《圆锥曲线》单元测试题

1、圆锥曲线单元测试题班级姓名学号分数第1卷（选择题共60分）、选择题（本大题共12个小题，每小题 5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1、若双曲线孑一2=1的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为A. 5C.222、圆锥曲线/上 1 _，.=1的离心率e= 2,则a的值为（A. 45B -4以上均不正确3、以椭圆的右焦点 F2为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M N,椭圆的左焦点为F1,且直线MF与此圆相切，则椭圆的离心率 3为（）A./3-1D.24、已知双曲线x2a1b2-1的离心率互为倒数，其中ai>0, a2>b>0,

2、那么以a1、a2、b为边长的三角形是（A.锐角三角形 B .直角三角形.钝角三角形 D .等腰三角形25、设椭圆与十 m2 y_ -2 = n1( m>0 2 一 、 一 1n>0）的右焦点与抛物线 y=8x的焦点相同，离心率为 2,则此椭圆的方程为22喝 +16=1B.)2 x 16+L112C.2248+64=1D.2264+48= 16、已知椭圆2x，十m2?= 1,对于任意实数k,下列直线被椭圆E截得的弦长与l ： y=kx+1被椭圆E截得的弦长不可能相等的是（A. kx + y + k= 0 B . kx-y- 1 = 0C . kx+y-k= 0D . kx + y 2

3、=07、过双曲线M2x2-b2= 1的左顶点A作斜率为1的直线l ,若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点R C,且| AB = | BC ,则双曲线 M的离心率是5A.万B.,10C.D.101B,点P为椭圆上的动点，则使 PAB勺面积为区的点P的个数为（）A. 1B. 2229、设F1、F2分别是椭圆 孑+ b?= 1（a>b>0）的左、右焦点,与直线y= b相切的。E交椭圆于点E,且E是直线EF与。E的切点,则椭圆的离心率为（A上 八.3B.C.D.2210、如图所示，从双曲线 点卷=1（a>。，b>0）的左焦点F引圆x2+y2 = a2的切线，切点为 T,延长F

4、T交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则| MO | MT与ba的大小关系为（）1A. | M(p-| MT> b-a.|MQ|Mf= b-aC. | MO| MT< b-a.不确定211、已知曲线C： y = 2x，点A（0 ,A. (4 , +oo) B .(巴 42.(10, +8) d . (8, 102）及点R3,a）,从点A观察点B,要使视线不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是点P在曲线C：5y2=1上，若存在过P的直线交曲线C于A点，交直线l：x=4于B点，满足|PA=|PB或|PA=|AB，则称点P为“H点”，那么下列结论正确的是（）A.曲线C上

5、的所有点都是“H点”B.曲线C上仅有有限个点是“H点”C.曲线C上的所有点都不是“H点”D.曲线C上有无穷多个点是“H点”题号123456789101112答案第R卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共20分，把正确答案填在题中横线上.）13 .已知点A（1,0）,B（2,0）.若动点M满足ABBM/h72|AM=。，则点M的轨迹方程为x2214 .过点M2,0）的直线m与椭圆2+y2=1交于P1、P2两点，线段P1P2的中点为P,设直线m的斜率为k1（k1W0）,直线OP的斜率为k2,则k1k2的值为.15 .设双曲线x2匕=1的左右焦点分别为F1、F2,P是直线

6、x=4上的动点，若/F1PF2=0,3则e的最大值为.X2216 .直线l:xy=0与椭圆彳+y=1相交A、B两点，点C是椭圆上的动点，则4ABCW积的最大值为三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)17、已知A(2,0)、R2,0)，点C点D满足|ACC=2,>1>>AD=2(AB+AQ.(1) 求点D的轨迹E的方程；(2) 过点A作直线l交以AB为焦点的椭圆G于MN两点,线段MN勺中点到y轴的距离为3且直线l与轨迹E相切，求椭圆G的方程.518、设椭圆C：a2+b2=1(a>b>0)的离心率为乎，过原点O斜率为1的直线

7、与椭圆C相交于MN两点，椭圆右焦点F到直线l的距离为,.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆上异于MN外的一点，当直线PMPN的斜率存在且不为零时，记直线PM勺斜率为匕，直线PN的斜率为k2,试探究k1k2是否为定值？若是，求出定值;若不是，说明理由.19、过点M(1,1)作直线与抛物线x2=2y交于AB两点，该抛物线在A、B两点处的两条切线交于点P.求点P的轨迹方程；(2)求ABP的面积的最小值.20、已知菱形ABCD勺顶点AC在椭圆x2+3y2=4上，对角线BD所在直线的斜率为1.(1)当直线BD过点(0,1)时，求直线AC的方程；(2)当/ABC=60°时，求菱形ABC面积的

8、最大值.221、如图，在由圆Qx2+y2=1和椭圆C：x2+y2=i(a>i)a构成的“眼形”结构中，已知椭圆的离心率为半，3直线l与圆O相切于点M与椭圆C相交于两点A,B.(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在直线i,使得OA-Ob=2OM,若存在，求此时直线i的方程；若不存在,请说明理由.22、已知椭圆的两个焦点F1(J3,0),F2(、/3,0),过F1且与坐标轴不平行的直线11与椭圆相交于MN两点，如果MNF勺周长等于8.(1)求椭圆的方程；(2)若过点(1,0)的直线l与椭圆交于不同两点P、Q,试问在x轴上是否存在定点日m,0),使PE-QE!为定值？若存在，求出E的坐标及定值；

