2*3黄况二cosy,可得：、，上解得:BC=2或-5（舍去）.故选：A.【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.3. 下列结论成立的是（）A.若ac>be,贝（Ja>bB. 若zb,则a2>b2C. 若贝+十dD. 若ab,cd,贝ll;i-d>b-c【答案】D【解析】【分析】对

3、瓦b,c,d赋值来排除。【详解】当a=Zb=3,c=-I时，A结论不成立。当a=lb=-2时，B结论不成立。当a=3,b=2,c=Ld=5时，C结论不成立。故选：D【点睛】本题主要利用赋值法来排除，也可以利用不等式的性质来判断。4. 等差数列W中,%+（i4+a739,电+财+呢，则标的值为（）A.10B.9C.8D.7【答案】B【解析】'等差数列吒中，a】七即七方=39为+a/知=33,二a,+标+野=27,二3电=27,冲=9故答案选225.若椭圆J+、=1(a>b>0)的离心率为-,b34A.C.如R:B.:=贝U双曲线三二=1的渐近线方程为（）【答案】C【解析】c1

4、一（侦e=-=-,不妨设日=4一c=I，贝=,a4b-对应双曲线的渐近线方程为：x-y+I>06. 如果实数x、y满足条件.y+1>0，那么*-y的最大值为()(x+y+1<0A.B.C.D.【答案】B【解析】解：当直线2*-y=l过点(0,-1)时，I最大,故选B7. 若正实数a,b满足a+b=l，则下列说法正确的是()A.ab有最小值:B.局，有最小值&11D_°、应C.-+-有最小值4D.a'-b-有最小值ab2【答案】C【解析】【分析】1根据a,b都是正数，以及a+b=l即可得出ab<-，从而判断选项A错误，根据基本不等式即4可排除选项

5、B,D,从而只能选C.【详解】解："EAO,b>。，且a+b=l；-1-a+b>；,1*ab<_;4-北有最大值；,选项A错误；4(血+而)'=a+b=1一2/ab冬1+2=&上血卜,三、回，即&+小有最大值也，-'B项错误.1.】a”b1.一1.1丑4,-一小有取小值4,C正确；ababababa"Ib"=(ai-b)=12ab三1-2工-=-,atr的取小值是-，不是一，-D错该.4222故选：C.【点睛】考查基本不等式的应用，以及不等式的性质.8. 等比数列位检的前n项和为岛，已知h沔=间，且勺与瓦5的等差中

6、项为，则禽=()A.29B.31C.33D.36【答案】B【解析】【分析】设等比数列的公比为q,运用等差数列中项性质和等比数列的通项公式，可得首项和公比的方程，解方程可得首项和公比，再由等比数列的求和公式，计算可得所求值.【详解】解：等比数列%的公比设为q,前n项和为楫,咧=4吼且皆2%的等差中项为:，可得,解得，故选：B.【点睛】本题考查等差数列中项性质和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题.9. 已知三棱锥O-ABC,点MN分别为边ABOC的中点，P是M时的点，满足p=、,设,根据所给的图形，在图形中看出要求的向量如何得到，再利用向量的加减法法则，得到结果

7、.详解解：-一=TIT),-T=T_TOM2OBOAON2ocMNONOM2OCOBOA2I11_T-.JTJ.J.JOPOM3mn6a3c故选：D.【点睛】本题考查空间向量的加减法,C本题解题的关键是在已知图形中应用已知棱去表示要求的结果，本题是一个基础题.10. 如图在一个"的二面角的棱上有两个点AB,线段AGBD分别在这个二面角的两个面内,并且都垂直于棱AB且葛=AC=1,ED=2，贝UCD的长为（）A.2B.C.D.1【答案】A【解析】CD=CA+AB+BD,=+二f+2?.+2?R+2.?,心克，曲±AB,?毛=0上?.=0,dk?jb=|dk|曲|cos120=

8、；X1X2=-1.=1+1+4-2X1=4,.I|=2,故选：A.11. 如图所示，为了测量AB两处岛屿间的距离，小明在D处观测，A,B分别在D处的北偏西0尸、北偏东4尸方向，再往正东方向行驶20海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60"方向，则A,B两处岛屿间的距离为（）A,叫%海里B.海里C.10(1+4)海里D.20海里【答案】B【解析】【分析】AB的分别在ACD和山BCD中利用正弦定理计算ADBD,再在aABD中利用余弦定理计算值.【详解】解：连接AB,如图所示；3由题意可知=£2C=m'，曲DC=45°,曷CD=90°，

9、匕ACD=3(T,-MCAD=45"，耕B=60“，AD20l在ms中，由正弦定理得,如=典,sin30：sin45在KtBCD中，vZBDC=45°,4BCD=90“，二BD=尽D=20&在么ABD中，由余弦定理得AB=加。干300-2*I。&*20很丁#睫60"=1整(海里i.故选：B.【点睛】本题考查了解三角形的应用问题，合理选择三角形，利用正余弦定理计算是解题的关键，是中档题.AD的斜12, 已知双曲线E=EE0)上的四点AB,C,D满足/柘驾，若直线aTtr率与直线AB的斜率之积为2,则双曲线C的离心率为（）A.B.C.D.倏【答案】A【