9、若不存在，请说明理由.圆锥曲线单元测试题答案选择题:题号1234567891o1112答案ACABBDDBABDD二、填空题：13、x2+y2=114、215、30。16三、解答题：17、解析设CD点坐标分别为QX0,yo),D(x,y),则X&(xo+2,yo),ABB=(4,0),则AB+AC=(xo+6,yo),故XD=1(XB升雨=X0+3,y5.Xo万+3=x+2,又AD= (x+2, y),故yo万”解得xo= 2x 2, yo= 2y.代入|ACf=yJxo+22+yo=2得x2+y2=1,即为所求点D的轨迹E的方程.(2)易知直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为y=k(

10、x+2)22又设椭圆方程为x2+y=1(a2>4)aa-4、因为直线l与圆x2+y2=1相切，故号)=1,解得k2=；将代入整理得(a2k2+a24)x2+4a2k2x+4a2k2a4+4a2=o,2122,2342而k=3，即(a3)x+ax4a+4a=o,2、一a设M(x1,y1),N(x2,y2),则x+x2=a2_3.222,一、.a4,12xy由题意有023=2xg,求得a=8.经检验，此时A>o.故所求的椭圆万程为.+；=1.18、解析（1）设椭圆的焦距为2c（c。），焦点F（c,。），直线l:x-y=o,|c|F到l的距离为，=小,解得c=2,，2又<e=a=$

11、，,3=272,b=2.一.椭圆c的方程为卷+y=i.8422xy-+7=1,2J6、(2)由84解得x=y=,或x=y=3y=x,2,63kpMy一芋kPN=千x_226x3不妨设M芈，竽，33Rx,y),y+孚y2-|2d628'x+3X322由尹'=1,即x2=82y2,代入化简得k1%=%二19、解析(1)设直线AB方程为y=k(x1)+1,代入x2=2y中得，x2-2kx+2k-2=0其中A=(2k)24(2k-2)=4(k-1)2+1>022、x1x2记Ax1,Bx2,-,则x1+x2=2k,x1x2=2k2.2x对y=求导得，y=x2一一x1则切线PA的方程

12、为y=x1(x-x1)+2,2Ixi即y=x1x-2,一,、x2_同理，切线PB的方程为y=xzxx2由、两式得点P的坐标为x+x2x1x22'2x=k于是得P(k,k1),设Rx,y),则y=k-消去参数k,得点P的轨迹方程为x-y-1=0.(2)由(1)知|AB=小+k2|x1-x2|=y_1+k2xi+X224x1X2=211+k2k22k+2.点P到直线AB的距离|kk-1+1k-1|k22k+2d=/2=-2/+k11+kABC勺面积12323S=21ABd=(k2-2k+2)2=(k1)2+12.当k=1时，S有最小值1.20、解析(1)由题意得直线BD的方程为y=x+1.

13、因为四边形ABCD；菱形，所以AC_BD于是可设直线AC的方程为y=-x+n.x2+3y2=4,22由得4x6nx+3n4=0.y=x+n2因为A,C在椭圆上，所以A=12n+64>0,解得-芋<n丹.设A,C两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则3n3n24x1+x2=,x1x2=-4,y1=x1+n,y2=x2+n.n一3nn所以y1+y2=2,所以AC的中点坐标为-4-,4.3nn,n3n由四边形ABC四菱形可知，点T，4在直线y=x+1上，所以-=+1,解得n=-2.所以直线AC的方程为y=-x-2,即x+y+2=0.(2)因为四边形ABC泗菱形，且/ABC=60

14、°,所以|AB=|BC=|CA.-3n2+16所以菱形ABCD勺面积S=-23|AC2.由(1)可彳#|AC|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=所以S=兴3,+16)羊加孚所以当n=0时，菱形ABCD勺面积取得最大值21、解析 0|=¥, C2=a2i'2 a2 12解得：a2=3,所以所求椭圆C的方程为X+y2=1.3(2)假设存在直线l,使得OA-OB=20M易得当直线l垂直于x轴时，不符合题意，故设直线l方程为y=kx+b,由直线l与圆O相切可得，b2=k2+1x22把直线y=kx+b代入椭圆C：+y=1中，整理得：3(1+3k2)x2+6kbx+3b2

15、3=0则 xi + x2=6 kb1 + 3k2'x2=3b2-31 + 3k2'Oa- 0B= x1 x2+ y1 y2= x1 x2+ ( kx+ b)( kx2+ b) = (1 + k2) x1 x2 + kb( x+ x2)+ b2.2=(1 +k)3b2-31 + 3k2 +6kb2 b2=4bJL3k-3 J1+3k1 + 3k2由两式得k2=1, b2=2,故存在直线l,其方程为y=±x±>/2.22、解析(1)由题意知 c=/3, 4a=8,，a=2, b= 1, x22椭圆的方程为 彳+ y2=1.4(2)当直线l的斜率存在时，设其斜率为k,则l的方程为y=k(x1),x221+ y = 1由4y=k x-1消去 y 彳#(4k2+ 1)x2-8k2x + 4k2-4 = 0,设 P(x1, y1) , Qx2, y2)则由韦达定理得228k4k -4x1 + x2=4k2+7, x1x2=E7，则 PEE= (m- x1, - y1) , QE= ( m- x2, - y2),.PEE- Qe= (m-x1)( m- x2) + y=m2 m x1 + x2) + x