10、解析】很明显，A,B,C,D四点组成平行四边形ABDC如图所示，设,贝U:点A在双曲线上，贝U：三一七=1=七=1二a2b2a3b222据此可得：-,2a1b2结合/=/II可得双曲线的离心率为£='=&a本题选择A选项.点睛：求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e的关系式求e或e的范围；另一种是建立a,b,c的齐次关系式，将b用a,e表示，令两边同除以a或a2化为e的关系式，进而求解.:填空题.13. 已知向量*=（-Z3）,：=（5，-Zk），且r"贝u实数x的值为aJbab【答案】4【解析】【分析】利用向量垂直的性质直接求解.【详解】解

11、：v向量=（-N1,3）=（5,-Zx），且上"ababL.J-W-2-3x=0ab'解得x=4.实数x的值为4.故答案为：4.【点睛】本题考查向量的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题.14. 已知命题p:hER,瘁，|2瘁|i<0,若命题p为假命题，贝U实数a的取值范围是.【答案】【解析】【分析】根据已知中“mxER,双七2双十1冬0”为假命题，可以得到否定命题:WxER,ax2I2axI5”为真命题，贝如题可转化为一个函数恒成立问题，对二次项系数a分类讨论后，综合讨论结果，即可得到答案.【详解】解：V“*ER,瘁2|2瘁

12、|槌o”为假命题，其否定“VxER,瘁'2axII=0”为真命题，当3=口时，显然成立；当3芋0时，双、2axII>。恒成立可化为：/a>0（4a2-4a<0解得综上实数a的取值范围是0J）.故答案为：【点睛】本题考查的知识点是命题真假判断与应用，其中根据原命题与其否定命题之间真假性相反，写出原命题的否定命题，并将问题转化为一个函数恒成立问题是解答本题的关键.15. 已知抛物线y=x2的焦点为F,过点F的直线1交抛物线于A,B两点，若|AB|=3,贝U线段AB的中点到x轴的距离为4【解析】【分析】根据抛物线方程可求得准线方程，根据抛物线的定义和梯形中位线定理，可得出答

13、案.【详解】解：如图，F为焦点，AB中点为E,抛物线准线I的方程：y=4分别过A、E、B做:的垂线并交：于点L,M,N.根据梯形的中位线定理，|EM|=.；|r,jL又根据抛物线性质，-«.:上:P.".',3I上'=.,1315-I-I.4244，5故答案为：二.4【点睛】本题主要考查了抛物线的应用灵活利用了抛物线的定义，考查分析问题解决问题的能力.16. 如图，四边形ABC呻，=135,DC=!20c，匕=,4也C=6。'，EC=2,则线段AC长度的取值范围是【解析】【分析】在占ABC中，根据条件求出ZBAC的取值范围，然后根据正弦定理可求得AC

14、取值范围.【详解】解：在AABC中，£BCD=45°,又£8=对，"BAC>18。"-45°-60"=75”，且乙BAC之80"-60"=120”,由正弦定理,AC_BCsinZ-ABCsinZBAC'AC=2-sin60sinBACsinZBAC故答案为：出，2).【点睛】本题考查了正弦定理、三角形边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.三：解答题。17, 设命题p:实数x满足,其中mA。；命题q：(*十2将-3)营。.(若m=2，且pAq为真，求实数x的取值范围；(2)若q是p的

15、充分不必要条件，求实数m的取值范围.【答案】(1).'I(2)【解析】【分析】(解二次不等式妒-4mxI3m2<0,其中m解得m与x兰3m,解ix+2)(x-与。一得：-2式k苴3,取m=2再求交集即可；(2)写出命题所对应的集合，命题p：A=in,3m|,命题q：B=-Z3，由一q是一p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件，则A呈E,列不等式组可求解.【详解】解:(1)由妒-4ex十3m2g。，其中m>0;又m=2,即2三k三6,由ix+2Xx-3)<0.得：-29k至3,又Wq为真，则，这，得：，故实数x的取值范围为23；由得：命题p:A=m,3m,命题q：

16、E=-Z3,由q是rp的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件，则.，尸>-2所以.3m三3，即0mW1.(m>0故实数m取值范围为：(0,11.【点睛】本题考查了二次不等式的解法，复合命题的真假，命题与集合的关系，属于简单题.18. 已知正项数列仆弟是公差为2的等差数列，且2切是J兄与检的等比中项.(求数列位*的通项公式.若b«=q£1,求数列饱J的前n项和Sn.【答案】(1)%=以Sn=3-n+3)(-)n.2.【解析】【分析】(正项数列禹是公差d为2的等差数列，由等差数列的通项公式和等比数列中项性质，可得首项和公差的方程组，解方程即可得到所求通项公式；求

17、得bn=(2n-l)t)n,由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和.【详解】解：正项数列我是公差d为2的等差数列，可得'虹=库+2(n-1),又三、心是寸电与的等比中项，即有成匚-*=24,即(脚十2)成十4)=Z4,解得的二4,可得，故数列孔的通项公式为=4；如项=也=2n-l,即，Z.11，131刖n项和原=1X043x（9|5X印I,I.-1）,（一）,z22Z%=1©+寸1如-1心十相减可得I1-(1-)1 4F"L,-+2x-(2n-1)(-/',2 12I-2化简可得Sn=3-C2n+3)(-f-Z【点睛】本题考查等差数列

18、的通项公式和等比数列中项性质，考查数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题.19. 某家具公司制作木质的椅子和书桌两种家具，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均6个小时做一把椅子，10个小时做一张书桌，该公司每月木工最多有6000个工作时；漆工平均4个小时漆一把椅子，2个小时漆一张书桌，该公司每月漆工最多有2600个工作时.又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，根据以上条件，怎样安排每月的生产,才能获得最大的利润？【答案】每月制作500把椅子、300张书桌.【解析】【分析】先设每天生产桌子x张，椅子y张，利润总额为P千元，根据题意抽象出x,y满足的条件,建立约

19、束条件，作出可行域，再根据目标函数P=I5x十20y,利用截距模型，平移直线找到最优解，即可.【详解】解：依题意，设每月生产x把椅子，y张书桌，利润为z元那么，目标函数为x,y满足限制条件lOys60003x+5y<3000E&G6。即凿十E300x>0.xENx>0,xGNy>0,yeN'(y>0,yN作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域,如图阴影部分平移直线l,当直线通过B点时，目标函数取得最大值IW5y=3O如/x=颇由2x-y=1300，侍ly=300所以点B的坐标为（500300）,此时，所以该公司每月制作500把椅子、300张

20、书桌可获得最大利润13500元.【点睛】本题主要考查用线性规划解决实际问题中的最值问题，基本思路是抽象约束条件，作出可行域，利用目标函数的类型，找到最优解.属于中档题.20. 已知数列归决的前n项和S=.2（若三角形的三边长分别为君,有，跆，求此三角形的面积；（为探究数列a决中是否存在相邻的三项，同时满足以下两个条件：此三项可作为三角形三边的长；此三项构成的三角形最大角是最小角的2倍.若存在，找出这样的三项，若不存在，说明理由.153【答案】（1）二二（2）见解析4【解析】【分析】数列氐的前n项和s=m求出=口，SEN'）,遂得出三角形三边边长，利用余弦定理ri2求解三角形的面积.Q）

21、假设数列常存在相邻的三项满足条件，因为口，设三角形三边长分别是n,口十1,n十2,（二十n十1>n十乏nn>1），三个角分别是皿'低-3时眼'利用正弦定理，余弦定理，验证此三角形的最大角是最小角的2倍，然后推出结果.2【详解】解：数列疆的前n项和S=-.11?当n=1时，a】=S=I,当nM时，今丁岛心-广11,又n=l时，1=阵，所以人=口，（EN'）i-+5"-7'1不妨设ABC三边长为a=3,b=S,。=V,gC=-23x52所以2HZ1态囱9所以-（力假设数列积决存在相邻的三项满足条件，因为=n,设三角形三边长分别是n,n+1,n+

22、2,（n十n十1>n十乏=n»1），三个角分别是cc,冗-3口，2annI2n+2由正弦正理：,所以cosa=sinasin2a2n由余弦定理：，?.?.即2n化简得：-3n-=。，所以：n=4或n=-l舍去i当n=4时，三角形的三边长分别是4,5,6,可以验证此三角形的最大角是最小角的2倍.所以数列也仍中存在相邻的三项4,5,6,满足条件.【点睛】本题考查数列与三角函数的综合应用，考查转化思想以及计算能力.21. 在图所示的五面体中，面ABC炳直角梯形，乙BAD=£ADC=匚，平面ADE1平面ABCQEF=2DG=4AB=4,EF/7CD,ADE是边长为2的正角形.

23、（证明：BE1平面ACF若点P在线段EF上，且二面角PBC-F的余弦值为也，求¥的值.gPF，一,FP1【答案】（1）详见解析；（2）=-PF3【解析】【分析】（建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BE!平面ACF.求出平面BCF的一个法向量和平面PBC的一个法向量，利用向量法能求出结果.【详解】解：连结BEAACAF,取AD的中点0,连结OE依题意知OE-LAD，平面ADEJ-平面ABCD又OEu平面ADE平面ADED平面ABCD=AD,aOE1平面ABCD二以。为原点，0A为x轴，0E为z轴，过0作AB的平行线为y轴，建立空间直角坐标系,则A(1.0,0),B(L1,0),¥12,0),E皿0,相)，F(0,4，由,，2,4,、，=0=°BEAC，BEAF，EEJ_AF,又ACAF=A,aEE1平面ACF由知吨=(-1,0),bf设平面BCF的一个法向量My,m）,f=.2x+y=Q则卜.七野K+3y一屈=0，取X，得n"2InBF-设，4,LjbI.jI,LjB则，.，bL-T，°），设平面PBC的一个法向量y,=-2x+y=0nrBC.面角P-BC-F的余弦值为,8二cos<,>atin解得x=,或=-舍）,42EP1+,=PF3【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查满足二面角的点是否存在的判断与求法，